材料力学扭矩习题

第六章  圆轴的扭转 习题解析 6-1 试述绘制扭矩图的方法和步骤。 答：首先求任意截面的扭矩，一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。熟练后也可用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。 取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图，即为扭矩图。 6-2 为什么空心轴比实心轴能充分发挥材料的作用？ 答：空心圆轴比实心轴能充分发挥材料的作用，其原因在于圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，那里的材料就没有充分发挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用。而且也减轻了构件的自重。 6-3 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。 图6-1    题6-3图 解：截面上与T对应的切应力分布图如下： 图6-2 6-4 用截面法求图6-3所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。 图6-3  题6-4图 解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-4）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程 ，可得 。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得 。 图6-4 b) 采用截面法计算扭矩（见图6-5）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程 ，可得 。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程 ，可得 。 图6-5 6-5 如图6-6所示，作各杆的扭矩图。 图6-6 题6-5图 解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-7）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得 。作出扭矩图。 a) 图6-7 b) 由力矩平衡方程可得 （负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图6-8b）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得 。作出扭矩图。 c) 由力矩平衡方程可得 。采用截面法计算扭矩（见图6-8c）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得 。作出扭矩图。 b)                                    c) 图6-8 6-6 图6-9所示圆轴长l=500mm，直径d=60mm，受到外力偶矩M1=4kN·m和M2＝７kN·m作用，材料的剪切弹性模量G=80GPa （1）画出轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力； （3）求轴的最大单位长度扭转角。 图6-9  题6-6图 解：（1）绘扭矩图 用截面法求得1-1截面上的扭矩为 ，2-2截面的扭矩为 。绘出的扭矩图如图6-9所示。 （2）由扭矩图可见BC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC段内。由式（6-13）得其最大切应力为 (3)  BC段扭矩最大，BC段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。按式（6-20）得 6-7 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图6-10所示。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW，材料的许用应力 =40MPa，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d1和的大小； （2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D2的大小。 图6-10  题6-7图 解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩由式（6-1），可得 （1）采用实心轴时，直径d1的大小应满足下式： 解得                （2）采用内外径比值 =1/2的空心轴时，外径D2的大小应满足下式： 解得          6-8 图6-11所示的变截面钢轴，已知作用于其上的外力偶矩M1=1.8kN·m，M2=1.2kN·m。材料的剪切弹性模量G=80GPa，试求最大切应力和最大相对扭转角。 图6-11  题6-8图 解：（1）绘扭矩图 用截面法求得1-1截面上的扭矩为 ，2-2截面的扭矩为 。绘出的扭矩图如图6-11所示。 （2）由扭矩图可见AB段扭矩最大，但是由于ABC圆轴是变截面钢轴，故无法判断危险截面是在AB段还是BC段内。分别计算AB段、BC段最大切应力： 由式（6-13）得 由于 ，故全轴最大切应力发生在BC段， 。 （3）求最大相对扭转角，由式（6-19）得 C截面相对A截面发生最大相对扭转角 6-9 图6-1所示为皮带传动轴，轴的直径d=50mm，轴的转速为n=180r/min，轴上装有四个皮带轮。已知A轮的输入功率为PA=20kW，轮B、C、D的输出功率分别为PB=3kW，PC=10kW，PD=7kW，轴材料的许用切应力 =40MPa。 （1）画出轴的扭矩图。 （2）校核轴的强度。 图6-12  题6-9图 解：（1）画扭矩图 计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩由式（6-1），可得 用截面法求得1-1截面上的扭矩为 ；2-2截面的扭矩为 ；3-3截面的扭矩为 。绘出的扭矩图如图6-12所示。 （2）强度校核 由图可见AC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。 由式（6-13），有 ，所以轴满足强度条件。 6-10 如图6-13所示，在一直径为75mm的等截面轴上，作用着外力偶矩：M1=1000N·m，M2=600N·m，M3=M4=200N·m，材料的剪切弹性模量G=80GPa。要求： （1）画出轴的扭矩图； （2）求出轴的最大切应力； （3）求出轴的总扭转角。 图6-13  题6-10图 解：（1）画扭矩图 用截面法求得1-1截面上的扭矩为 ；2-2截面的扭矩为 ；3-3截面的扭矩为 。绘出的扭矩图如图6-13所示。 （2）由图6-13可见AB段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB段内。由式（6-13）得到轴的最大切应力 （3）求轴的总扭转角，由式（6-19）得 D截面相对A截面的相对扭转角即为轴的总扭转角 6-11 一钢轴的转速n=240r/min，传递的功率为P=44kW。已知 =40MPa， =1/m，G=80GPa，试按强度和刚度条件确定轴的直径。 解：钢轴的扭矩 （1）按强度条件确定轴的直径 直径d1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件： 解得                （2）按刚度条件确定轴的直径 直径d2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件： (/m) 解得      由于钢轴既要满足强度条件，又要满足刚度条件，所以d取直径d1和直径d2中较大的，确定钢轴直径 。