仿射坐标与仿射变换基本内容 - 临沂师范学院理学院

仿射坐标与仿射变换基本内容 - 临沂师范学院理学院 [] 第一章、仿射坐标与仿射变换 透视仿射对应仿射变换的代数表示式；几种特殊的仿射变换 1、求使直线 分别变为直线：xyxy,,，,,0,0,210 的仿射变换 xyxyxy，,,,，,,0,0,210 1 解： 求出三直线交点 与对应三直线交点ABC(0,0),(0,),(1,0)2 11 ABC(0,0),(1,1),(,),11133 /,xaxaya,，，111213 设所求变换为：代入以上点的坐标求得 ,/yaxaya,，，,212223 1 aaaaaa,,,,,,,0,,21323112112223 1,/xxy,,2,,3 故所求变换为： , 1/,yxy,，2,3, 2、求一仿射变换，它使直线xy，,,210上的点都不变，且使点(1,-1)?(-1,2) 解：在直线xy，,,210AB(1,0),(1,1),上任取两点 由 AABB(1,0)(1,0),(1,1)(1,1),(1,1)(1,2),,,,,,, 令变换式为： /,xaxaya,，，111213 代入坐标可得变换式 ,/yaxaya,，，,212223 /,xxy,，,221, ,33/yxy,,,，2,,22 /,xxy,,，713、求仿射变换 的不变点和不变直线。 ,/yxy,，，424, /xx,1解：直接令(,2),,解方程组可得不变点 /2yy, //// 设不变直线方程为：AxByCy，，,0,将x代入得： AxyBxyC(71)(424)0,,，,，，, 整理得： (74)(2)40ABxABYABC，，,，,，，, 由于L是不变直线，所以有： 74242255ABABABCCCCC，,，,，， ,,,,,,解得：或A=-,,BABABC5528 所以不变直线为： 和 2250xy,,,20580xy,,, 4、求证若一仿射变换有两个不变点MMMM,则直线上的每一点都是不变点 1212 证明： 设MxyMxy(,),(,) 为不变点 111222 /ax,,x,,,,1 仿射变换为： ,，A,,,,,,/ayy,,,,2,, 设MM()MMP,,pxy(,) 为直线上任一点且 1212 xvxyvy,,1212 则 xy,,,11,,vv xvx,,,12/,,aax,,x,,,,11,,1,v？,，,，AA,,/,,,,,,,,aa22yyvy12,y,,,,,,,,,,,,1,v,, 121xxa,,,,,,1 ,,，,{(1)}AvAv,,,,,, 122yya1,v,,,,,, 1121xaxa,,,,,,,,1,，,，{()()}AvA,,,,,,,,122yaya1,v,,,,,,,, xxx,,,,,,112 = {},,v,,,,,,yyy1,v,,,,,,12 1、 在仿射坐标系下，证明直线的方程是一次方程． 2、 求使三点(0,0),(1,1),(1,1),(2,3),(2,5),(3,7),的对应点分别为的仿射变换式． 3、 利用仿射变换的表达式证明：直线上三点的简比是仿射不变量． 4、 用解析证明：不共线的三对对应点决定一个仿射变换． 22xy，,1的面积公式． 22ab 6、 证明：三角形的重心有仿射不变性． 5、 利用仿射变换导出椭圆 7、 证明：平行四边形的中心有仿射不变性． 8、 证明：梯形在仿射对应下仍为梯形． 9、 证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量． 10、知平面上的一条定直线'p为平面上的任意一点,点的对应点是点关于直线的lp,ppl 对称点,这种变换称为反射变换,定直线叫做它的轴.试证明:反射变换是仿射变换． 一、主要内容： ： 射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 ： 德萨格定理： 如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。 德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共 点 对偶原理： 在射影平面里，如果一命成立，则它的对偶命题也成立。 二、疑难解析 无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P，平面内原有的点叫, 做有限远点. 无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行 直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这 些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内 每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为.一般记 为l,，为区别起见，平面内原有的直线叫做. 平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等 对待，则称这个平面为. 三、典型例题： 1、 求直线xy,，,340 与直线上无穷远点的齐次坐标 x,,10 解：（1）直线 即 它与轴平行 所以位轴上的无穷远点 (0,1,0) yyx,,10x,1 141 (2) 由直线xy,，,340yx,，(1,,0) 得故无穷远点为或（3，1，0） 333 2、求证：两直线xxx，,,0220xxx,，, 和 的交点与两点C123123 三点共线 AB(3,1,2),(2,5,5) xxx，,,0,123证明：解方程组：的交点 C(1,4,3),,,220xxx,，,,123 143,, 因为行列式 3120, 所以三点共线 255 3、试证：两共轭复点的连线 是一实直线 设a=(u,,),(,,)uuauuul与是共轭复点，两点连线为,123123证明： 由定理在上，在上，又在上，所以alalalala的共轭也在直线上 uuuuuu312111ll与重合，故,,？,,()uuuuuu221232 而两点确定一条直线所以， uuuuu11111,,()即与都为实数uuuuu33233 所以uuu::与一组实数成比例，即直线为实直线。 123 4、德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。 证明：如图三点形ABCLMN,,与的三对应边交点共线，证明对应顶点连线共点 ABC111 ，考虑三点形AAO,,BLBCMC与则有对应顶点连线共点，故对应边的交点共线 N111 O A B C L M N C1 B1 A1 1、 证明：中心投影一般不保留共线三点的单比． 2、 设一平面内有几条直线ll,,TTT,,,llll,,,lll用分别表示与，与与31n,121n,n12n122 TTTTT,,,,,ll间的中心投影．这一串中心投影的复合把上的点对应到上的nn,,1221n1 点，这种对应关系称为射影对应．举例说明对应点之间的连线一般不共点． 3、 设有两个相交平面,,,,,,和，如果以为中心做到的投影（不在和上），把SS121212 ,l,lll上一已知直线投影到上直线．证明：当变动时，已知直线的象总要通过S112212 一个定点，或与定直线平行． 4、 设,,,:,,,,,是平面与之间的中心投影．试讨论上两条平行直线的象在中121212 还是否平行，不平行有什么性质？同样在,,上两条平行直线在中的原象是否为平行21 线？ 5、 试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比． 一、基本内容： 交比与调和比； 一维射影变换； 一维射影坐标； 二维射影变换于二维射影坐标 二、主要公式 ()ppppppp,12313241、 共线四点的交比：(,)pppp,, 1234()ppppppp,1232314 ()sin,sin,abcacbd,,,,,2、 共点四线的交比：(,)abcd,, ()sin,sin,abdbcad,,,,, 3、 两直线之间的射影变换： aaaxa，1112'1112非齐次坐标形式： x,,,,0aaaxa，21222122 'aa,,,，xaxax11121111122齐次坐标形式： ,,,0,'aa,,，xaxax2122,2211222 ''参数形式：abcdadbc,,,,，，，,,,0,0 ',,，，,xaxaxaxaaa1111122133111213,',，，,,2211222233212223xaxaxaxAaaa,0, ,',,，，3311322333313233xaxaxaxaaa,, 4、 二维射影变换：',,,,xx11,,',, ,,22,xAxA,det0 ,,,,',,,,33xx,,,, 三、典型例题： 1、 证明：(,)(,)ABCDABCD,(,)(,)AACDBBCD,的充要条件是： 11221212 证明：设ACkDACkDBCnDBCnD,，,，,，,，,,, 11221122 kk12 则(,),(,)ABCDABCD,, 1122nn12 kkkn1211 若,,或(,)(,)ABCDABCD, 则 1122nnkn1222 kn11而 (,),(,)AACDBBCD,, 1212kn22 所以有 (,)(,)AACDBBCD, 1212 2、已知共点直线abd,,axybxydx:210,:320,:510,，,，,,,, 的方程为： 1且c(,)abcd,求直线的方程 2 解：先化为齐次线坐标abd[2,1,1],[3,1,2],[5,0,1],,, 则有 即 dab,，k,1 n11令 n, 则(,)abcd,, 所以 cand,，2k2 171 70xy,,cab,，,,[,,0] 所以方程 为 222 32x，/3、设一直线上的点的射影变换是x,证明变换有两个自对应点，且这两自对应点x，4与任一对对应点的交比为常数。 32x，''2解：令xx,,,1,2xxxxx,,,,,由得20 解得 12x，4 即有两个 自对应点 32k，5'' 设k,((1)2,),,kk与 对应，有为常数 kk，42 2也对，不过顺序有别 5 4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束 注：结果 有证明： D A P C E B 如图： 为圆内接正方形，为圆上任意点。因为所以为角的平PADAB,PADPBABCD 分线。 同理可证明是角平分线。即PAPC,是角的内外角平分线。 所以直线EPBDPBPC PDPAPBPC,,,构成调和线束。 '5、试证:双曲型对合的任何一对对应元素 ,与其两个二重元素EF,调和共轭即PP,'(PPEF,)=-1 证明：PEF,为自对应元素，与对应 P1 1 则有(,)(,)PPEFPPEF,(,)PPEF, 而 111(,)PPEF1 12 所以(,)1PPEF,PP,(,)PPEF, 得 因为不重合 111(,)PPEF1 故(,)1PPEF,, 1 ',,，,xxx112,',xx22,6、求射影变换的不变点坐标 ,',,xx33,, 110,, 3解:01001-01,,,,,,,得（）即 由特征方程： 001,, 00xx，,,12,,x,0x,0 得 ,故上的点都是不变点 ,,100代入方程组x2,22 ,300x,, 将 x,0是不变点列。 2 PPP(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1),(,)2PPPP,P1、 设为共线三点，且求的坐标。 12412343 12、 已知线束中 三直线求作直线使 abc,,(,)abcd,d2 3、 射影变换使直线上以0，1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1，0，1求变换式，并判断 变换的类型。 224、 求两直线axhxyby，，,20所构成角的平分线方程 5、 试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。 ',,,，,xxxx21123,',，,xxxx22123,6、求射影变换的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。 ,',,，，xxxx3123,, 1．仿射变换把平行线变成平行线，把正三角形变成三角形，把矩形变成平行四边形。 2．共点的直线经仿射变换后变成共点的直线。 3．不共线的点经仿射变换后变成不共线的点。 4．在仿射对应下，单比不变。 5．设点共线，且在仿射变换下分别变成，则三点共线。 ABC,,ABC',','ABC',',' 6．正方形在仿射变换下变成平行四边形。 7．对正方形，对边平行、对角线互相平分是仿射性质。 8．线段的中点、交比、点偶的调和共轭性、两平行线段的比和对称中心都属于仿射性质。 9．在仿射变换下，菱形的对边平行、对角线互相平分和对边相等的性质在仿射变换下保持 不变；邻边相等、对角线互相垂直和对角线平分菱形对角的性质都改变了。 疑难解析 1 （1）基本定义 射影变换群：射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群，它是一个八维群； P 仿射变换群：仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群，它是一个六维群； A 相似变换群：平面上所有相似变换的集合构成相似变换群，它是一个四维群； S 正交变换群：欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群，它是一个三维群。 M 四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是：. PASM,,, （2）一一变换的集合G构成群的充要条件是： ?若,,,,G,,,,G，则（封闭性）； 1212 ,1 ?若,,G，则（存在逆元）. ,,G 2 正交变换群?欧氏几何； 仿射变换群?仿射几何； 射影变换群?射影几何； 就变换群的大小来看，三种变换群的关系为：； PAM,, 从几何学研究的内容来看，它们的关系是： 欧氏几何,,仿射几何射影几何. 射影几何 仿射几何 相似几何 欧氏几何 射影群 仿射群 相似群 正交群 纯度量性质 纯相似性质 纯度量不变量 纯仿射性质 纯相似不变量 纯相似性质 射影性质 纯仿射不变量 纯仿射性质 纯相似不变量 射影不变量 射影性质 纯仿射不变量 纯仿射性质 射影不变量 射影性质 纯仿射不变量 射影不变量 射影性质 射影不变量 结合性 结合性 结合性 结合性 平行性 平行性 分割性 平行性 保角性 合同性 交比 单比 相似比 距离 例题选解 例1 证明：平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群. 证明：不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为： ,xxy,,cossin,,, ,,yxy,，sincos,,, 容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实 就是旋转的变换），所以这种变换的集合构成群. ,, 例2 下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？哪些属于仿射几何学？哪些属于欧氏 几何学？（最大的） （1）梯形；（2）正方形；（3）离心率；（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理； （5）重心；（6）垂心；（7）平行四边形的对角线互相平分； （8）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点； （9）含于半圆内的圆周角是直角； （10）如果直线与相交，则与相交； ABCDACBD （11）二次曲线的中心；（12）德萨格定理. ：判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不 变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围，涉及 直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面 之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了. 解：（2）、（3）、（6）、（9）属于欧氏几何学；（1）、（4）、（5）、（7）、（11）属于仿射几何学；（8）、（10）、（12）属于射影几何学. 例3 为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？ 解：因为二向量的数量积为： uv uvuvuv,,,,cos，， 而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量的数量积概念在仿射几何里不存 在。 第五章 二次曲线的射影理论 本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。在射影 平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出 二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。然后基于射 影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两 个著名的定理――巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。在此基础上，定 义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。 在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。根据对偶原理，在射影平面内可将 二次曲线看作点曲线（二阶点列），称为二阶曲线。也可以将曲线看作直线的包络，也就是 看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。因此，对于二阶曲线的每一性 质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。这一点在学习的过程中要加以注意。 本章最后，研究了二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质：二阶曲线的中心、直径、 共轭直径、渐近线，给出了二次曲线的仿射分类：椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。 在仿射平面上研究二阶曲线性质，是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的， 因此研究仿射性质要把握住无穷远元素。 疑难解析 1、二次曲线的概念 教材中首先给出了二次曲线的代数法定义： 222 二次曲线：满足二次方程 ax，ax，ax，2axx，2axx，2axx,0111222333121213132323 3,,,,或写成axx0,aa,,,ijijijji,,1ij,,, ，，x,x,x123的全体点称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹. 二级曲线：满足二次方程 222b,，b,，b,，2b,,，2b,,，2b,,,0111222333121213132323 3,,,,或写成b,,0,bb,,,ijijijji,,1ij,,,的直线的全体称为二级曲线，二级曲线看成是直线的包 络. 二阶曲线和二级曲线统称二次曲线。 两个不共心的射影线束（两个不共底的射影点列），对应直线的交点（对应点的连线）的全 体连同两个线束的中心（两个点列的底）组成一条二阶曲线（二级曲线）.这实际上给代数定义找到了几何背景，由此引出了二次曲线的射影定义（也称作几何定义）： 二阶曲线：两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。 二级曲线：两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线. 当成射影对应的两个线束（点列）为透视的，则此二阶曲线（二级曲线）退化为二直线（二 点）。此时称该二阶曲线（二级曲线）为退化的二阶曲线（二级曲线）。 一个由射影线束生成的二阶（二级）曲线，可以由其上任意二点（二线）为中心（底） 构成的射影线束（点列）生成.由此定理推出两个重要的： （1） 平面内给定无三点共线的五点（无三线共点的五条直线），可决定唯一一条二阶曲 线（二级曲线）. （2） 二阶曲线上四定点（二级曲线上四条定直线）与其上任意第五点所连四直线（任意 第五条直线相交）所得四线（四点）的交比不变. 利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。 PascalBrianchon ）定理和布利安香（）定理 这是关于二次曲线的两个重要定理，要注意以下几点： 2．巴斯卡（ （1）这两个定理是两个对偶的定理，因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出， 教材中已经给出这两个定理的证明。值得注意的是，巴斯卡定理的证明中，射影中心的 选择可以是其中的任意两点，同理布利安香定理的证明中，点列的底的选择也是任意的 两点。 （2）这两个定理的逆定理也是成立的。 （3）这两个定理的应用： ? 已知二阶曲线上的五个点利用巴斯卡定理可以作出第六个点（见典型例题）；对偶 地，已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。 ? 可利用他们证明三点共线问题（见典型例题）；对偶地，也可用之证明三线共点问 题。 3．二次曲线的极点与极线 极点与极线是关于二次曲线的重要概念，对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的 作用。 极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。 （1）调和共轭点：如果两点 ,MM,PQ,被它们连线与二阶曲线的交点调和分离，12 即,(,)1PQMM,,PQ,，则称关于是调和共轭的. 12 （2）不在,,PpppQqqq(,,),(,,)上两点关于调和共轭当且仅当123123 。 apq,0,ijij （3）一定点,Pppp(,,)Qqqq(,,)关于二阶曲线：的调和共轭点apx,0123123,ijij Pppp(,,)的轨迹是一条直线.这条直线称为点的极线，而点apx,0123,ijij Pppp(,,)称为直线的极点。 apx,0123,ijij （4）不在二阶曲线,,Pppp(,,)Qqqq(,,)上两点，关于调和共轭的充要条件123123 是。 apq,0,ijij 4．二阶曲线的切线 我们从讨论二阶曲线（二级曲线）与直线（点）的相关位置入手，推导出二阶曲线 （二级曲线）的切线（切点）的方程。 设两点 Pppp(,,)Qqqq(,,)PQ,PQ的坐标为，，则直线 上任意点的坐123123标可以写成xxx,,，其中 123 xpqi,，,,(1,2,3) （1） iii 3 为了求直线PQ与二阶曲线 axxaa,,0() （2） ,ijijijji,1ij, 的交点，我们将（1）式代入（2）式，得 3 a(p，,q)(p，,q),0,ijiijj,1ij, 展开并整理，得 33332()()0aqqapqaqpapp,,，，，, （3） ,,,,ijijijijijijijij,1,1,1,1ijijijij,,,, 如果点不在二阶曲线上，则（3）式是关于的二次方程，有二值适合（3）式，这两Q,,个值或实、或虚、或重合，所以直线PQ与二阶曲线或相交，或相离，或相切。 33 由于aa,apqaqp,，所以，因此（3）式可以写成 ijijijij,,ijjiijij,1,1,, 3332()20aqqapqapp,,，，, （4） ,,,ijijijijijij,1,1,1ijijij,,, 显然当 3332()()()0apqaqqapp,, （5） ,,,ijijijijijij,1,1,1ijijij,,, 时，方程有二相等实根，即表示直线PQ与二阶曲线相切。 3 若点Pppp(,,)apx,0在二阶曲线上，则切线方程为，写成矩阵形式为 ,123ijij,1ij, x,,1,,，，pppAx,0,,1232,,x,,3 此方程表示过二阶曲线上一点Pppp(,,)的二阶曲线的切线方程。其中A为二阶曲123 线的系数矩阵。 类似的方法，可以讨论二级曲线与点的位置关系，求出切点的方程和切点的坐标。在此 留给同学们自己讨论。 例题选解 例1 求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： ,,,xx,,,0xx,,,0与，且. ,，，,,,,,2102313 解：射影对应式为：,,. ,,,,,，，,210 xx12 由二线束方程有：,,,,,,，代入射影对应式，经化简后得： xx33 2xxxxxxx，,，,20. 1223133 22例2 求证点坐标方程puuu,,20ypx,2与线坐标方程表示同一条曲线. 213 22证明：将xpxx,,20ypx,2化为齐次坐标方程为：， 213 00,pu1 010u22 它的线坐标方程为：puuu,,20，即. ,0213,pu003 uuu0123 001,x1 00px22 同理可求出,0puuu,,20的点坐标方程为：，即213,100x3 xxx01232xpxx,,20. 213 2 其非齐次坐标方程为：ypx,2. 例3 求通过五点的二次曲线. PQRST1,0,1,1,0,1,1,2,1,1,2,1,1,3,0,,，，，，，，，，，， 222解：设所求为：axaxaxaxxaxxaxx，，，，，,2220，将已知五点111222333121223231313 的坐标分别代入所设方程，求出系数aaaaaa,,,,,的比，即得所求： 112233122313 2223320xxxxx,,，,. 12312 例4 设自点HK,至二阶曲线的切线的切点为，自点至Pppp,,Qqqq,,S,0，，，，11123123 二阶曲线HKPHKQ,,,,,HK,的切线的切点为，求证：在同一个二阶曲线上，S,0112222 其方程为SSSS,,,. pqpq 证明：因为S,0HK,HK,为的过点的切线的切点，所以的坐标满足，，PS,0S,0p1111同理 S,0HK,的坐标也满足，. S,0q22 HHKK,,,，再确定待定系数，使二阶曲线也通,1212 过另外两点. 设二阶曲线方程为：SSS,,. pq 现构造一个二阶曲线，使其通过 如果二阶曲线通过SSS,,,,SSS,，则有，有，由于，所以二阶曲Pppqpppqppqqp 线 SSSS,,,也通过点. Qpqpq 故SSSS,,,HKPHKQ,,,,,在同一个二阶曲线上，其方程为. pqpq1122 例5 设六边形的三对对边互相平行，求证这个六角形内接于一条二次曲线. 证明：因三对对边互相平行，所以三对对边的交点都是无穷远点，所以这三点共一条无穷远 直线，故有六边形之三对对边交点共线，根据帕斯卡定理之逆定理，这六边形内接于一条二 次曲线. 例6 求两直线lxxx:20，,,lxx:0，,和的交点关于二次曲线 1123213 22232316230xxxxxxx，，,，, 1122233 的极线方程. 解：经解联立方程得ll,S,0的交点为.点的极线为，经计算得所求为：P,1,3,1P，，12P x,0. 3 22222例7 求xyr，,axby，,1的动切线关于的极点的轨迹方程. 解：将已知曲线方程化为齐次式： 2222222xxrx，,,0xyr，,化为 ? 123 22222axbxx，,,0axby，,1化为 ? 123 在?上任取一点,,,，则切线方程为： xxx,,，，123 2,,,xxxxrxx，,,0 ? 112233 222 设直线?关于axbxx，,,0的极点为，则有 xxx,,，，123123 ,axx,,,11,2222,bxx,,,,,xxrx，,,0 又因为 . ,221232,,xrx,.33, 2x22,,23 所以 axbxr，,,0，，，，12,,2r,, 222222 即 raxbxx，,,0. ，，123 22222. raxby，,1，， 此即所求极点的轨迹方程，其非齐次坐标方程为： 自测题 22xxyyxy,，,,,,32101.试求点(1，1)关于二阶曲线的极线。 - 2.如图，求作直线关于二次曲线Γ的极点。 p 3.?ABC和?A′B′C′同时外切于一二次曲线Γ，证明它们的六个顶点在另一个二次曲线上。 4.若有心二次曲线(中心为O)的一条直径'p通过一定点，则其共轭直径平行于的极AAp 线a， 豆丁网（DocIn）是全球优秀的C2C文档销售与分享社区。 豆丁允许用户上传包括 .pdf, .doc, .ppt, .txt 在内的数十种格式的文档文件，并以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档版的Y outube。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全 球最大的中文图馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少 数、单一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围 内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现在， 我们为原创人群提供安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你 可以为你的文档定价，并通过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播， 在分享的同时获得收入回报。 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、 专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球 分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界 的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一 位用户提供优质的文档交易和账务服务。 现在，已经有成千上万的用户在豆丁上传Word、PDF、PPT等各种格式的文档，分享给全世界，每个月超过4000万的用户，会来豆丁浏览文档。 豆丁全球Alexa 排名已进入1500以内，并稳步攀升。