大一(第一学期)高数期末考试题及答案大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1.
.
(A)
(B)
(C)
(D)
不可导.
2.
.
(A)
是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B)
是等价无穷小;
(C)
是比
高阶的无穷小; (D)
是比
高阶的无穷小.
3. 若
,其中
在区间上
二阶可导且
,则( ).
(A)函数
必在
处取得极大值;
(B)函数
必在
处取得极小值;
(C)函数
在
处没有极值,但点
为曲线
的拐点;...
大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1.
.
(A)
(B)
(C)
(D)
不可导.
2.
.
(A)
是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B)
是等价无穷小;
(C)
是比
高阶的无穷小; (D)
是比
高阶的无穷小.
3. 若
,其中
在区间上
二阶可导且
,则( ).
(A)
数
必在
处取得极大值;
(B)函数
必在
处取得极小值;
(C)函数
在
处没有极值,但点
为曲线
的拐点;
(D)函数
在
处没有极值,点
也不是曲线
的拐点。
4.
(A)
(B)
(C)
(D)
.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 设函数
由方程
确定,求
以及
.
10.
11.
12. 设函数
连续,
,且
,
为常数. 求
并讨论
在
处的连续性.
13. 求微分方程
满足
的解.
四、 解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线
,过点
,且曲线上任一点
处切线斜率数值上等于此曲线与
轴、
轴、直线
所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线
的切线,该切线与曲线
及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16. 设函数
在
上连续且单调递减,证明对任意的
,
.
17. 设函数
在
上连续,且
,
.证明:在
内至少存在两个不同的点
,使
(提示:设
)
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5.
. 6.
.7.
. 8.
.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 解:方程两边求导
,
10. 解:
11. 解:
12. 解:由
,知
。
,
在
处连续。
13. 解:
,
四、 解答题(本大题10分)
14. 解:由已知且
,
将此方程关于
求导得
特征方程:
解出特征根:
其通解为
代入初始条件
,得
故所求曲线方程为:
五、解答题(本大题10分)
15. 解:(1)根据题意,先设切点为
,切线方程:
由于切线过原点,解出
,从而切线方程为:
则平面图形面积
(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则
曲线
与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)
16. 证明:
故有:
证毕。
17.
证:构造辅助函数:
。其满足在
上连续,在
上可导。
,且
由题设,有
,
有
,由积分中值定理,存在
,使
即
综上可知
.在区间
上分别应用罗尔定理,知存在
和
,使
及
,即
.
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