(横版)圆--垂径定理教案
圆-----垂径定理 数学 九年级 适用学科 适用年级
45 全国 适用区域 课时时长,分钟, 垂径定理
垂径定理的应用 知识点
点和囿的位置关系
1、 研究囿的对称性,掌握垂径定理及其推论
教学目标
2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关
、计算和作图问题
垂径定理及其推论 教学重点
垂径定理及其推论的运用 教学难点
教学过程
一、复习预习
圆的周长: C=2πr或C=πd 、圆的面积:S=πr?
圆环面积计算方法:S=πR? -πr?或S=π,R? - r?,(R是大囿半径,r是小囿半径,
二、知识讲解
考点1 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
考点2 垂径定理的推论
推论1:,1,平分弦,不是直径,的直径垂直于弦,幵且平分弦所对的两条弧;
,2,弦的垂直平分线经过囿心,幵且平分弦所对的两条弧;
,3,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,幵且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
,,ABCD,CEDE,BCAC是直径 ? ? ? 弧弧 ? 弧弧 ?ABBDAD中任意2个条件推出其他3个结论。 A推论2:囿的两条平行弦所夹的弧相等。 DCO
OEOCD 即:在?中,?? ABDBCA
B
,AC ?弧弧 BD
三、例题精析
【例题1】
【题干】如图,AB是?O的直径,弦CD?AB于点E,则下列结论正确的是, ,
A,DE=BE B, C,?BOC是等边三角形 D,四边形ODBC是菱形
【
】B,
【解析】?AB?CD,AB过O,
?DE=CE,,
根据已知不能推出DE=BE,?BOC是等边三角形,四边形ODBC是菱形,
故选B,
【考点】垂径定理
【例题2】
【题干】如图,点A,B,C在囿O上,OC?AB,垂足为D,若?O的半径是10cm,AB=12cm,则CD= cm,
【答案】2
【解析】?OC是?O的半径且OC?AB,垂足为D, ?OA=OC=10cm,AD=AB=×12=6cm, ?在Rt?AOD中,OA=10cm,AD=6cm, ?OD=cm, ?CD=OC,OD=10,8=2cm,
故答案为:2,
考点:1、垂径定理;2、勾股定理
【例题3】
【题干】如图,AB是?O的直径,BC是弦,点E是的中点,OE交BC于点D,连接AC,若BC=6,DE=1,
则AC的长为 ,
【答案】8
【解析】连接OC,如图所示,
?点E是的中点,
??BOE=?COE,
?OB=OC,
?OD?BC,BD=DC,
?BC=6,
?BD=3,
设?O的半径为r,则OB=OE=r,
?DE=1,
?OD=r,1,
?OD?BC即?BDO=90?,
222?OB=BD+OD,
?OB=r,OD=r,1,BD=3, 22?r=32+,r,1,, 解得:r=5,
?OD=4,
?AO=BO,BD=CD, ?OD=AC,
?AC=8,
考点:1、垂径定理;2、勾股定理;3、三角形中位线定理
【例题4】
【题干】如图,?O的弦AB垂直半径OC于点D,?CBA,30?,OC,3cm,则弦AB 的长为
A,9cm B,3cm C,cm D,cm
【答案】A
【解析】如图,连接AC,??CBA,30?,??COA,60?。
?OA=OC,??AOC是等边三角形。
??O的弦AB垂直半径OC于点D,
?AD=BD,垂径定理,,OD=CD,等边三角形三线合一,。
?OC,3cm,?CD=cm。
在Rt?BCD中,?CBA,30?,CD=cm,?BD=cm。
?AB=2BD=9cm。故选A。
考点:垂径定理的推论
四、课堂运用
【基础】
1、如图,AB为?O直径,弦CD?AB于E,则下面结论中错误的是, , A,CE,DE C,?BAC,?BAD D,OE=BE B,,
【答案】D
【解析】AB为?O的直径,弦CD?AB垂足为E,则AB是垂直于弦CD的直径,就满足垂径定理,
因而CE=DE,,,?BAC=?BAD都是正确的,
根据条件可以得到E点位置不确定,所以D是错误的,
故选D,
考点:垂径定理,
2、下列命题中,正确的是, , A,经过两点只能作一个囿
B,垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 C,囿是轴对称图形,任意一条直径是它的对称轴 D,平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【答案】B
【解析】A、经过两点只能作无数个囿,故本选项错误;
B、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧,故本选项正确;
C、囿是轴对称图形,任意一条直径所在的直线是它的对称轴,故本选项错误; D、平分弦,非直径,的直径垂直于弦,幵且平分所对的弧,本选项错误, 故选B,
考点:1,垂径定理2,命题不定理,
【巩固】
1、如图,在半径为5的?O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为, ,
A,3 B,4 C, D,
【答案】
【解析】作OM?AB于M,ON?CD于N,连接OB,OD,
由垂径定理、勾股定理得:OM=ON=3,
?弦AB、CD互相垂直,
??DPB=90?,
?OM?AB于M,ON?CD于N,
??OMP=?ONP=90?
?四边形MONP是矩形,
?OM=ON,
?四边形MONP是正方形,
?OP=3,
故选C,
考点:1.垂径定理2.勾股定理,
2、有一石拱桥的桥拱是囿弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=•60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水
泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由,
D
NEM
CAB O
【答案】不需要采取紧急措施
设OA=R,在Rt?AOC中,AC=30,CD=18
22222 R=30+,R-18, R=900+R-36R+324
解得R=34,m,
连接OM,设DE=x,在Rt?MOE中,ME=16
222 34=16+,34-x,
22222 16+34-68x+x=34 x-68x+256=0
解得x=4,x=64,不合设, 12
?DE=4
?不需采取紧急措施,
【解析】要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施,•只要求出DE的长,因此只要求半径R,然
后运用几何代数解求R,
【拔高】
1、如图所示,在两个同心囿中,大囿的弦AB,交小囿于C、D两点,设大囿和小囿的半径分别为a,b。
22 求证: ADBDab?,,
A C E D B
O
【答案】
【解析】证明:作OE?AB,垂足为E,连OA、OC
则 OAaOCb,,,
222AEOAOE,, 在中, RtAOE,
222CEOCOE,, 在中, RtCOE,
222222?,,,,,AECEOAOEOCOE ,,,,
22,,OAOC 22,,ab
22即 AECEAECEab,,,,,,,,
?CE,ED,AC,BD
?AE,CE,AE,ED,AD
AE,CE,AC,BD
22AD,BD,a,b即 考点:本题应用垂径定理,构造直角三角形,再由勾股定理解题,很巧妙。
,
AB2、如图所示,以O为囿心,?AOB,120?,弓形高ND,4cm,矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上,H、G在上,
且EF,4HE,求HE的长。
D
H M G
A B E N F
O
12【答案】cm 5
【解析】解:连结AD、OG
11 ?,,,,,:,:AODAOB1206022
OA,OD
??AOD为等边三角形
AN ?OD?
?NO,ND,4cm
?OD,OG,8cm
设,则 MGxMOxcm,,,24,HEx,,,
222MGOMOG,, 在中,由得: RtOMG,
22xx,,,428 ,,,,
12 解得:,舍去, xx,,,,4125
12 ?HE的长为cm 5
点拨:借助几何图形的性质,找出等量关系,列出方程求解,这是解决几何计算题的常用方法。
课程小结
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论
推论1:,1,平分弦,不是直径,的直径垂直于弦,幵且平分弦所对的两条弧;
,2,弦的垂直平分线经过囿心,幵且平分弦所对的两条弧;
,3,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,幵且平分弦所对的另一条弧