数学01级《泛函分析基础》A、B试卷

数学01级《泛函分析基础》A、B试卷 一、填空题（每小题5分，共40分） 1．度量空间是可分空间 _____________________________________________ ,X ______________， 试写出一个不可分空间的例子：_____________________________ ____________________________________________. 2. 设X,Y是赋范空间, T,L(X,Y)，则为有界算子 _______________ T, _________________ _____________________________（要求写出两个充要条件）． , 3. 设是度量空间,是中子集，若_____________________________________ MXX ____________________，则称是第一纲集． M 4．设是空间中非零的闭子空间，是从到上的投影算子，则 HilbertYPYHH ,PY,_______，________. P, 5．设T,B(H,H)是空间，，则为正常算子 ______________； HilbertTH, 试写出一个正常算子的例子：_______________________________________________ ______________________________________. 1 ,,f,X*6．设是赋范空间,是的共轭空间, ,, 则 f,X*X*XXn wf,,,f___________________________________________________； ,n w*f,,,f___________________________________________________. ,n 7. 根据示定理, 设是空间，是上线性连续泛函，则 fRieszHilbertHH _______________________________________________________________________ _____________． 8．设,,T,B(X,Y)是空间，是赋范空间，．共鸣定理表明: BanachB,SYXn _________________________________________________________________________ __________________________________． nnd(Ax,Ay)二、设,是完备的度量空间，是到中的映射，记，AXXXasupnx,yd(x,y) ,且a,，,，证明存在唯一的不动点．（10分） An,n,1 三、设X,Y是赋范线性空间， T,L(X,Y), .证明若,,N(T),x,XTx,0T N(T)为有界算子，则为闭集，但反之不然（举例说明）．（10分） 四、应用泛函延拓定理证明，空间是自反空间的充要条件为 BanachH,BX*X 是自反空间．（10分） 2 五、设是可分的空间，证明中任何正交系均为至多可数集． HilbertHH （10分） 六、设是空间上的自伴算子，证明．（10分） HilbertT,sup,Tx,x,THx,H,x,1 ,,21七、设及均为空间，且可推出，x,,,0Banach(X,)(X,)x,,,0nn12 试用逆算子定理证明：存在正数a,b，使得对，都有Banach,x,X ．（10分） ax,x,bx121 一、填空题（每小题5分，共40分） 1．度量空间是完备空间 ____________________________________________， ,X 试写出一个不完备空间的例子：______________________________________________ ______________________________________. 2. 设T,B(H,H)是空间，，则为自伴算子 ______________； HilbertTH, 为酉算子 _____________________________. T, 3 3. 叙述压缩映射原理：_____________________________________________ Banach ________________________________________________________________________． n14．写出下列常见赋范空间的共轭空间:(,)*,(l)*,_________；_________； p(L[a,b])*(p,1),___________________________． 5．设是空间中规范正交系，则是完全的 ___________________ HilbertFF,H _____________________________________________（要求写出两个充要条件）． , 6. 纲定理表明：若是非空的完备度量空间， 则是_______________. 而 BaireYY 1中子集是______________. QR 7. 设,,T,B(X,Y),是赋范空间,, T,B(X,Y)，则 YXn sT,,,T _______________________________________________________； ,n wT,,,T________________________________________________________. ,n 8.泛函延拓定理表明：设f是赋范空间的子空间上的线性连续泛函, H,BZX 则_______________________________________________________________________ ___________________________． 二、设d(x,y),supx,yx,(x,x,？),是一切收敛实数列的全体，按距离， C,12iii y,(y,y,？),C构成的度量空间，证明是可分空间．（10分） C12 4 01f(x),x(t)dt,x(t)dt三、在中定义线性有界泛函:,，C[,1,1]x(t),C[,1,1],,,10 证明．（10分） f,2 四、设,,e,e,？espane,e,？e是内积空间中的规范正交系，证明从到的XX12n12n n投影算子Px,,x,e,e为：，．（10分） x,XP,iii,1 五、设是空间的闭子空间，则是上某个非零线性连续泛函的零fHilbertZZHH ,空间（即Z,N(f)）的充要条件为是中的一维子空间．(10分) ZH w六、设,,x,,,xx,M是赋范空间，为闭子空间，，证明：若，M,XXn0n 则x,M．(10分) 0 七、设,,,,T,B(X,Y)Tx是空间，是赋范空间，，若对，Banach,x,XYXnn 都收敛，令，试用共鸣定理证明，是到中的有界算Tx,limTxB,STYXnn,, 子，且T,limT．(10分) n,,n 5