似然比检验
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 年 春季
0 (四个)最常用的假设检验:应用复习
我们针对同一个随机样本的应用,来复习一下四个最常用的假设检验框架。对每种检验,
我们需要变换所做的假设和决策规则。
0.1 随机样本
设 1,..., 10X X 为总体服从正态分布的一个随机样本,均值(μ)未知,标准差已知(σ=1)。
下面的表格代表了随机样本的实现值:
0.2 似然比检验 (LRT):
用显著性水平为 5%进行似然比检验,原假设...
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 年 春季
0 (四个)最常用的假设检验:应用复习
我们针对同一个随机样本的应用,来复习一下四个最常用的假设检验框架。对每种检验,
我们需要变换所做的假设和决策规则。
0.1 随机样本
设 1,..., 10X X 为总体服从正态分布的一个随机样本,均值(μ)未知,
差已知(σ=1)。
下面的表格代表了随机样本的实现值:
0.2 似然比检验 (LRT):
用显著性水平为 5%进行似然比检验,原假设是总体均值为 0,备择假设是为总体均值为
1。
0 0H μ =:
1 1H μ =:
决策规则的表达式为: “如果 ,则拒绝 ” 。 1 0f f 〉(x)/ (x) k 0H
z 我们需要计算 k 和对于 0,1i = 时, if(x)的值。k的值取决于我们想要构造的检验
的显著性水平, if(x)的值取决于随机样本的实现值。
1
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0.2.1 计算 k
为了计算 k,我们需要先知道原假设中 1 0f f(x)/ (x)的分布。注意大写字母 X 说明统计
量 1 0f f(x)/ (x)是一个由随机样本中的随机变量函数构造的随机变量。
计算 1 0f f(x)/ (x)分布的方法取决于(具体例子)假定的总体分布,往往很难计算。一
旦知道了 1 0f f(x)/ (x)的分布,我们就可以寻找满足显著性水平条件的 k 值:
1 0
(P f f μ α〉(x)/ (x) k =0)= =0.05
DeGroot and Schervish(2002,第 465 页第八章)中提出一种不一定要知道 1 0f f(x)/ (x)
的 分 布 就 能 计 算 k 的 方 法 。 运 用 这 种 方 法 我 们 计 算 出 k=1.22 , 这 意 味 着
1 0( 1.22P f f μ α〉(x)/ (x) =0)= =0.05。大家课后可详见 DeGroot and Schervish 书中的叙述。
(不是考试必读部分)
0.2.2 计算似然比 1 0f f(x)/ (x)
计算 0f (x):
计算 1f (x):
2
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0.2.3 检验的结果
1 0f f 〉(x)/ (x)=1.49 k=1.22,所以,在显著性水平为 5%下,拒绝总体均值为 0 的原
假设,接受总体均值为 1 的备择假设。
0.3 单侧检验:
用显著性水平为 6%的单侧检验,检验原假设为总体均值为 0.4,备择假设为总体均值
大于 0.4。
0
1
0.4
0.4
H
H
μ
μ
=
〉
:
:
决策规则的表达式为:“ c〉 0“如果x ,则拒绝 H ”。
z 我们需要计算c值,它取决于我们想要构造的假设检验的显著性水平。
0.3.1 计算 c
我们要找到满足犯第一类错误的概率为 6%这一条件的 的值, c
0( 0.4 ) 0.06P X c μ α〉 = = =
要计算 ,我们首先需要知道随机变量c X 的分布。随机样本是正态分布,因此,可得
。那么在原假设中, ,所以,
因为 ,我们知道
3
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因为 ,z0.94=1.555,可得:
因此,
0.3.2 检验的结果
,所以,在显著性水平为 6%下,不能拒绝总体均值为 0.4 的
原假设 ,总体均值大于 0.4 的备择假设。 0H
0.4 双侧检验:
在显著性水平为 1%下,采用对称的双侧检验,检验总体均值等于 0.1 的原假设和总体
均值不等于 0.1 的备择假设。
0
1
0.1
0.1
H
H
μ
μ
=
≠
:
:
决策规则的表达形式为:“如果
c2 ,拒绝H0”。
z 需要计算c1和c2,它们的值取决于检验的显著性水平。
0.4.1 计算 c1 和 c2
我们需要找到满足犯第一类错误概率为 1%这一条件的c1和c2的值。
因为我们构造的是一个对称的检验,需要满足如下两个条件:
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P( c2|μ=0.1)=0.005
为了计算c1和c2,我们需要知道随机变量 X 的分布。随机样本是正态的,则可知
,在原假设中, ,因此:
且
因为 ,可得:
以及
因为 和 ,在这里, 和
,可得:
( ) 0.005P Z 〈 =0.005 z ( ) 0.005P Z 〉 =0.995 z 2.575= −0.005z
2.575= −0.995z
和
解得:
和
z 注意,计算c2可以遵循上述单侧检验中计算c的步骤。( 0.005α = )
0.4.2 检验结果
10.54 0.714 0.54 0.914x c x c= 〉 = − = 〈 =和 2 ,则显著性水平为 1%时不能够拒绝总体
均值等于 0.1 的原假设而去接受总体均值不为 0.1 的备择假设。
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0.5 广义似然比检验(GLRT):
我们并不是求解这个检验,而是给出基本的指导:
0
1
: 0
: 0
H
H
μ
μ
=
≠
决策规则表达式为: 。 0H〉“如果T d,则拒绝 ”
T 为如下统计量:
z 我们需要计算 T 和 d.。对于 T ,就要找到似然函数的最大值(给定样本数据),
通过在原假设和备择假设的集(此时 )中的所有可能的值估计 μ。这个似然函数的
最大值为从分母中得到的那个数值。
z 我们需要遵循相同的步骤来计算分子中的数值,但是,只需要在原假设空间内估计
μ所有可能值的似然数。因为在这种情况下,原假设空间是一个简单原假设,所以必须在μ
=0 处估计似然数。
z 我们根据条件, 0)P T d μ α〈 = =( ,计算 。与似然比检验一样,计算 T 的分布
方法因情况不同而异,很多时候很难计算。当计算广义似然比检验时,我们采用另一种方法。
这种方法只应用于假设 n→∞的情况下。在一个大样本中,我们知道
d
2 lnT− 的极限分布(这
一结果本课程不予证明)如下:
其中, 0r Ω Ω等于 中的自由参数#减掉 中的自由参数# r1
z 如果 22 ln T αχ− 〉 (r), , 。 0H则拒绝
1技术结果表明该分布是一个 2( )rχ 分布,自由度 0dim dimr = Ω − Ω 。
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0 (四个)最常用的假设检验:应用复习
0.1随机样本
0.2似然比检验 (LRT):
0.2.1计算 k
0.2.2 计算似然比
0.2.3检验的结果
0.3单侧检验:
0.3.1计算 c
0.3.2 检验的结果
0.4 双侧检验:
0.4.1 计算 c1 和 c2
0.4.2 检验结果
0.5广义似然比检验(GLRT):
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