投资收益与风险

null投资的收益与风险投资的收益与风险风险及测度风险及测度风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。 形势 概率 期末总价 总收益率 繁荣 0.25 13000元 30% 正常增长 0.50 11000元 10 萧条 0.25 9000元 -10 期望收益与方差期望收益与方差E( r )=∑p(s)r(s) E( r )=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10% σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2 σ2=∑0.25×(30-10)2+0.50×(10-10)2+ 0.25(-10-10)2=200 或14.14% 26-99年美国26-99年美国 大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率 收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22 风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54 彼得堡悖论彼得堡悖论数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为   R(n)=2n   公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见。彼得堡悖论彼得堡悖论参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表 反面 概率 报酬 概率×报酬 0 1/2 1 1/2 1 1/4 2 1/2 2 1/8 4 1/2 3 1/16 8 1/2 . . . . n (1/2)n+1 2n 1/2 彼得堡悖论彼得堡悖论如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为 E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。 由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。风险厌恶与公平游戏风险厌恶与公平游戏我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fair game)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。边际效用递减举例边际效用递减举例假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%，亏5万的概率为50%，因此，这一投资的期望收益为0。 当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51增加到log(150000)=11.92，效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.5×0.41=0.21。 如果由10万降到5万，由于log(100000)-log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为0.5×0.69=0.35，它大于期望效用的增加值边际效用递减举例这笔投资的期望效用为 E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50 000)+(1/2)log(150 000)=11.37 由于10万的效用值为11.51，比公平游戏的11.37要大， 风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。边际效用递减举例效用公式效用公式这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：   U=E(r)-0.005A2   其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。 效用数值应用举例效用数值应用举例如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。 投资者A=3时，股票效用值为：10-(0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。 如果投资者的A为2，股票效用值为： 10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。 所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。均值-方差准则均值-方差准则风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。 因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产A作为投资对象： (a) E(RA)≥E(RB) 且σ2A<σ2B (b) E(RA)> E(RB) 且σ2A≤σ2B均值-方差准则（2）均值-方差准则（2）均值-方差准则（3）均值-方差准则（3）因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合P优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合P，标准差等于或小于资产组合P，即资产组合P的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过P点的投资者效用的无差异曲线(indifference curve)一定位于第二和第三象限，即一定是条通过P点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。均值-方差准则（4）均值-方差准则（4）一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。 另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。均值的分析均值的分析我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。 中值(median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数(mode)是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。 但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。方差的分析均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。方差的分析方差的分析（2）萨缪尔森有两个重要结论： ①所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。 ②方差与均值对投资者的效用同等重要。 得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。方差的分析（2）