Vandermonde卷积公式统一形式及其相应超几何变换

Vandermonde卷积公式统一形式及其相应超几何变换 卷积公式统一形式及其相应超几何变换Van derm on de 赵 熙 强, 王 天 明 ( )大连理工大学 应用数学系, 辽宁 大连 116024 摘要: 二项式系数的卷积公式是一类重要的公式. 给出了5个卷 V ande rm onde V ande rm onde 积公式的超几何级数形式; 利用超几何级数给出它们的一个统一形式, 可用来方便地处理某些 组合恒等式; 最后, 提出了构造超几何变换的一种方法, 并且得到了一些与卷积公 V ande rm onde 式相关的超几何变换. 关键词: 卷积公式; 恒等式; 超几何函数超几何变换 ƒ 中图分类号: O 157. 1 文献标识码: A 自 从 1700 年 写 了 一 篇 关 于V anderm onde 2 卷积公式统一形式V ande rm o nde 卷 积 公 式 的 重 要 论 文 后, V anderm onde 本文采用下列记号: 卷积公式就成为一类越来越重要的V anderm onde γ γ kkk a, , a 1 maaz 1 m γ γ 公式, 在处Fz = , 并用 t 理恒等式及其他一些相关工作时, 人们表示右kkk6 bbk ! b, , b1 n 1 n k?0 常用到它. 侧级数的第 k + 1 项. 1 卷积公式V ande rm o nde r () s 对公式 1, 令 t=k , 则 t=0 m + kn - k r s文献 1 中把有关的 卷积公式 V anderm onde , 且m n如下: r s r s r + s ()m , n 为整数 = t m + k + 1 6 k+ 1 n - k - 1 m + k n - k k m + n == r tsk ()1 m + kn - k s l l + s) ) () ( (k + m - rk - nk + 1 = 6 , m + k n + k l - m + n k () () ()k + m + 1k + s - n + 1k + 1 () 1 从而式 变为 ( ) ()l, m , n 为整数; l ? 02 r s + k s l s - m r + s k l+ m m - r, - n, 1 ( )() - = - 11F1 = ,6 n m + k n - l m + nk m n m + 1, s - n + 1 ( ) () l, m , n 为整数; l ? 03 即 r + s l - ks s - m - 1 k l+ m ( )() = - - 116 - r, - n, 1m mk - n l - m - n m + nk?l ()F1 = 6 r s m + 1, s - n + 1 ( ) () l, m , n 为正整数4 m n l - k q + k l + q + 1 = r + s 6 m n m + n + 10?k?l- r, - n n () () m , l, n, q 为整数; n ? q ? 0, l ? 05 m = 0 时, F 1 =, 其对ss - n + 1 以上等式都是关于2个二项式系数乘积的和的 等 n 式, 都涉及4个独立参数, 在求2个二项式系数乘 应的公式为 积的和的封闭形式及其他场合经常用到. 本文利 r r + s s )(, n 为整数= 6 用 超几何级数给出这些公式的统一形式.n - k n k k s k + 1 + m k+ 1() 在式 6中, 令 a = m - r, b = - n, c = m +( )- 1 t- k - 1 m l - m - n k+ 1 () 1, d = s - n + 1, 则式 6经整理变为= = stkk + mk ( )1- a, b, 1 ) ) )()((() (d + c - a - b - 2! c - 1! - a! - b! d - 1! m l - m - n - kF1 = )()()() (c - b - 1! d - a - 1! c - 1 - a! d - b - 1! c, d ()) (k + m + 1k + m + n - l,()( ) () k + m + n + s - l + 1k + 17 sl() 从而式 4变为 () 对公式 2, 令 t=, 则 t=k 0 m + k n + k s m + 1, m + n - l, 1s - m - 1 F 1 =. l s l - m - n l - m - nm + n + s - l + 1, 1 , 且m n () 由此可知, 在式 7中令 a = m + 1, b = m + n -l s () l, c = m + n + s - l + 1, d = 1, 即为式 4. tk + 1m + k + 1 n + k + 1 ==() 对式 5, l tsk kl + q - k l - kq + k m + k n + k = =6 6m mn n ) () () (0?k?l l+ q?k ?nk + m - lk + n - sk + 1 , () () () k + m + 1k + n + 1k + 1 l + q - n - k k + n , 6m n () 从而式 2变为k?0 l + q - n - k n + k l s m - l, n - s, 1l + s 令 t=, 则 t=k 0 F 1 =,m n l - m + nm + 1, n + 1 m n l + q - n () 由此可知, 在式 7中令参数 a = m - l, b = n - s, , 且 m ()c = m + 1, d = n + 1, 即为式 2. l + q - n - k - 1 n + k + 1k l + k s () ( ) 对式 3, 令 t=- 1, 则 tk m k + 1 n ==m + k n tl + q - n - kn + k k l s m n t= , 且0 () () k + m + n - l - qk + n + 1m n , () ()k + n - l - qk + 1 l s + k + 1 k+ 1 () - 1 tn k + 1() m + k + 1 从而式 5变为 = = ltk s + kk l + q - nm + n - l - q, n + 1, 1 l + q + 1 () - 1 1 =.Fm + k n mn - l - q, 1m + n + 1 () () () k + m - lk + s + 1k + 1() , 在式 7中令参数 a = m + n - l - q, b 由此可知,() () () k + m + 1k + s + 1 - nk + 1 () = n + 1, c = n - l - q, d = 1, 即为式 5.() 从而式 3变为 () 注意: 1若无特殊声明, 本文所用二项式系 l s s - m s + 1, m - l, 1l+ m () 1 = - 1 F .数为通常意义下的二项式系数, 而阶乘是指正数的 + 1, s + 1 - nn - lm m n 乘阶. () 由此可知, 在式 7中令参数 a = s + 1, b = m - l, () ()() ( 2式 3、5分别在条件 s > m ax m - 1, ()c = m + 1, d = s + 1 - n, 即为式 3.) - 1, n > l - 1 和 l + q > n - 1 下, 可统一于式 () 对式 4, 将左边变形为 () 7, 若遇到负整数的阶乘时, 用文献1 中的广义l - k s k () 阶乘定义. 下面只证明式3, 用同样的方法可证明 () - 1= 6m k - n k?l ()式5. k s l- k () 将参数 a = s + 1、b = m - l、c = m + 1、d ==- 16l - k - n k ?0 m () + 1 - n 代入式 7右边得 s k sk l) () ( ) ( ) ( l - n - 1!m ! - s - 1! l - m ! s - n ! () () - 1= - 1 6=- k - n l k?0 m ) () () (l! - n - 1! m - s - 1! s - n - m + l! ks k l) (s - n! 1 () () - 1=- 1 r. 6 l - k - n () l s - n - m + l!k?m m k + m s m l+ m k () () - 1- 1,6 m- k - m - n l (() (() ) ) k?0 # n + 1 sinn + 1 + ΕΠ# s - m + 1 sins - m + 1 + ΕΠ =lim(() (() ) ) Ε?0 # n - l + 1 sinn - l + 1 + ΕΠ# s + 1sin s + 1 + ΕΠ k + m s k () - 1, 则 t =令 tk =0 l+ m() s - m - 1 m l - k - m - n .l s n - l s, 且 m n l - m - n 此与所证明的吻合.且 t () () () k + 1k + m - lk + 1 + m k + m + n - l - q3 几个超几何变换 =) () () ( k + m - l - qk + m - lk + 1 tk () () 结合式 1的证明及式 6可得到超几何变所以 l - m + q m - l, 1 + m , m + n - l - ql + q + 1 换: F1 = n m - l - q, m - lm + n + 1 r s m - r, - n, 1 F 1 = 从而有变换: m + 1, s - n + 1 m n l - m + q m - l, 1 + m , m + n - l - q s - r, - n - mF 1 =F1 .n m - l - q, m - l m + n s - m - n + 1 l + q - n m + n - l - q, n + 1, 1()() 同样, 由公式 2、3分别可得变换: F 1 n - l - q, 1m l s m - l, n - s, 1F 1 =由以上讨论可知, 上述方法是得到超几何变换 + 1, n + 1 m m n 的一种简捷方法. s - l, n - s - mF1 ,例 由 文 献 2 中 例 2 的 和 s = n - m n - m + 1 k n + k 2k ()- 1 可得变换: , l s s + 1, m - l, 1 6k + 1k m + 2k F 1 =k?0 m + 1, s + 1 - n m n 1 n + 1, m - n, , 1s - m - l, s + 1 - m 2F 1 .F 1 = n s + 1 - m - n1 1 () 1 + m ,m + 1, 2 () 对式 5左边稍加变化可得2 2 l - k q + k 1 =n + m , n, - - 1 - 6 m (2)nm m - 10?k?l F1 - 1 . () 2n n + 1 - m m - 1m l - k () (k) () q + k q + k - 1k + 1 , = 2 26 () ()n n - 1n - q + 1 m n - q 0?k?l 1 4 结 语() ( ) q + l - k l - k + 1 r6 (() ) n - 1n - q + 1n k?0 本文得到恒等式的统一形式是 V anderm onde k l - k = 在一定条件下进行的, 但已经看出它的方便: 只要- qn m 证明其中一个即可得到其他公式的证明. 另外, 利 1 () ( q + l - k - m l 6 () () n n - 1n - q + 1k?0 用3节中的方法可得到很多有用的超几何变换. - k - m l k + m 参考文献: ) - k - m + 1 n - qm ) ( ( 令 t= q + l - m - k l - k - m +k 1 帕塔希尼克. 具体数学M . 庄心谷. 西安: 西安电子 l - k - mk + m 科技大学出版社, 1992., 则 ) 1 n - q m 2 R O Y R. B inom ia l iden t it ie s and h yp e rgeom e t r ic l - m ser ie sJ . Am er M a th M on , 1987, 94: 37246. ) ( ()t= q + l - m l - m + 10 n - q A un if ied f orm ula of Van derm on de iden t it ies an d som e hypergeom etr ic tran sf orma t ion s 2, 2ZHAO X iq ia ng W ANG T ia nm ing ( ). .. , . ., 116024, D e p tof A p p l M a thD a lia n U n ivof Te c hno l D a lia n C h ina V ande rm onde iden t it ies a re som e im po r tan t fo rm u la s. F ir st, th is p ap e r g ives the hyp e rgeom et r ic : A bstra ct ser ies fo rm of f ive fo rm u la s, and a lso ob ta in s a un if ied fo rm u la of th em by u sing the hyp ergeom e t r ic se r ie s. T he un if ied fo rm u la of V ande rm onde iden t it ies can be conven ien t ly u sed in dea ling w ith som e iden t it ie s. F ina lly, th is p ap er p resen t s a m ethod of con st ruct ing hyp ergeom e t r ic t ran sfo rm a t ion s and ob ta in s som e hyp e rgeom et r ic t ran sfo rm a t ion s rela ted to V anderm onde iden t it ie s. Key words: convo lu t ion fo rm u la; iden t it ie s; hyp e rgeom et r ic ser ie sƒt ran sfo rm a t ion of hyp e rgeom et r ic ser ie s