关于化二次型为标准型的相似变换方法的讨论

关于化二次型为型的相似变换方法的讨论 第,,卷第,期 吉 林化工学 院 学报 ,,, ,, ,, , ,,,,年,妇 ,,,,,,, ,, ,,,，, ，,,,,,,,, ,, ,,,,，,,, ,,,,,,,,,, ,,, ,,,, 文章编号:,,,,—,,,,(,,,,),,(,,,,—,, 关于化二次型为标准型的相似变换方法的讨论 朱前永 临沂师范学院学院，山东临沂,,,,,, 摘要:实对称矩阵，经相似变换,一月,可化为对角矩阵，在,:,彳下，不一定能化，的二次型为标准 型;应寻求对称矩阵，的特征向量，将其正交化并单位化作为标准正交基，作为列向量构造变换矩阵尸， 可使,“,,,,为对角阵，在,,,彳下(要将二次型化为标准型，且二次项系数即为对角阵,主对角 线上元素( 关键词:标准正交基;变换矩阵;二次型;标准型 中图分类号:, ,,, , 文献标识码:, 文献〔,〕第三章第六节中讲述了化二次型为 但通过验证可知在变换芽,,,下，，,一,标准型的相似变换方法，笔者认为文中介绍的方 ,,(,彳?),(尸彳),彳?(,, ,,,)节，其中,?，,并法是不正确的。有商榷的必要( 不是对角阵，因而这种变换并未将，化为标准型( 文献〔,〕把相似变换方法作为化二次型为标 可见变换方法是错误的，用求,的特征值对准型的首选方法，方法如下: 应的特征向量的方法构造成的矩阵,，可以对实 定理 (文中定理,):任何实二次型，, 对称矩阵,进行相似变换，使,。,,,,,为对,?, ,总存在可逆的变换矩阵,，使在变换芽, 角阵(对角阵的主对角线上元素就是,的特征,尹下，把，化为标准型，，,，,,,，，,,,，…， 值)，但用这样的,对变量作变换,:,,是不能，。，,，其中，,，，,，…，，。为，的矩阵,的特征值 将，化为标准型的，原因在于,“?,，((重根按重数累计)( 实际上。可以用作正交基构成正交矩阵,的 文献〔,〕在叙述了定理之后举出了〔例,—, 方法来解决这个问题(—,〕求一个可逆变换芽,尸,，把二次型，, 引理, 对于任意,阶实对称矩阵,，都存,。，。,，,。,。,—,。,。,—,。,。,，,”,。,， 在一个,阶正交矩阵,，使尸一,,,尸?,,,,,, ,“化为标准型，并写出标准型( 成对角矩阵【“( 在解的过程中，根据，的卣螅粒?引理, 对,阶可逆矩阵,，,,,,?的充 , , , 一, 分必要条件是尸的各列向量模长均为单位长，且 , , —, , 求出了,的特征值, 两两正交( , 一, , , 证明:设,,(声(，,。，……，声。，其中声。, 一, , , , (,……一，,。。),( ,一,，，,,, ,,, ,,,和特征值所对应的,个特征向量，用这些特征向量作矩阵的列构造成了 充分性:因为声。，声:，…声，;的模长均为单位 长，且两两正交(所以在 , , , , 一, , , 一, ,,】 ,,, ,, ,，, ,,, ,，,如下矩阵尸: 认为在变换, 一, , , , ‖, ,,, ,, ,,, ,,， ,丑 ,,， 由 , ? ? , , —, ? ? ? ? ,,,下，，可化为标准型:一,,,，,,，,;，,, ,】, ,,“ ,, ,,， ,,, ,肼 尊璺旦期:,,,,一,,一,, 作者简介:朱前永(,,,,一)，男，山东宁阳人，临沂师范学院副教授(主要从事半群代数理论方面的研究 万 方数据 占林化工学院学报 当,?,时 , ,。，?』,,; 当,,，时，,。,(,, 单位长，则有,(,?,，;(, ,, ,…， ,。, ,,所 , , , ， ,…， ??? 以,?,，五, ，画, ,。， ,,,,( , … , , 可以保证,?,,,，是对角阵，但刘角阵,则有,,?, ,, 对角线上元素不是特征根，而是特征根的, ,(, ? ? ??? ? , , , , , ，声, ,…，声。, ,倍，故在变换芽,,,“下，变成的 故(,„。,尸? 标准型的二次项系数也不是特征根，而是特征根 必要性:因为,,,,，，所以,,,?,,，即 , 的，声, ,声, ,,??，声。, ,倍( 所以当,?,时，,巾，,,;当,,,时，,(,，,,， 如果,的特征根有重根，则问题更为麻烦， 因此声,，, ,，…,。两两正交，且， ,;,,,( 重根对应的特征向量不一定两两正交，这些特征 需要把,的特征向量全部单位化并正交化， 根对应的特征向量不仅要全部单位化，还要全部然后作为列向量构造成,，这样,,,一(从而， 正交化，得到的向量作为的列(此时,,,,,?，在在变换蔓,,矿下，厂,,?,茁,(,矿)?,(,矿), ,?,,,，下，，对角线上元素才是特征根，故在,?(,，,,);,,?,;是标准型，且，主对角线上 ,,,;下，变成的标准型的二次项系数也才是元素恰为标准型二次项的系数( 特征根( 文献〔,〕为了化二次型为标准型作了大量的 鉴于此，文献〔,〕欲彻底解决用矩阵变换的知识铺垫，,(,相似矩阵，,(,实对称矩阵的相似 方法化二次型为标准型的问题，除需要补充上述矩阵，两节均是预备知识，在,(,中又给出了两个 引理,、,外，还要补上线性无关向量正交化的知结论: 识，然后将定理,叙述为: (,)实对称矩阵的特征值为实数，而且对应 任何实二次型，,矿,矿总存在由标准正交于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的，而 基构成的正交变换矩阵,，使在变换,,,,下，且是正交的( 把，化为标准型，，,，,,,，, ,,;，…，，。,:，其 (,)若,,为实对称矩阵,的特征方程的,重 中,。，，,，…，,。为，的矩阵,的特征值(重根按重根，则,一，。的秩为,—,，从而,。的线性无关的 数累计)(特征向量个数恰好有,个( 貌似为化二次型为标准型作了充分的准备， 参考文献:但实际上忽略了变换矩阵,的列向量的单位化和正交化，即忽略了,,,,，这一必要条件( 〔,〕林益(工程〔,〕(北京:中国人民大学出版社， 即使,的特征根没有重根，用这些特征根求 ,,,, ,,出的特征向量只能保证是两两正交的，文献〔,〕 (,〕北京大学数学力学系高等代数〔,〕(北京:人民教 育出版社(,,,,(,,,(也未特别指明必须都是单位长，实际上，如果不是 ,,,;,,,,,, ,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,, ,,,,,,, ？,,,,,,,; ,,,, ,,,, ,,,,,,,, ,,咖 ,, , ,,,”,,“, (;,,,,。,, ,”,,,,,,,“,，,,“,, ,,,,,, ，,,,,,,，““,, ,,,,,,(;,,,,),,,,,,;,: ,,,, ,,,,,,,,; ,,,,,, , ;,, ,, ;,,”,,, ,,,, ,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,“,, ,,, ,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,, , 、,, , ,,,,聋, , ,:，,,, ？,,,,,,,; ,,,, ,, , ,,, ,,, ,, ,,,,,, ,,,, , ,,,,,,,, ,,,,(,,, ;,,,,;,, ,,,一 “; ,,;,州,,“,, ,,,, ,,,,,,,,,; ,,,,,,, ,,,,,, ,, ,,,,, ,,,， ,,,;, ,, ,,,,,,,,,,;,,, ,,, ,,,,,,,,,, ,, , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,, ,,, ,, ,,,, ,, ,,, ,,;,,, ,, ;,,,,,,;, ,,, ,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,, ,，,, ,,, ,一„,, ;,, ,, ,,,, ,,,, ,,,,,,,, ,,,—, ,,,,, , , ,矿，,,, ？“,,,,,,; ,,,, ;,, ,, ,,,,,, ,,,, , ,,,,,,,, ,,,,， ,,, ,,, ？,,,,,,,; ;,,,,,;,,,, ,, ,,,,,, ,, ,,,,,,, ,, ,,, ,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,, ,,, ,,,,,,,, ,,, ,,, ， ,。, ,,,,,: ,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,;,,,,,,,,,,,,,, ,,,“,;？“,,,,,,; ,,,,;,,,,,,,, ,,,, 万 方数据