“定区间动轴法”求区间最值
“定区间动轴法”求区间最值
所谓“定区间动轴法”,就是将自变量所在区间(或)标在数轴上,无论[,]ab(,)ab该区间是动的还是静的,根据运动的相对性,都将其看作“静止”的,然后分对称轴、xa,0??、三种情况进行讨论,特别地,如果二次函数图象开口向上求区间最大baxxb,00
ab,ab,值或二次函数图象开口向下求区间最小值时,只需分和?两种情况进行x,x0022讨论.这样让区间标在数轴上不动,而让二次函数图象的对称轴移动,分类
非常明确、思路清晰、条理性强,这样可做到不重不漏,并且简捷易行.
1(条件中给出区间,直接采用“定区间动轴法”求区间最值
2例1已知,函数、
示函数在区间上gt()ht()fx()[,1]tt,fxxxxR()43,,,,,
的最小值,最大值,求、表达式. gt()ht()
分析:此题属于区间最值问题,结合图形,将区间在数轴上相对固定,让对称[,1]tt,
x,,2,,2tt,1,,,21t轴的区间内外移动,即分成;??;三种情况进[,1]tt,t,2
行讨论,结合图形便可轻松求出函数在区间上的最小值.而只需分?fx()[,1]tt,,2tt,,(1)tt,,(1)与两种情况讨论便可求出fx()在区间[,1]tt,上的最大值. ,,222
22x,,2解:由,知图象关于对称,结合图象知, fxxxx()43(2)1,,,,,,
2,,2tt,,2当,即时,; gtfttt()()43,,,,
t,1,3gtf()(2)1,,,,而当t??,即?t?时,; ,2,2
2t,,,12t,,3当,即时,. gtfttt()(1)68,,,,,? ? x t,1 t
2,ttt,,,,,,68,(,3)
,?. gtt()1, [3,2],,,,,,
,2ttt,,,,,,43,(2,),
tt,,(1)52t当?,即?时,; ,2,htfttt()(1)68,,,,,22
tt,,(1)52当,即时,. htfttt()()43,,,,,,2t,,22
? ? ? 21t, x t,1 t2
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5,2ttt,,,,,,68,[,),,2?. ht(),,52,ttt,,,,,,43,(,),,2
评注:本题采用了“定区间动轴法”, 分;??;三种情,,2tt,1,,,21tt,2
tt,,(1)tt,,(1)况和?;两种情况进行讨论,使本来因分类讨论带来的繁琐、,2,,222
思维混乱,变得脉络清晰、思维流畅、条理性强,降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现,是研究数学的一个重要手段,是解题的一个有效途径,用数形结合法解题,直观、便于发现问题,启发思考,有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是:审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有:字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽,需要我们仔细发掘.在讨论时,要做到尽量简捷、不重不漏.当然,有时也可采用转化思想避开分类讨论,这需要有较强的转化能力与转化意识.
例2已知二次函数的定义域为R,且在处(R)取得最值,yfx,()f(1)2,xt,t,
2若为一次函数,且 ygx,()fxgxxx()()23,,,,
(1)求的解析式 yfx,()
(2)若时,?恒成立,求的取值范围 x,,[1,2]fx()t,1
分析:(2)若x,,[1,2]时,fx()?恒成立,条件的实质即为:当x,,[1,2]时fx(),1
的最小值在于或等于,从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的大致图象,借助函数,1
图象的直观性让区间定,对称轴动,分三种情况进行讨论.
2gxa,1解:(1)设,?为一次函数,? fxaxtb()(),,,,,
22btt,,,,21又f(1)2,,?,?, (1)2,,,tb
2fxxtxt,,,,221? ,,
fx()(2)即? ,1min
3t,,1f(1),24,t[()]fx,t?当时,=?,得? ,1,min4
2,,,tt2113,13,tt[()]()fxft,?当??时,=?,得?? ,12,1min
ft2421,,,t,23[()]fx,t?当时,?,得? ,1,,min
313,t由?,?,?得:??.
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评注:给定自变量区间求解最值问题时,最重要的策略就是结合二次函数图象,利用对称轴与区间的位置关系,可直观显示相应的最值.
2(通过化归转化将问题归结为区间最值问题,再采用“定区间动轴法”求解
2例3设函数. fxxx()45=--
当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的上方. k>2[1,5]-ykxk=+3fx()
分析:通过转化思想,将文字语言的图像位于函数图像的上方,转ykxk=+3fx()
2化为符号语言,当时恒成立.而当x?[1,5]gxkxxx()(3)(45)0=+--++>
2时,恒成立只需,所以,x?[1,5][()]0gx,gxkxxx()(3)(45)0=+--++>min本题的实质为区间最值问题.
2解:当时,. x?[1,5]fxxx()45=-++
2 gxkxxx()(3)(45)=+--++
2 =+-+-xkxk(4)(35)
22骣42036--+kkk?ç, =--x?ç?ç桫24
4-k-15,x?k>2,?. 又, <12
4-k4-k26< k? 当,即时,取, -?11x=22
2kk-+203612轾=-=---k1064gx(). ()min犏臌44
22?, ?16(10)64,?
则. min
4-kk>6x=-120k>gx()?当,即时,取, ,. <-1min2
k>2gx()0>x?[1,5]由 ?、?可知,当时,,.
[1,5]-ykx=+(3)fx()因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
k>2评注:因为条件的限制,降低了问题的难度,使讨论的情况减少.很多问题通过转化思想都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的,体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型,通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解,让我们有一种豁然开朗的感觉.
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2例4设为实数,记函数的最大值为( ga()fxaxxx()111,,,,,,a
(?)设,求的取值范围,并把表示为的函数,求txx,,,,11fx()ttmt()mt()
和表达式及的取值范围( t
(?)求. ga()
分析:本题看似与区间最值无关,但通过换元、转化思想,可将问题化归为区间最值.
解:(I), ?txx,,,,11
?要使有意义,必须10,x?且1,x?0,即,11??x( t
22,? ?txt,,,,221240,,?,,
,,?的取值范围是( t22,,,
122由?得, 11,,,xt2
11,,22,,?,( t,22,mtattatta,,,,,,1,,,,,,22,,
12,,ga(II)由题意知即为函数,的最大值( t,22,mtatta,,,,,,,,,2
112注意到直线是抛物线的对称轴,分以下几种情况讨ta,,,(0)mtatta,,,,,a2
论(
,,ymt,a,0(1)当时,函数,的图像是开口向上的抛物线的一段,由t,22,,,,,1,,mtgama,,,22知在上单调递增,?( 22,t,,,0,,,,,,,,a
,,ga,2mtt,a,0(2)当时,,,?( t,22,,,,,,,
,,ymt,a,0(3)当时,函数,t,22,的图像是 ,,,,开口向下的抛物线的一段(
21a,,若gam,,22,即,则( t,,,(0,2),,,,2a
21111,,a,,,[,]若,即,则( gama,,,,,t,,,[2,2],,,,22aa2a,,
11,,gama,,,22若,即,则( a,,,0t,,,,,2,,,,,,,,,2a,,
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1,aa,,,,20,,,2,
121,gaaa,,,,,,??,综上有 ,,,222a,
,22.,a,,,2,
评注:此题也给我们启发:遇陌生或比较棘手的问题时,可采用化归、转化思想,将其
转化为熟知的问题、简单的问题,从“数”方面难以入手时,可考虑借助形来说理.
2例5求函数的最值. yxpxq,,,sinsin
分析:由已知条件的形式特点,可采用配方法,从而将问题转化为二次函数区间最值问
sinx题,但要注意??的条件限制,在此条件限制下,其实质即为区间最值问题,采,11
用“定”区间“动”轴法,结合图形便可求出函数在区间上的最值. fx()[1,1],
2pqp4,22解: yxpxqx,,,,,,sinsin(sin)24
24qp,pp(1)若??,即??,则当时,;最大值在y,sinx,,,11,22pmin422
sin1x,sin1x,,或时取得.
psin1x,,sin1x,(2)若,即,则当时,;当时,p,2ypq,,,1,,,1min2
. ypq,,,1max
psin1x,sin1x,,(3)若,即p,,2,则当时,;当时,ypq,,,1,,1min2
. ypq,,,1max
如图所示:
yyy
,1 1 1O OO xxx 1 ,1,1
(1) (2) (3)
评注:数形结合是研究数学的一个重要手段,是解题的一个有效途径,用数形结合法解
题,直观、便于发现问题,启发思考,有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.
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