北京交通大学第二学期〈微积分(B)II〉期末考试试卷(A)及其答案.doc

北京交通大学第二学期〈微积分(B)II〉期末(A)及其.doc 2005-2006学年第二学期〈微积分(B)II〉期末考试试卷(A)答案 一、简答题( 每小题5分,共55分)判分:(1)答案正确时，一般不扣分，除非有明显的作弊倾向。(2)答案不正确时，可按步骤给分。 2x1( 已知z,y，求z的全微分dz. 2x2x,1解: dz,(2ylny)dx，(2xy)dy 评分:(+1分);一个“( )”+2分 dz,()dx，()dy “,”2(设 z=f (x , y) 为二元函数. 在下图所示的方框中, 用将 f (x , y) 在 (x , y)处的连续性,可微性等关系示出来. 解: ,,f连续f,f连续 xy ,,df存在f,f存在 xy 评分:缺一个或多一个箭头扣一分。不给负分。 2,z,zy2(,)z,fxy,.3(设, 其中 f 具有二阶连续的偏导数, 求 x,x,x,y ,zy,,,f2xy,f.(，2分)解: 122,xx 2,z11y122,,,,,,,,,,,2xf，2xy[fx，f],f,[fx，f](，3分)111122212222,x,yxxxx 1y3,,,,,,,,,2xf,f，2xyf，yf,f.1211122223xx 3z4(求曲面 处的切平面方程. 2x,ye,ln(z，1),0在点(1，2，0) 第 1 页 共 10 页 12zz(6x,,e,,ye,),(6,,1,,3)解, z，1 所求, 6(x,1),(y,2),3z,0,6x,y,3z,4,0 评分:6～-1～-3～一个数一分～法向量有错最多2分。 ,25(求函数 的方向导数. u,2xy,z在点M(1，1，1)处沿方向l,(1,1,1) ,, ,ull2,,,解: ,,,(u,u,u),,(2y,2x,,2z),,(2,2,,2),(1,1,1)/3,.xyz,l|l||l|3 评分:对应以上各等号分别给到1、2、4、5分。 224,x 6( 交换二次积分的积分次序. I,dxf(x,y)dy,,202x,x 2221,1,y4,y4,y112 I,dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx解: ,,,,,,2000101，1,y 评分:对一个2分,对两个4分.只有正确图1分.用减法扣1分(因为f会无定义) 222227(设,是z,x，y,0,z,1的部分,求(3xy，x，y,z,1)dS. ,,, 解1:用对称和曲面代入 1 I,0，0，(,1)dS,,，底周长，斜高,,2,,,2, 22,,I,()1，z，zdxdy|解2: xy22,,z,x，y22D:xy1，, 2,1 ,,d(3rcos,rsin,,1)2rdr,,2, ,,00 评分:解1;解2各等号给到2、2、5,2、4、5分。 n,a8(填空题.当常数a,p满足条件 a,,1,0,p,1 时,级数条件收敛. ,pnn,1 第 2 页 共 10 页 n,a当常数a,p满足条件|a|,1或|a|,1，p,1 时,级数绝对收敛. ,pnn,1 00). 22解:原式=(z，z，x，y)dxdydz (用球坐标) ,,,, 2,,/42a2,,d,d(2rcos,，rsin,)rsin,dr ,,,00a 2a,/43,,2rdr(2cos,，sin,)sin,d, ,,a0 2a,/44，，r11，，2,,2sin,，(,,sin2,) ,,,,422，，，，0a 44，，,,15a11115a，，,,2，(,),(0，0),(2，,) ,,,,4224216，，，， 评分:得第一行3分, 得第二行再加4分(每对积分限各1分,被积函数1分),最后结果再加 2分 n1，,x14(求幂级数的收敛区间(不考虑区间端点),以及这个幂级数在收敛区间上的,n(n，1)n,1 ，n1,(,1)和函数.并利用所得结果计算数项级数的和. ,nn(n，1)2,n1 第 5 页 共 10 页 解:显然收敛区间为: | x |<1 或 (-1,1) n1，,,1xn1,,,S(x),,则. 记S(x),x,,,n(n，1)1,xn1,n1, x1,,故 . S(x),S(0)，dx,,ln(1,x),1,x0 x,1x ,，,,,,,, S(x)S(0)ln(1x)dx0(xln(1x)xdx)0,,,1x0 1,x,1x,,xln(1,x)，(dx),(1,x)ln(1,x)，x . 0,1,x n1，,(,1)13313,,,,显然所求数项级数=2,2S,,2ln,,3ln,1. ,,,,,n1，22222n(n，1)2,,,,n1, ,1n1,,,评分: 收敛区间2分; “S(x),x,” +3分(前2后1) ,1,xn1, ,“” +1分; “” +1分 S(x),,ln(1,x)S(x),(1,x)ln(1,x)，x 1,,数项级数+2分 (如含且结果不对,可加1分). S,,,2,, 15(一曲线为连接O (0,0)和A (1,1)的一段凸曲线, 2OP曲线 OA 上任一P (x,y)满足: 曲线 OP 与直线 所围图形的面积为,求曲线 OA x 的方程. 解:设所求 y=y(x) 由题意 xxxy(x)2x,(上线,下线)dx,(上线,下线)dt,[y(t),t]dt ,,,x000 //xx2,,,,y(x)y(x)x1,,,,, 2x,y(t)dt,tdt,y(x),,y(x),[y(x)x，y(x)],,,,,,xx22,,,00,xx 1,,4x,y,xy,y,y,,4得 x 第 6 页 共 10 页 11,,dx,dx，，1，，,,xx 故y,e(,4)edx，C,x,4dx，C,x[,4lnx，c],,,,,,x，，，， 最后将x=1,y=1代入得 C=1. 所以所求为: y=x[-4lnx+1] xxy(x)2评分: “”4分(前2后2);求导得微分方程,+2x,(上线,下线)dx,[y(t),t]dt,,x00 分;得通解+2分;得特解+1分(给出y(1)=1也可加1分). xdy,ydx16(计算曲线积分, 其中L 是抛物线 y= - (x+1)(x-3) 上由点 A (3,0) 到 22,x，yL 点 B (-1,0) 的一段弧. //2222，，，，x,yy,xy,x,, 解1:因为Q,P,,,,,0xy,,,,22222222x，yx，yx，yx，y，，，，xy 所以在不含(0,0)的单连域内积分与路径无关.如图 取路径,其中AE是直线线段;C是心在原点,半径为r(r较小)的上半圆,L,AE，C，DB1 从E到D; DB是直线线段.故 xdyydx, ,，，22,,,,xy，LCAEDB L C 其中 B D E A x,rx,,1 ,,0,,0,,,,; x,3x,,rDBAEy,0y,0 第 7 页 共 10 页 t,,,rcostdrsint,rsintdrcost ,,,,2222,,, rcost，rsintx,rcostCt,00y,rsint 因此 所求=. 0，,，0,, ,,解2: 同解1;然后用格林公式,图同解 1 Q,P,0xy xdyydx,0下同解1. ,，，，,，，，22,,,,,,,,xy，,LCCL，BD，C，EAAEDBAEDB ,,解3: Q,P,0及与路径无关同解1; 然后门形路径.其中 k>0. xy xdyydx, ,，，22,,,,xy，LAHHGGB k,ykk3dyyk，，arctanarctan,,,,22,,,,, 333，y，，0,00yAH,3x ,0ykdyk,,,,,arctany,arctank022,,, 1，y,0ykGB,,1x 3x,,,11kdxx,31，，,,,,，arctanarctanarctan22,,,,, kxkkk，，，,1x,HG33yk, ,,，,,因此 所求= 22 ,,Q,P,0评分: “”+3分;后面分段积分,直线段-段1分;半圆线段2分,解1、解2结论2xy 分.解3结论3分. 三、附加题( 每小题10分,共20分) 附1.已知数列满足: x|x,x|,k|x,x|,n,2,3,4,？其中0,k,1.n，1nnn,1n 第 8 页 共 10 页 , (1) 证明: 级数收敛. (2) 证明: 存在. limx|x,x|,nn1n，n,,n1, 解: (1)因为 31n,: |x,x|,k|x,x|,kk|x,x|,k|x,x|,k|x,x|11122321n，nnn,n,n,n,n, ,,n1,而:收敛(因为q=k<1), 所以 级数 收敛. k|x,x||x,x|,,n1n21，nn11,, , (2) 由(1) 级数收敛, (x,x),n1n，n1, , 而 收敛收敛, 即limx存在. (x,x),x,nn1nn，n,,n1, ,lims,lim[(x,x)，(x,x)，？，(x,x)],lim[x,x]{因为”左边” n2132n，1nn，11n,,n,,n,, ,存在存在.} limxnn,, 评分:(1)6分,其中不等式3分,比较法推理3分. 用极限比值判别法要扣3分. (2)4分.第一句话2分, 第二句话2分(无“{ }”中的内容，可不扣分). x/2x/22,(t,u)dudte,,0tlim附2(求极限 . 2，,x/4x,01,e 2xxtu,(,)0其中:,,，,,edtduDttu解1:分子= ,,22D 由二重积分中值定理 2221x,,,,,,,,,,()()e，(D的面积),e,(,,,),D,,分子= 22,, ，.因此 注意x,0时，整个区域D,(0，0)，故(,，,),(0，0) 第 9 页 共 10 页 2222,,,,,(,),(,)xx112e，，e，，11,(,,,)2222lim,lim,lime,所求= 22，，，x,/4xxx,0,0,022(/4),,x(1),e, 解2:代值可知可用罗必达法则,分子的积分区域图同解1,为求导交换积分次序 /u，，2xu/2x,,tu,(,)，，2edttu,(,),,,,,edtdu,,2x,,,,x0，，u,00，，2lim,lim所求= 22，，xx,/4,/42xx,0,0,1,e,e(,x/4)x x/20x2x(),t,21,,,s2st令,,edteds,,,,22,,0,x/2,lim,,,,,,,,,,lim，，00x,x,xx(/2) /21x,,s,，lim，,,，,,e,, ，x,sx0,,/222,,x 评分:解1,积分中值定理正确(含D的面积计算)+5分,知道,+2分. (，),(0，0),,分母处理1分,结论2分. 解2:按本解法各等号给到4、6、6、9、9、10. 第 10 页 共 10 页