非线性动态面板模型的条件GMM估计

非线性动态面板模型的条件 GMM估计 杨继生 王少平 (华中科技大学经济学院) =摘要> 基于时间序列的实证分析已经证实, 很多经济变量的动态调整过程都 存在非线性的平滑转换机制。本文将传统的线性动态面板模型扩展为平滑转换的非 线性动态面板模型, 并基于对非线性参数的格点搜索, 提出了一种简便易行的非线 性动态面板模型估计程序 ) ) ) 条件 GMM 估计, 其估计量具有一致性。仿真实验 结果显示, 条件 GMM 估计量在有限下具有良好表现。同时, 非线性动态面 板模型的条件 GMM 估计还为在非线性框架下检验面板单位根创造了条件。 关键词 动态面板模型 非线性平滑转换机制 条件 GMM 估计 有限样本 性质 中图分类号 F2241 0 文献标识码 A Conditional GMM Estimator for Nonlinear Dynamic Panel Data Model Abstract: Empir ical analy sis based on t ime series has show ed that dynamics of many econom ic variables are character ized w ith smooth t ransition nonlinear-i ty1 This paper develops the dynam ic panel data model w ith smooth t ransitio n re- g imes1Based on gr id search, w e propose a simple pro cedure for estimat ing the non- linear dynam ic panel data models, and the est imator, condit ional GMM est imato r, is consistent under some gener al assumpt ions1 T he simulat ion results show that the finite sample pr opert ies of condit ional GMM est imator are sat isfactory1 The pr o- posed est imato r can also be used fo r test ing the panel unit ro ot in the nonlinear pan- el ST AR framew o rk1 Key words: Dynamic Panel Data M odel; Smoo th Transit ion Nonlinearity ; Conditional GMM Est imator; F inite Sample Propert ies 引 言 对我国现实经济问题的研究表明, 我国的数据通常表现出两个基本特征: 一是随着经济 体制改革和经济结构的升级, 导致很多经济变量动态调整呈渐进式变化, 从而在直观上表现 出非线性调整的特征; 二是随着统计和统计口径的不断调整完善, 导致很多经济变量的 样本区间较短。由于动态面板模型基于面板数据揭示经济变量的动态特征, 降低了对样本长 #149#非线性动态面板模型的条件 GM M 估计 度的要求, 所以在现实经济问题的研究中得到了越来越多的应用。但是, 目前的动态面板模 型都是基于线性假定的, 其 AR ( 1) 形式可以表述为: y it= Qy i, t- 1+ Gi+ Tit , i= 1, 2, ,, N , t= 1, 2, ,, T ( 1) 其中, 参数 Q均被设定为常数, y 为所考察的变量, Gi 为个体效应, Tit 为误差项, Q < 1。鉴于我国现实经济数据所表现出的非线性特征, 将动态调整机制设置为线性很可 能会导致模型的错误设定, 从而影响分析结论的可靠性。所以, 在动态面板模型中引入非线 性调节机制, 是研究我国现实经济问题的实际需要。 国内外大量关于时间序列数据的研究文献也已经证实, 现实中很多经济变量的动态调整 都存在非线性平滑转换自回归 ( ST AR) 的机制。即自回归系数不是常数 Q, 而是非线性平 滑转换函数 F ( y t- d)。既然 STAR调整机制在时间序列数据中是客观存在的, 那么, 在对 应的面板数据中, ST AR调整显然也是一个必须考虑的问题。尤其是, 目前对于面板数据平 稳性的检验都是在线性框架内进行的, 如果经济变量的数据生成过程 ( DGP) 是平稳的, 但其动态调整表现出非线性特征, 那么我们基于线性估计结果进行面板单位根检验就很可能 得出非平稳的结论。所以, 在模型中引入 STAR 调整机制, 并建立稳健有效的估计方法, 是动态面板模型发展的必然方向。 已有文献在运用时间序列 ST AR模型来描述经济变量的非线性调整时, 非线性调整函 数 F ( y t- d ) 通常采用指数和 Log ist ic函数形式, 从而形成了两种平滑转换机制 ) ) ) ESTAR 和 LST AR ( Ter¾svirta 和 A nderson, 1992)。Granger 和 T er¾svirta ( 1993 )、Ander son ( 1997)、Kapetanio s等 ( 2003) 等发展了时间序列 ST AR模型的理论框架, 其对 ST AR模 型的估计主要是非线性最小二乘法。但是, 对动态面板模型而言, 由于个体效应导致了固有 的内生性问题, 其固定效应 LSDV 估计量和随机效应 GLS估计量都是有偏的。 对线性动态面板模型而言, 现有文献主要从两个途径解决内生性所导致的估计偏误: 一 是运用 GMM 类估计, 二是直接进行偏误修正。Arellano 和 Bond ( 1991) 首先提出了基于 差分的GMM 估计, Ar ellano 和Bover ( 1995) 提出了基于水平值的 GMM 估计, Blundell和 Bond ( 1998) 对二者进行综合提出了系统 GMM 估计。相对于 GMM 类估计, LSDV估计尽 管是有偏的, 但其方差较小。Kiviet ( 1995) 和 Hansen ( 2001) 等基于理论偏误公式, 通 过迭代计算未知偏误的近似值, 对 LSDV 估计量直接进行偏误修正。Andr eas ( 2003) 的研 究显示, 当解释变量严格外生时, 直接修正偏误的方法表现较好; 而当存在内生解释变量 时, GMM 类估计仍是一致的, 而偏误修正方法则是非一致的。 Henry 等 ( 2004) 首次提出了面板数据的非线性动态调整模型, 但其将非线性调整设定 为阈值自回归 ( TAR) 形式而不是平滑转换。Gonzalez等 ( 2005) 和 Fork等 ( 2005) 在静 态面板模型中考虑了回归系数的 STAR 效应, 但是由于动态面板模型所固有的内生性, 其 估计和检验统计量不能直接用于 STAR 动态面板模型。由此可见, ST AR动态面板模型的 估计, 从理论和应用来说, 都是一个亟待研究的前沿性问题。 本文将传统的线性动态面板模型扩展为动态调整过程平滑转换的非线性动态面板 模型, 并基于对非线性参数的格点搜索, 建立非线性动态面板模型的条件 GMM 估 计程序。仿真实验结果显示, 我们的条件 GMM 估计量具有良好的有限样本性质。而 且, 本文对于动态面板模型的扩展还将为在非线性框架下检验面板单位根提供必要的 工具。 #150# 5数量经济技术经济研究6 2008 年第 12 期 一、非线性动态面板模型及其估计 11 STAR动态面板模型 为了刻画变量调整的非线性平滑转换特征, 我们将动态面板模型 ( 1) 扩展为: y it = A1y i, t- 1+ A2F ity i, t- 1+ Eit ( 2) Eit = Gi+ Tit ( 3) F it为非线性调节函数, 其 ESTAR和 LST AR形式分别为: F it= 1- exp - C ( y i, t- 1 - c) 2 ( 4) F it = 1+ exp - C ( y it- 1- c) - 1 ( 5) 其中, 非线性调节参数 C> 0, c为阈值, 0 [ F it [ 1。F it= 0和 1分别对应了 y 的两种不 同的动态调节机制。当 0< F it < 1时, y 的动态调整将随前期值的变化而在不同机制间平滑 转换。显然, 模型 ( 2) 更能描述经济变量的实际动态特征, 是对线性模型 ( 1) 的实质性扩 展。 如果将阈值设定为 c= 0, 模型 ( 2) 可用于经济变量非线性均值回归过程对称性的研 究, 如实际汇率动态调整的对称性 (参见 Sollis 等, 2002)。其中, 参数 C反映了均值回归 的速度。同时, 类似于 Kapetanios等 ( 2003) 在非线性框架下对时间序列单位根的检验, 我们可以通过对非线性动态面板模型的估计, 在非线性框架下检验面板单位根。 21 非线性参数已知时动态面板模型的 GMM 估计 模型 ( 2) 在估计上为我们带来了新的问题 ) ) ) 非线性参数 C和 c 的估计, 因而线性动 态面板模型的 GMM 估计和偏误修正方法都不能直接应用于模型 ( 2)。 如果非线性参数 C和 c是已知的, 显然, 非线性变量 x it = F ity i, t- 1只是模型 ( 2) 的一个 解释变量而已, 模型 (2) 在形式上与传统的线性动态面板模型并没有本质上的区别。惟一 需要注意的是, 此时, 因为解释变量 x it是 y i, t- 1的非线性函数, 与 y i, t- 1类似, 该解释变量与 扰动项 Eit也是相关的。而且, 由于经过了非线性变换, x it与Eit的相关性要显著弱于 y i, t- 1与 Eit的相关性。根据 A ndreas ( 2003) 的研究结论 ) ) ) 当存在内生解释变量时, GMM 类估计 仍是一致的, 而偏误修正方法则是非一致的, 在非线性参数 C和 c 已知时, 我们可以运用 GMM 方法对模型 ( 2) 进行一致估计。只不过, 为了使估计量具有较好的有限样本性质, 我们需要为解释变量 x it选取适当的工具变量。 在非线性参数 C和 c 已知的情况下, 模型 ( 2) 可以表示为线性形式: y it = A1y i, t- 1 + A2x it+ Eit ( 6) 其中, x it= F ity i, t- 1。此时, 我们可以基于一阶差分对模型 ( 2) 进行 Ar ellano 和 Bond ( 1991) 的 DIF- GMM 估计。 假定个体效应 Gi 和随机误差 Tit满足如下的误差结构和初始条件: E ( Gi ) = E (Tit ) = 0, E ( GiTit ) = 0, E (TisTit ) = 0, E ( y i1 Tit ) = 0 (7) 其中, i= 1, ,, N ; t= 2, ,, T , t X s。 在上述假定下, 以下线性矩条件成立: #151#非线性动态面板模型的条件 GM M 估计 E ( zci$Ei ) = 0 其中, z i 为回归元 ( y i, t- 1 , x it ) 的工具变量集。在选择工具变量时, 我们不但选取 x it 的水平动态滞后项作为其工具变量, 还增加了工具变量 y 2i, t- 2 , 以反映 x it对于y i, t- 1的非线性 特征。仿真实验结果显示, 工具变量 y 2i, t- 2的引入可以显著改善估计结果的有限样本性质。 其工具变量集为: z i = ( yi1 , x i1 , y 2 i1) 0 , 0 0 ( y i1 , y i2 , x i1 , x i2 , y 2i2) , 0 s s s s 0 0 , ( y i1 , ,, y i, T- 2 , x i1 , ,, x i, T- 2 , y2i, T- 2) ( 8) $Ei= $Ei3 $Ei4 s $EiT ( 9) 其 GMM 估计量为: C^DIF - GMM = A^1 A^2 = $XcZW^ - 1Zc$X - 1$XcZ W^ - 1Zc$y ( 10) 其中: $y= ( $yc1 , $yc2 , ,, $ycN )c, $y i = ( $y i3 , $y i4 , ,, $y iT )c; $X = ( $y - 1 , $x )c, $x= ( $xc1 , $xc2 , ,, $xcN )c, $x i= ( $x i3 , $x i4 , ,, $x iT )c, $y - 1是 $y 滞后 一期; Z= ( zc1 , zc2 , ,, zcN )c; W^ 是用于加权的协方差矩阵: W^= 1 N E N i = 1 Zci $Ei$Eciz i ( 11) 在第一步估计中, 可以选择 W^= ( N - 1 E Ni= 1 ZciZ i )。 31 非线性动态面板模型的 GMM 估计 实际上, 非线性参数 C和 c总是未知的。而且, 显而易见的是, 参数 C和 c 的错误估计 同样会为模型 (2) 带来新的内生性问题。可以证明, 参数 C和 c的估计量具有以下性质。 命题 1: 如果非线性参数的真值为 C和 c, C* > 0和 c* 为任意常数, 则基于对模型 ( 2) 的 GMM 一致估计量, 对确定值 T \3, 当 N y ] 时, 有: E (RS S r, c) [ E ( RSS r* , c* ) ( 12) 即通过 GMM 估计的 RSS 最小化, 可得到 C和 c 的一致估计量 (证明略。) 基于命题 1, 对于 STAR非线性动态面板模型 ( 2) , 我们可以建立如下的 GMM 条件估 计程序: ( 1) 对同一样本数据和工具变量集, 基于模型 ( 2) 的 GMM 估计, 通过格点搜 索, 以残差平方和最小确定非线性参数 C和 c的估计值。(2) 基于非线性参数 C和 c 的估计 值, 对模型 (2) 进行 GMM 估计, 得到 (10) 式的条件 GMM 估计量 C^DI F- GMM。 此时, 由于非线性参数 C和 c 的估计具有一致性, 同时线性模型的 GMM 估计量也是一 致的, 所以, 我们可以直接得到以下的结论 ) ) ) 非线性动态面板模型 ( 2) 的条件 GMM 估 计量具有一致性。 #152# 5数量经济技术经济研究6 2008 年第 12 期 二、仿真实验 我们通过小规模的仿真实验以考察非线性动态面板模型的条件 GMM 估计量在有限样 本下的具体表现。 11 数据生成过程的设定 我们依模型 ( 2) 生成面板数据 y it , 其中: Tit从正态分布中随机抽取得到, 即 Tit ~ i1 i1 dN (0, 1) ; Gi 从均匀分布随机抽取得到, 并通过去均值以保证其均值为 0, 即Gi= G*i - ( E Ni= 1G*i ) / N , G*i ~ U [ - N / 200, N / 200]。 当 N和 T 较大时, 如果对非线性参数 C和 c 进行二维搜索, 仿真实验的运算量过于庞 大, 我们在仿真实验中将阈值 c假定为已知的, 并固定为 0。这样的模型设定可用于在非线 性框架下检验面板单位根、或用于分析经济变量非线性均值回归过程的对称性。 21 工具变量的选择 Arellano ( 2003) 和 Okui ( 2005) 的研究表明, GMM 估计的偏误和方差之间存在权衡 关系, 矩条件 (工具变量个数) 的增加虽能减小估计量的方差但却会增大估计的偏误, GMM 估计的偏误正比于工具变量的个数。所以, 在估计偏误和估计方差之间进行权衡, 选 择适当的工具变量, 是保证非线性动态面板模型条件 GMM 估计具有良好有限样本性质的 关键。仿真实验结果显示, 在工具变量矩阵中, 当选取回归元的所有滞后项作为工具变量 时, GMM 估计结果会有较大的偏误。我们发现, 由回归元的一期和二期滞后项所构造的工 具变量集在有限样本下有更好的表现, 所以, 我们在仿真实验中实际所用的工具变量集为: z i = ( y i1 , x i1 , y 2 i1 ) 0 , 0 0 ( y i1 , y i2 , x i1 , x i2 , y 2i2) , 0 s s s s 0 0 , ( y i, T- 3 , y i, T- 2 , x i, T- 3 , x i, T- 2 , y 2i, T- 2) ( 13) 与( 12)式的工具变量集相比, 式( 13)的工具变量集中不包含滞后两期以上的回归元水平 变量,在反映变量动态调整最及时信息的同时,工具变量个数减少,从而减小了估计的偏误。 31 仿真实验结果分析 基于 500次重复的小规模仿真实验 ¹ , 非线性动态面板模型 GMM 条件估计的具体仿真 实验结果见表 1~ 2, 其中表 1 为基于 ESTAR 设定的结果, 表 2为基于 LST AR设定的结 果。为了考察模型错误设定所导致的后果, 即当实际 DGP 为模型 ( 2) 时, 我们却错误地将 其设定为线性模型 ( 1) , 并对其直接进行 GMM 估计会导致什么样的后果, 我们同时给出 了对非线性动态面板数据直接进行线性 GMM 估计的仿真实验结果。 从仿真实验结果可以看出, 非线性动态面板模型的条件 GMM 估计量在有限样本下具 有以下特征: ( 1) 当模型的非线性调节函数为 ESTAR形式时, 条件 GMM 估计有非常好的表现。非 线性参数 ÛC可以被准确估计; 非线性系数 A2 的偏误非常小, 并且随着 N 的增加接近于 0; 线性系数 A1 在 N值较小时有显著向下的偏误, 但随着 N的增大, 偏误显著减小。无论是线 性系数还是非线性系数都有较小的估计方差, 且随着样本的增大而减小。 #153#非线性动态面板模型的条件 GM M 估计 ¹ 由于非线性参数搜索的运算量太大, 我们选择了一个较小的重复实验次数。 如果将 EST AR形式的非线性模型误设为线性形式, 而直接进行线性 GMM 估计, 其参 数估计结果接近于线性系数和非线性系数之和 ( A1 + A2)。 ( 2) 当模型的非线性调节函数为 LSTAR 形式时, 条件 GMM 估计的表现要劣于 ES- T AR模型。非线性参数 A的估计偏误有随 T 的增大而增大的趋势, 但线性系数 A1 和非线性 系数 A2 的偏误随着 N 的增大而减小。无论是线性系数还是非线性系数都有较小的估计方 差, 且随着样本的增大而减小。 如果将 EST AR形式的非线性模型误设为线性形式, 而直接进行线性 GMM 估计, 其参 数估计结果略大于线性参数和非线性参数之和 ( A1 + A2)。 表 1 动态调整过程为 ESTAR时的估计结果 DGP: y i t = 01 8y i , t- 1- 01 3F ity i , t- 1+ Ei t , F it = 1- exp - 2y 2i, t- 1 基于 ESTAR的条件 GMM 估计 线性 GMM 估计 参数 A1 A2 C Q T N Mean Std Mean Std M ean Std* Mean Std 30 30 01 6068 01 1473 - 01 3026 01 1583 21 1196 01 8597 01 4745 01 0558 30 50 01 7160 01 1207 - 01 3140 01 1189 21 2026 01 8292 01 5104 01 7160 30 100 01 7527 01 1016 - 01 2940 01 0956 21 1448 01 7964 01 5057 01 0290 50 30 01 5844 01 1133 - 01 2891 01 1146 21 1702 01 8530 01 4718 01 0436 50 50 01 7051 01 0951 - 01 3059 01 0884 21 1774 01 8333 01 5106 01 0306 50 100 01 7637 01 0830 - 01 3020 01 0770 21 2190 01 7397 01 5059 01 0204 100 30 01 5312 01 0903 - 01 2692 01 0885 21 1642 01 8615 01 4582 01 0295 100 50 01 6850 01 0756 - 01 2947 01 0681 21 2206 01 8070 01 5060 01 0216 100 100 01 7668 01 0640 - 01 3051 01 0578 21 2946 01 6891 01 5052 01 0132 注: * 非线性参数 (估计值的标准差与格点搜索的步长有关, 缩短步长有助于减小 C估计的标准差。 而且, C估计的精度也会影响到系数A1 和A2 的估计。我们在仿真实验中将步长设定为 01 1。 表 2 动态调整过程为 LSTAR时的估计结果 DGP: y it = 01 8y i, t- 1- 01 3F it y i, t- 1+ Eit , F i t = 1+ exp - 2y i t- 1 - 1 基于 LSTAR的条件 GMM 估计 线性 GMM 估计 参数 A1 A2 C Q T N Mean Std Mean Std M ean Std Mean Std 30 30 01 4764 01 1161 - 01 1758 01 1795 11 7824 01 8791 01 5407 01 0648 30 50 01 6053 01 0966 - 01 2149 01 1458 11 5472 01 8275 01 5961 01 0507 30 100 01 6478 01 0818 - 01 2103 01 1099 11 4466 01 7820 01 6140 01 0385 50 30 01 4674 01 0865 - 01 1748 01 1360 11 8256 01 9010 01 5414 01 0495 50 50 01 6180 01 0659 - 01 2316 01 1059 11 6152 01 8641 01 6041 01 0352 50 100 01 7016 01 0426 - 01 2676 01 0657 11 3386 01 7124 01 6307 01 0237 100 30 01 3913 01 0641 - 01 1252 01 0993 11 9548 01 9163 01 5238 01 0343 100 50 01 5878 01 0498 - 01 2092 01 0756 11 6022 01 8690 01 5992 01 0247 100 100 01 7013 01 0288 - 01 2658 01 0465 11 3854 01 7692 01 6347 01 0152 三、基于非线性动态面板模型检验面板单位根 现实中, 很多经济变量的数据生成过程可能是平稳的, 但动态调整过程具有非线性平滑 转换的特征。或者经济变量在一种机制下是平稳的, 在另一种机制下是非平稳的。如果基于 #154# 5数量经济技术经济研究6 2008 年第 12 期 线性模型对这些变量进行单位根检验, 我们就会得到不可靠的检验结论, 而模型 ( 2) 为我 们在非线性框架下检验面板单位根提供了可能。 非线性动态面板模型中, 变量 y it的两个动态调整机制分别为: 当 F it= 0时, y it= A1y i, t- 1 + Eit (14) 当 F it= 1时, yit= (A1+ A2 ) y i, t- 1+ Eit ( 15) 将阈值设定为 c= 0, 基于对非线性模型 (2) 的参数估计结果 A^1 和 A^2 , 我们建立如下的 双机制联合平稳性检验: H 01 : A1 = 1, H A1 : A1< 1; (16) H 02 : A1 + A2= 1, H A2 : A1 + A2< 1。 ( 17) 如果 H 01和 H 02同时被拒绝, 则认为变量 y it是平稳的; 如果 H 01和 H 02都不能被拒绝, 则认为变量 y it是非平稳的; 如果只能拒绝两个原假设中的一个, 则认为 y it在一种机制下是 平稳的, 在另一种机制下是非平稳的。这一双机制联合平稳性检验可以通过 t比率来实现, 其在有限样本下的检验水平和检验功效尚需进一步具体考察。 四、结 论 大量基于时间序列的实证分析已经表明, 经济变量的动态调整机制普遍存在着非线性平 滑转换。本文在动态面板模型中引入 STAR机制, 提出了非线性动态面板模型的条件 GMM 估计量, 在一些一般性假设条件满足的情况下, 该估计量具有一致性。仿真实验结果显示: 当模型的非线性形式为 ESTAR时, 条件 GMM 估计量在有限样本下具有理想的表现; 当模 型的非线性形式为 LSTAR时, 条件 GMM 估计量在有限样本下的偏误大于 EST AR情形。 基于对非线性动态面板模型的估计, 我们不但可以具体考察经济变量动态调整的非线性特 征, 而且可以在非线性框架下检验面板数据的平稳性, 提高面板单位根检验的可靠性。至于 非线性动态面板模型中参数线性约束检验的有限样本性质, 则是有待进一步研究的内容。 参考文 献 [ 1] Ander son, H1 M1 , 1997, T ransaction cos ts and nonlinear adj us tment tow ards equilibr ium in the US tr easury bill market [ J] , Ox ford Bulletin of Econom ics and St atistics, 59, 465~ 4841 [ 2] Andreas, B1 , 2003, A Compar ison of Dynamic P anel Data Es timator s : Monte Car lo Ev idence and an A pp lication to the Investment Function [ C] , Discussion Paper 05/ 2003, Economic Research Center of the Deutsche Bundesbank1 [ 3] Arellano , M1 , 2003, Modeling Op timal Instr umental Variables f or Dynamic Panel Data Models [ C] , Working paper w p2003 _ 0310, CEMFI1 [ 4] Arellano , M1 and Bond, S1 R1 , 1991, S ome Tes ts of Sp ecif ication f or P anel Data: Monte Car lo Evid ence and an ap p lication to emp loyment equations [ J] , Review of Economic Studies, 58, 277~ 2971 [ 5] Blundel, R1 and Bond, S1 , 1998, I nitial Conditions and Monment r estr ictions in Dynamics Panel Data Models [ J] , Journal of Econometr ics, 87, 115~ 1431 [ 6] F ork, D1 , D1 van Dijk, P1 H1 Franses, 2005, A Mul ti-lev el Panel ST AR Model f or US Manu- f actur ing S ector s [ J] , Journal of Applied Econometrics, 20 ( 6) , 811~ 8271 [ 7] Gonzalez, A1 , T , T er¾sv irta, D1 van Dijk, 2005, P anel Smooth T rans ition Regr ession Models #155#非线性动态面板模型的条件 GM M 估计 [ C] , Quantitativ e F inance Research Centr e, University o f Techo lo gy , Sydney, Research Paper 1651 [ 8] Granger, C1 W1 , T1 Ter¾ sv ir ta, 1993, Mod elling N onl inear Economic R elationship s [ M ] , Ox- fo rd Univer sity P ress: Ox ford1 [ 9] H ansen, G1 , 2001, A Bias- cor r ected L east S quar es Estimator o f Dynamic P anel Models [ J] , Allg emeines Stat istiches A rchiv ( in English) , 65, 9~ 151 [ 10] H enry, O1 T1 , Olekalns, N1 and Thong, J1 , 2004, Do stock mark et r eturns p r edict changes in outp ut? 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