§4.5 复数

§4.5  复数 复数具有代数形式、三角形式、几何形式等多种表示方法，这些表示所蕴含的实际意义，以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系。由于复数与复平面上的点，与以原点为起点的平面向量之间有着一一对应的关系，复数运算有着明确的几何意义，因而有关复数的问题在解法上有着构思巧妙、方法灵活的特点。 一、 复数知识 1. 复数的表示形式与运算 代数形式 ， 称为 的实部，记 ； 称为 的虚部，记为 。 三角形式， ， 称为 的模， 称为 的辐角，记辐角主值为 。 指数形式 ，注意到 ，指数形式即三角形式。 三种表示形式之间可以互化： 。 在复平面上，用点 表示复数 ，每个复数z与向量 一一对应。两个复数的和与差，对应这两个向量构成的平行四边形的两条对角线；复数的乘法与除法于对应平面向量的伸缩与旋转。 例1 复平面上动点 的轨迹方程为 ， 为定点， ；另一动点Z满足 ，求点Z的轨迹，并指明它在复平面上的形状和位置。（高中联赛，1988） 图4.5.1 解：由 知 ，所以 ，代入 得 。变形为 ，表示Z是以 为中心， 为半径的圆周，但应除去原点。 例2 设复数 在复平面上对应点分别为A，B，且 ，O为坐标原点，则△OAB的面积为 (A)    (B)   (C)     (D) (高中联赛，1992)  图4.5.2 解：由已知得 ，故 。故在复平面上等式两边的复数 和 所对应的向量互相垂直，即 （如图4.5.2）， 故 故选（A） 例3 设 都是复数，且 ， ， ，则 的值是＿＿＿＿＿＿。（高中联赛，1992） 图4.5.3 解：设 在复平面分别对应于点 （如图4.5.3），则 ，所以 ， 于是 ，或 ， 因此 例4 x的二次方程 中， 均是复数，且 。设这个方程的两个根 满足 ，求 的最大值和最小值。（高中联赛，1994） 图4.5.4 解： 根据韦达定理有 由 ，所以 ， 即 ，故复数 在以A(4,5)为圆心，以7为半径的圆周上（如图4.5.4）。又因为 ＜7，故原点O在⊙A内，连接OA，延长交⊙A于两点B,C则 为 的最大值， 为 的最小值。 2. 复数的模与共轭复数 如果 ，则 称为 的共轭复数， 称为复数 的模。 共轭复数有以下运算法则和性质： ； ； ； ； 。 模的运算法则及其性质： ； ； ； 。 例5 设复数 满足条件 ，试求 的最大值和最小值。 解：  又∵ ，  ∴ ， 令 ，则 ，故 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，故 时达到最大值，最大值为 ；当 是达到最小值零。 例6 设 为复数，满足 ，求证：上述 个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模大于六分之一。（CMO，1986） 证明： 设 ， ，有 ，求和， 故 ； ； ； 中至少有一个不小于 ，不妨设 ， 则 3. 复数的单位根 方程 称为1的 次单位根。由棣莫弗定理，全部 次单位根可表示为 。 关于单位根，有如下常用性质： ； 任意两个单位根 的乘积仍为一个 次单位根，且 ； 设 为整数， ，则 若 是全部 次单位根，则由 得 。 例7  集合A= 和B= 都是1的复数根的集合，集合C= 也是一个1的复数根集合，集合C中有多少个不同的元素。（美国） 解： 令 （1） 设 （2） 任取 ； ； 。 ∴ ，故Z=P，故集合C有144个不同元素。 4.  复数综合知识 例8  考虑复平面上的正方形，它的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 的四个根。求这种正方形面积的最小值。（西部奥林匹克。2002） 解： 设正方形的中心对应的复数为 ，则将复平面上的原点平移到 后，该正方形的顶点均匀分布在一个圆周上，即它们是方程 的解，这里 是某个复数，于是 对比 各次项系数，可知 为有理数，再结合 为整数，可得 为整数。这样利用 为整数，可知 是整数。 上述讨论表明：该正方形顶点是整系数方程 的根，于是其外接圆半径 不小于1，所以此正方形的面积不小于 。而方程 的四个根在复平面上对应于一个正方形的顶点。因此所求正方形的面积的最小值为2。 注： 利用上述方法可以证明：若一个正 边形的顶点对应的复数是某个整系数方程 的 个复根，则该正 边形的面积的最小值为 （参见§4.4例9） 例9 给定实数 已知复数 满足 求 的值。（高中联赛，1999） 解1  设 ， ， ，则 ，且 ，于是 ,及 构成一个菱形,或者两个退化的菱形。无论哪种情况,在 中只存在一个,其值为1.若 ,则 ，故 ；同理，若 或者 ，则 的值为 或 。 解2  因为 ，所以   （*）， 即 ，又 ，所以 带入（*）得到 ，整理得 ，分解因式得到        故 或者 或者 ，若 ，代入 得到 ，这时 ，类似的若 有 ，若 ， 。 解3 由复数为实数的充要条件和 得 （*  *），因为 ，所以 ，代入（*  *）得到 ，即 ，（* * *）又 （* * * *）， 由 和（* * *）、（* * * *）知复数 为方程 的三个根，解得 ，以下的步骤同解2。 二、 复数方法 1. 在代数中的应用 构造适当的复数，可以解决或化简某些代数问题的求解，开拓新的思路和方法。 例10 对自然数 ，令 为 的最小值，其中 为正实数，其和为17，若存在唯一的 使 也为整数，求 。 解： 可视为复数 的模， 故  由题设条件，应用 ，可以化为 ，所以 ，解得 。 例11 设 为自然数，求证方程                 ① 有模为1的复根的充要条件是 可被6整除。（CMO，1987） 图4.5.5 证明：  设方程有根 ，且 ，则因 ，两边取模得 ，即 。故 为圆 和圆 的交点（如图4.5.5），也可以说 三点连成等边三角形，故 ，当且仅当 被6整除时成立。又因为 ，故 。因 ，故 ，即 ，代入方程①，得 ，所以 可被6整除。 反之。若 可被6整除，令 ，易验证 , ，代入方程①，适合该方程，故 是方程①的解，从而 ，充分性得证。 例12 已知 ， 求证 。 证明：  根据题设， 构造复数 ， 则 由棣莫弗定理 得 。 由 得到 ，推得 即 ， 所以 ， 而 ， 所以 。 2. 在几何问题中的应用 复数的几何意义，为我们解决几何问题提供了有效的方法。 例13 如图4.5.6，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形。现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转。试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使△BMD为等腰直角三角形。（高中联赛，1987） 图4.5.6 证明1：  首先探索M点的位置，为此让△ADE绕A点旋转 ，使E点落在AB边上，不难证明，在这一特殊位置时，M点恰好是EC的中点。 下面再用复数证明一般情况下，M点仍是EC的中点（图4.5.7）。 建立如图4.5.8的复平面，使 。不妨设 ， 则 ， 则 。 由中点公式 ， 又因为 ， ， 故 且 。故△BMD是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。 图4.5.8                          图4.5.7 证明2  通过复数方法直接计算后确定M点的位置。为此仍将△ABC置于复平面，设A，B，C所对应的复数分别为0， ，AD长为1，则D，E对应的复数分别为 （这里 是AD的旋转角）。再以DB为斜边作等腰直角三角形DMB（如图4.5.8） 于是 . , 所以 。 由此可知M点是线段EC的中点，命题得证。 证明3  通过建立恰当的坐标系简化证明。由于AB＞AD，因而不论△ADE旋转到什么位置，B，D均不会重合，因而可取BD所在的直线为横坐标，BD中点为原点（如图4.5.9），设 ， 于是 ，故 ， 同理 ，则线段EC的中点M的值为 ， 而 ，恰好对应等腰三角形的三个顶点，即三角形BDM是等腰直角三角形。 图4.5.9 例14 若四边形ABCD内部有一点P，使四个三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA等积，求证P点必在对角线AC或BD上。（瑞典，1982） 分析  用复数表示三角形面积，形式非常简单。设 ， 则 。 由于 。 本题取P为复平面的原点，A、B、C、D对应复数 ，则由四个三角形等积， 得 ， 又因为 ， 所以 ，即 。 同理可得 ， 若 ，则 ，这说明P点为AC的中点， 若 ，则 ，这说明P点为BD的中点，所以P点必在AC或BD上。