伪球面Sv^n上的常（负）曲率极小曲面

伪球面Sv^n上的常（负）曲率极小曲面 伪球面Sv 上的常(负)曲率极小曲面 第25卷第3期 2001年9月 南昌土学(理科版) JournalofNanchangUniversity(NaturalS~icnce) vol25No.3 Sept.2001 文章编号:1006—0464(2001)03—0224—04 伪球面S上的常(负)曲率极小曲面 陈文财,黎镇琦 (南昌土学敷学丧.江西南昌330047) 摘要:运用作用在伪欧氏向量值Able形式上的微分算子a与百,证明了伪球面s:上不存在高斯曲 率K<0的常曲率极小曲面. 关键词:伪球面:高斯曲率;极小曲面 中图分类号:O186.1文献标识码:A 1引言与主要结果 在文[1]中.R.L.Bryant定义了两个作用在黎曼曲面M的Abel形式及欧氏向量值Abel 形式上的微分算子x与Y,并利用它们对单位球面S上的常曲率极小曲面作了一个完全的 分类.其中,当曲面M的高斯曲率K<0时.他证明了S上没有负常曲率的极小曲面. 文[2]将算子x与Y的定义推广到一般向量丛值的Abel形式上,记为a与i,并指出向量 丛为平凡丛MxR时,算子a与a即是Bryant在文[1]中所定义的算子x与Y.本文讨论算 子a与a在伪欧氏向量值Abel形式上的作用.得到引理2和引理3两个引理.并且证明了下述 定理: 定理设M是高斯曲率K为常数的黎曼曲面,当K<0时.不存在曲面M到伪欧氏空 间R:?的光滑映射:MR?,满足?一2x.(,)=1.从而,伪球面S:上没有负常 曲率的极小曲面. 2定理的证明 本文采用文[2]中的记号与定义. M是具黎曼度量出的连通曲面.高斯曲率K为常数.R:”是指标为v的伪欧氏空间, 其内积记为(,).s:={?R:”:,)=1t称作单位伪球面. 引理1假设:M—R是黎曼曲面M到伪欧氏空间R”的等距浸入.那么(M) 亡s:,且在s:中的平均曲率向量H=0,或者说M是伪球面s:中的极小曲面,当且仅当凸 =一2x,其中?是M上的拉普拉斯算子. 证明由文[3]中的定理可知,l理1是其必然结果.证毕. 引理2:M—R:”是常曲率K的黎曼曲面到曲欧氏空间R”的光滑映射, 满足?c ==韭刍盟壁童整数m>0有 收稿日期:2000—11—23 基金项目:国家自然科学基金资助项目(19871038);教育部全国优秀 博士作者专项资金资助项日 (199917) 作者简开;陈文财(1969一).男,硕士生. 第3期陈文财等:伪球面上的常(负)衄率极小衄面 a={[(:)K一-]a一Jzc- a={[(:)K一-]一Jzcz 证明由文[2]中的引理2.1知 ,Sx=2(a—a十一aa)=一2,a—a一一a3=o 故有 :一i 1 ,即:1时引理成立. 现对m作归纳法.设 33~3c=划一-z 利用文[2]中的引理2.1直接计算可得 az=5a(az) = 3a(az)Kmaz 一 ]@~-1x+ = ‚(‘卜)K一-az 由归纳法,对所有的m>0,(1)式成立而对(1)式取共轭即得(2)式.证 毕. 引理3z:M—R:”是常数曲率K的黎曼曲面到伪欧氏空间的光滑映射, 满足 ,Sx=一2x,(z,z)=1,那么对任意的整数m?0有 (az,—r)=(az,iz)=0(3) (az,)=A(4) 其中,A是只依赣于m和K的常数并满足 A.=,A+={[一()K]As 证明A0=(a.,)=(,)=1,将算子a,百作用于(,)=l得到 (ax,z)=(z,z)=0 故当m=0时,引理成立. 现对m作归纳法.设m=P时引理成立,将算子作用于(ap41X,)=0得到 (ap,百)+(ap.p)=0 (a?,)=一a1X,百) 由(1)式 =一 号[()K一]a, A+,=一{((:)K一-]A=}[-一()K]A 南昌大学(理科版)2001虹 将算子a作用在(ap+1.r,.r)=A+l得到 (a.r,)+(1.r,a1)=0 ca+2.r,~1x=一{[()K一]ca一1z,=. 对其取共轭即得 (.r,”.r)=0 由归纳法,对所有的77/>/o.引理成立.证毕. 定理的证明: 因Kconst,且K<0,由引理3对所有的p?O,有A>O.对?O,我们定 义 a—P. 27=(一1)PA;a(6) 因此,对任意的?O和所有的整数P有 a(a)=af7) 事实上,只须验证=1时a(a)=aP.27即可.若p?O,则显然有a(a)=al.若 P< 0,令口=一P>0,直接计算有 a(aPx)=a(a—).由(6) = a一—.27 =a1 将算子aI1作用于等式,ap+1.27,8-)=O其中?2,pEz,由莱布尼兹法则 可得到: ?(加0 上式说明序列{(一1)(a.27,a—):p?zl的77/一1阶差分序列恒消失. 众所周知,这说明 (一1)(z,8-)是变元P的次数至多为一2次的多项式R(),其中R()的系 数 为M上的m次Abel形式.即 (,.27,a—)=(一1)(P)(8) 现对P?0,置 zp=a’~/CW,,p=zf (,)=1,(+l,)=0 当?2,由(8)式有 (+,)=刀R(p) 事实上: (+,)=(,)/ = (.27,a一.27)?(一1)p/ =() 令c(一4/K)是一个依赖于和K的常数,通过计算容易得到: K L1 ,???/ ??? 【一 一2 一一 一一 (( 第3期陈文财等:伪球面上的常(负)曲率极小曲面-227 /A/A+<C/p 因此有 I(+,)l<lR()lc卅/ 当一+:[R:”的等距极小浸 入:M—s:[R.也即s上不存在高斯曲率K<0的常数率极小曲面.证毕. TransAmeTMathSoc,1985,290(1):259 [2]黎镇琦,欧阳崇珍.作用在向量丛值Abel形式上的两个微分算子及 其应用[J].数学年刊,1998,19A (1):83—92. [3]欧阳崇珍.Takaha~hi定理的推广[J].江西教育学院(自然科学 版),2000,21(6):1—3. MINIMALSURFACESWITHCoNSTANTNEGATIVECURVATURE INTHEPSEUDo—SPHERES! CHENWen—cai,LIZhen—qj (DepartmentofMathematics.NanchangUniversity.Nanchang,330047Chi na) Abstract:Thispaperprovesthatnoneofminimalsurfaceswithconstantnegati veGaussianL’urva— tureisimmersedinthepseudo—sphere,byusingdifferentialoperatorsaandawhichoperate onAbelformsvaluedinpseudo—Euclideanvectorbundle. Keywords:pseudo—sphere;Gaussiancurvature;minimalsurface 献? 文m 考, 参 【? 啷 ~昌 ? M L R 酐”