滴水可以穿石？ - STEINER

滴水可以穿石？ - STEINER 滴水可以穿石, 1,2,3,4,5,6….是等差數列,而等差數列的倒數1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6…..稱為調和數列,很明顯的這樣的一個調和數列,每一項是越來越小的,當項數足夠大時每一項將是非常的小,所以讓 11111，，，，我們考慮調和數列相加所形成的調和級數,….是不是12345會因為後面很小而有極限,是NO，,也就是說,雖然後面的數 11111，，，，字雖然越來越小,但調和級數….卻是會變成無限大12345 的。證明之前讓我們先看兩個引理, 1113，，,引理一,a>1,則 a,1aa，1a 112a2a21113，，,，,,,證明,因為,所以 22a1a1aa,1a，1aa,，a1a, 此引理保證連續3個正整數的倒數和一定大於中間整數倒數的3倍。 k(k，1)引理二,滿足第k個數為的數稱為三角數,如1,3,6,10,…,,2 1111，則三角數的倒數和S=+++…………=2 13610 1111，證明,S=+++………… 13610 S111,，，+………… ,22612 11111,,=,1-,+,,+,,+…….=1 22334 S=2 , 以下我們證明我們的主要定理, 111111，，，，Thm,調和級數……+…..為無限大。 12345k 證明一,由引理一 1111111111111,,,,，，，，……+……=…… ，，，，，，，,,,,12345k1234567,,,, 133311111，，，>+…=，，，，… 136941123 11111111,,,,，>…. ，，，，，，，,,,,11234567,,,, ………… 依此類推,這種步驟可以無限次,所以 111111，，，，……+……可以無限大。 12345k 111112345，，，，.....,，，，，，證明二,先假設A=…….即讓級234526122030數A的分子順序是1,2,3,4,5……,則由引理二知 111，，，...C==1,C為引理二中S的1/2, 2612 1111，，....D= =1-, 61222 1111，....,,E= = 26312 . . 123，，，....將上面各式相加,左邊得C+D+E+…..==A 2612 11，，....而右邊=1+=1+A,於是我們得到A=1+A,這等式唯23 111111，，，，一的可能就是A為無限大,所以……+…..當12345k然為無限大。 111111311112,,,,，,，證明三,因為=1=，，，,1，，, ,,,,,122221234442,,,,11111111311114,,,,，，，，，，，,，，，，,…….. ,,,,,12345678288882,,,, 11111k，11，，，，依此類推……+>,因為k可以無限大,k1234522 111111，，，，所以調和級數……+…..當然為無限大。 12345k