3次单位根的性质及应用

3次单位根的性质及应用 3 严 贤 灿 ( ) 襄樊市五中 , 湖北 441021 ( ) 中图分类号 :O122 - 42 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 200201 - 0017 - 01 2 2高中《代数》下册 195 页有这样一道证明 : 设解 ? z + z z + z = 0 , 且 z , z 均不为零. 1 1 2 2 1 2 z z 13 2 2 2 2 ω ) ω ω= - + i , 求证 :11 + + = 0 ;( ) ? + + 1 = 0 ,2 2 z z 1 13 ) ω 2= 1 . z 2 ω = 由结论 ?可令 , z 13 1 ωω其实虚数 还可以取 - - i , 并且 , 对于 2 2 z 1 1 1 2001 2 ( )则 = = ω ω的两个不同取值 , 都满 足下列结 论 ?1 + += 0 . 2001 z + z + z z ( ω) 1 21 + 1 2 2001 3 2 3 2 )( ωωωωωω = 1 . ? = . ?? = 1. ?= .z 1 1 111 ω(ωω) ? = 示的共轭复数. = - 1 . = = = - 2 200140023 1334 ω( ω) ω (ω) - - ω 利用这些结论解与 相关的问题 , 可以简化运 z2 1 1 2001 (同理 ) = = 算 , 收到意想不到的效果.z+ z z + z 11 2 12 2001 20013 3 2 ( )1 + ( ) 例 1 如果虚数 z 满足 z = 8 , 那么 z + z + 2 z ωz 2+ 2 的值是多少 ? 1 1 = = 3 2001 2 2001 解 ? z 为虚数且 z = 8 , 根据结论 ?可设( ω) ( ω) 1 + 1 + 3 2 2 ωωω 1 1 z = 2, 从而 z+ z+ 2 z + 2 = 8 + 4+ 4+ 2= -= - 1 , = 2001 3 6672 ( ω) (ω) - (ωω ) = 8 + 4 + + 1- 2( ) 故原代数式的值为 - 1 + - 1= - 2 . = 8 + 4 ×0 - 2 = 6.2 2 ( )) ( 1 + z 1 + z 2 ( )例 2 若 x 为 - 1 的虚立方根 , 则 1 + x + x 例 5 若虚数 z 满足 z = z , 求 2 2 )( ) ( 1 - z 1 - z ( ) ?1 - x - x 的值为多少 ?的值. 3 解 ? x 为虚数 , 且 x = - 1 , 由结论 ?可设2 ω 解 ? z 为虚数 ,且 z= z ,由结论 ?可设 z = , ωx = - .2 2 2 2 ω) ( ω)( 1 + 1 + ( ) ( ) 1 + z 1 + z ( ) ( ) 从而 1 + x + x 1 - x - x =? 2 2 2 2 ( ω) ( ω)1 - 1 - ( )) ( 1 - z 1 - z ( ω ω) ( ω ω)= 1 - + 1 + - 2 3 ω 2 2 2 3 4ω ω0 + 11 + + 1 + (ω ω) ωωω= 1 - - = 1 - + 2- .= = =3 2 ω ω ω+- 1 - 2 2 ωω (ωω ) = 1 - + 2 - = - + + 1+ 42 - 0 + 1 3 2001 112001 = 0 + 4 = 4.例 6 若 x + = - 1 成立 ,求 x+ 的值.3 2 n x x 例 3 方程 x - 1 = 0 的一虚根为 z , 求 z + 1n 解 ? x + = - 1 , ( ) n z + 1 ?N的值. x3 2 ω 解 ? z 为虚数 ,且 z= 1 ,由结论 ?可设 z = . ω? x + x + 1 = 0 , 由结论 ?可设 x = . 2 n n 2 n n ωω? z + z + 1 = + + 1 . 1 1 20012001 2 n n 6 k 3 k ω则 x + = +2001 ) ωω2001( 当 n = 3 k k ?N时 , z + z + 1 = + + ωx 1 = 1 + 1 + 1 = 3. 3 1 667 (ω)= n + = 1 + 1 = 2. ) ( 当 n ?3 k k ?N时 , z - 1 ?0 ,3 667 (ω) n 2 n n 3 n 以上六道例题在解题过程中 , 都是根据题中所 ( ) ( ) 而 z - 1z + z + 1= z - 1 = 0 ,2 n n ω 给条件和结论 ?, ?, 将问题巧妙地转化为与 相 ? z + z + 1 = 0 . 2 n n 关的问题解决. 数学课本中 , 还有许多类似的结论 , 故 z + z + 1 的值为 3 或 0 . 将其用于解题 , 既可优化解题过程 , 也可使看似无法2 2 例 4 非零复数 z , z 满足 z + z z + z = 0 ,1 2 1 1 22 下手的问题迎刃而解.z + z z 1 2z 122001 ( ) ( + 求代数式 z + z 2001 1 2) 的值.