日本核泄漏放射性污染物定量分析模型.doc

第三章 简单的优化模型 3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输 静 态 优 化 模 型 •现实世界中普遍存在着优化问题 •静态优化问题指最优解是数(不是函数) •建立静态优化模型的关键之一是根据 建模目的确定恰当的目标函数 •求解静态优化模型一般用微分法 3.1 存贮模型 问题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备 要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付贮存费。 该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元， 贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少 天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、 准备费、贮存费之间的关系。 问题分析与思考 日需求100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。 •每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，故 每天费用为5000元。 • 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。 平均每天费用为950元 • 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。 平均每天费用为2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗? 问题分析与思考 贮存费少，准备费多•周期短，产量小 •周期长，产量大 准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 •这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数——每天总费用的平均值 模型假设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 建模目的 设 r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。 0 t q T Q r TQccC 2 ~ 21 += 离散问题连续化 A=QT/2 2 2 21 rTcc += 模型建立 贮存量示为时间的函数 q(t) t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. rTQ = Acdttqc T 202 )( =∫ 一周期贮存费为 一周期 总费用 2 ~ )( 21 rTc T c T CTC +==每天总费用平均值（目标函数） MinrTc T cTC →+= 2 )( 21求 T 使模型求解 0= dT dC 2 12 c rcrTQ == 2 12 rc cT = 模型分析 ↑↓⇒↑ QTr ,↓⇒↑ QTc ,2↑⇒↑ QTc ,1 模型应用 c1=5000(元), c2=1(元/天•件), r=100(件/天） •回答问题 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) • 经济批量订货公式（EOQ公式） 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。 2 12 rc cT = 2 12 c rcrTQ == 不允许缺货的存贮模型 •问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ A B0 q Q r T1 tT 1rTQ = 允许缺货的存贮模型 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货) 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 ,缺货需补足 周期T, t=T1贮存量降到零 Acdttqc T 202 1 )( =∫一周期贮存费 2 )( 2 2 1 3 1 21 TTrcQTccC −++= 一周期总费用 Bcdttqc T T 33 1 )( =∫一周期缺货费 2 13121 )(2 1 2 1 TTrcQTccC −++=一周期总费用 每天总费用 平均值 （目标函数） rT QrTc rT Qc T c T CQTC 2 )( 2 ),( 2 3 2 21 −++== MinQTC →),(求 T ,Q 使 0,0 =∂ ∂=∂ ∂ Q C T C 为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T ’, Q记作Q’ 3 32 2 12 c cc rc cT +=′ 32 3 2 12 cc c c rcQ +=′ 不允 许缺 货模 型 2 12 rc cT = 2 12 c rcrTQ == 3 32 2 12' c cc rc cT += 32 3 2 12' cc c c rcQ += 允许 缺货 模型 3 32 c cc +=µ记 µµ QQTT =′=′ , 1>µ ↓⇒↑ µ3cQQTT <> ','不允 许 缺 货 13 →⇒∞→ µc QQTT →′→′ , 3 32 2 12 c cc rc cT +=′ 32 3 2 12 cc c c rcQ +=′ 0 q Q′ r T1 tT R 允许 缺货 模型 注意：缺货需补足 Q′~每周期初的存贮量 3 32 2 12 c cc c rcTrR +=′=每周期的生产量 R（或订货量） QQR >= µ Q~不允许缺货时的产量(或订货量) 3.2 生猪的出售时机 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。 问 题 市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 分 析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 建模及求解 估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元） 生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pwt 天 出售 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t trtgttQ 4)80)(8()( −+−=利润 Q=R-C=pw -C rg grt 2404 −−=求 t 使Q(t)最大 =10 Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元 rg grt 2404 −−=敏感性分析 研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计 r=2， g=0.1 5.1,6040 ≥−= r r rt rr ttrtS /∆ /∆),( = t r dr dt≈ 3 6040 60),( =−≈ rrtS 1.5 2 2.5 30 5 10 15 20 r t •设g=0.1不变 t 对r 的（相对）敏感度 生猪每天体重 r 增加1%，出售时间推迟3%。 估计 r=2， g=0.1 rg grt 2404 −−= 研究 r, g变化时对模型结果的影响 15.00,203 ≤≤−= g g gt 敏感性分析 •设r=2不变 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 10 20 30 g t t 对g的（相对）敏感度 t g dg dt gg ttgtS ≈= /∆ /∆),( 3 203 3),( −=−−= ggtS 生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%。 强健性分析 研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt →w = w(t) ttwtptQ 4)()()( −= p=8-gt → p =p(t) 4)()()()( =′+′ twtptwtp 每天利润的增值 每天投入的资金 0)( =′ tQ 保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 若 (10%), 则 （30%）2.28.1 ≤′≤ w 137 ≤≤ t由 S(t,r)=3 建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算。wwpp ′′ ,,, 3.3 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). •损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. •救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 问题 问题 分析 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 •关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形 t1 t20 t B B(t2) 分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt. 模型假设 1）0≤t≤t1, dB/dt与 t成正比，系数β (火势蔓延速度） 2）t1≤t≤t2, β降为β-λx (λ为队员的平均灭火速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失 费）4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓 延，半径 r与 t 成正比 ♣ r B 假设1） 的解释 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比. 模型建立 dt dB b 0 t1 t β t2 βλ −x 假设 1） 假设 2） βλ −=− x btt 12,1tb β= βλ β −+= x ttt 112 )(222 )()( 2 1 22 1 0 2 2 2 βλ ββ −+=== ∫ x ttbtdttBtB t & xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( +−==假设3）4） )()()( 21 xfxfxC +=目标函数——总费用 目标函数——总费用模型建立 xc x xtc x tctcxC 312 2 1 2 1 2 11 )(22 )( +−+−+= βλ β βλ ββ 其中 c1,c2,c3, t1, β ,λ为已知参数 求 x使 C(x)最小模型求解 dt dB b 0 t1 t2 t β βλ −x 2 3 12 2 11 2 2 λ λβλ β c tctcx ++=0= dx dC 结果解释 • β /λ是火势不继续蔓延的最少队员数 2 3 12 2 11 2 2 λ λβλ β c tctcx ++=结果解释 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, β~火势蔓延速度, λ~每个队员平均灭火速度. c1, t1, β ↑→ x↑ c3 ,λ ↑ → x ↓ c2 ↑→ x↑ 为什么? c1,c2,c3已知, t1可估计, β ,λ可设置一系列数值模型 应用 由模型决定队员数量x 3.4 最优价格 根据产品成本和市场需求，在产销平 衡条件下确定商品价格，使利润最大问题 1）产量等于销量，记作 x假设 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依于价格 p, x(p)是减函数 进一步设 0,,)( >−= babpapx pxpI =)(收入 qxpC =)(支出建模 与求解 )()()( pCpIpU −=利润 求p使U(p)最大 建模 与求解 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足 0 * = = ppdp dU ** pppp dp dC dp dI == = 边际收入 边际支出 最大利润在边际收入等于边际支出时达到 pxpI =)( qxpC =)( bpapx −=)( ))(( bpaqp −−= )()()( pCpIpU −= b aqp 22 * += b aqp 22 * +=结果解释 0,,)( >−= babpapx • q / 2 ~ 成本的一半 • b ~ 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） b ↑ → p *↓ a↑ → p* ↑• a ~ 绝对需求( p很小时的需求) 思考：如何得到参数a, b? 3.5 血管分支 背 景 机体提供能量维持血液在血管中的流动 给血管壁以营养 克服血液流动的阻力 消耗能量与取决于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则 问 题 研究在能量最小原则下，血管分支处 粗细血管半径比例和分岔角度 模型假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 θθ 血液给血管壁的能量随管 壁的内表面积和体积的增 加而增加，管壁厚度近似 与血管半径成正比 考察血管AC与CB, CB′ q=2q1 r/r1, θ ? 模型假设 粘性流体在刚 性管道中运动 l prq µ π 8 4∆= ∆ p~A,C压力差，µ ~粘性系 数 4 2 1 8 d lqpqE π µ=∆= 21,2 ≤≤= ααlbrE q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 θθ 克服阻力消耗能量 提供营养消耗能量 管壁内表面积 2πrl 管壁体积π(d2+2rd)l, 管壁厚度d与r成正比 模型建立 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 θθ4 2 1 8 d lqpqE π µ=∆= 克服阻力消耗能量 21,2 ≤≤= αα lbrE 提供营养消耗能量 θθ sin/,/ 1 HLltgHLl −=−=机体为血流提供能量 11 4 1 2 1 42 21 2)/()/( lbrrkqlbrrkqEEE αα +++=+= θ θθ α α sin/2)/( )/)(/(),,( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq tgHLbrrkqrrE + +−+= q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 θθ 0,0 1 =∂ ∂=∂ ∂ r E r E 0/4 0/4 5 1 21 1 521 =− =− − − rkqrb rkqrb α α α α 4 1 1 4 += α r r 0=∂ ∂ θ E 4 1 2cos −    = r rθ 442cos + − = α α θ θ θθ α α sin/2)/( )/)(/(),,( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq tgHLbrrkqrrE + +−+= 模型求解 00 1 4937,32.1/26.1 ≤≤≤≤ θrr21 ≤≤α 00 1 4937 32.1/26.1 ≤≤ ≤≤ θ rr 4 1 1 4 += α r r模型 解释 生物学家：结果与观察大致吻合 大动脉到毛细血管有n次分岔 n=？推论 大动脉半径rmax, 毛细血管半径rmin 4 min max 4 += α n r r 5 minmax 41000/ ≈≈rr观察：狗的血管 30~25≈n21 ≤≤α)4(5 +≈ αn 973025 10~1032~22 ×≈≈n血管总条数 3.6 消费者均衡 q2 U(q1,q2) = c q10 1l 2 l 3l 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 购买这两种商品，以达到最大的满意度。 设甲乙数量为q1,q2, 消 费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相 交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) ~ 效用函数 已知甲乙价格 p1,p2, 有钱s，试分配s, 购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大. 问题 s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q10 1l 2 l 3l ),( 2211 qpqpUL ++= λ )2,1(0 ==∂ ∂ i q L i 2 1 2 1 p p q U q U = ∂ ∂ ∂ ∂ == 1 2 2 dq dqKl sqpqp =+ 2211直线MN: 21 / ppKMN −=斜率 ·M Q N· · 21 / q U q U ∂ ∂ ∂ ∂− 已知价格 p1,p2,钱 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大 模型 及 求解 sqpqpts qqUZ =+ = 2211 21 .. ),(max 几 何 解 释 最优解Q: MN与 l2切点 21 , q U q U ∂ ∂ ∂ ∂ ——边际效用 2 1 2 1 p p q U q U = ∂ ∂ ∂ ∂结果 解释 消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。 效用函数U(q1,q2) 应满足的条件 A. U(q1,q2) =c所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸 0,0,0,0,0. 21 2 2 2 2 2 1 2 21 >∂∂ ∂<∂ ∂<∂ ∂>∂ ∂>∂ ∂ qq U q U q U q U q UB AB⇒ •解释 B的实际意义 2 1 2 1 p p q U q U = ∂ ∂ ∂ ∂ 0,,)(.1 1 21 >+= − βαβα qq U 效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 2 1 22 11 p p qp qp β α= •消费者均衡状态下购买两种商品费用之比 与二者价格之比的平方根成正比。 • U(q1,q2)中参数 α, β分别表示消费者对甲乙 两种商品的偏爱程度。 2 1 2 1 p p q U q U = ∂ ∂ ∂ ∂效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 1,0,.2 21 <<= µλµλqqU µ λ= 22 11 qp qp •购买两种商品费用之比与二者价格无关。 • U(q1,q2)中参数 λ,µ分别表示对甲乙的偏爱程度。 0,,)(.3 221 >+= baqbqaU 思考：如何推广到 m ( > 2) 种商品的情况 3.7 冰山运输 背景 •波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的 成本为每立方米0.1英镑。 •专家建议从9600千米远的南极用拖船 运送冰山，取代淡化海水 •从经济角度研究冰山运输的可行性。 1. 日租金和最大运量建模准备 船 型 小 中 大 日租金（英镑） 最大运量（米3） 4.0 6.2 8.0 5×105 106 107 2. 燃料消耗（英镑/千米）建模准备 冰山体积(米3) 船速(千米/小时) 10 5 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 3. 融化速率（米/天） 与南极距离 (千米) 船速(千米/小时) 0 1000 >4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立 米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较 建模 目的 模型 假设 •航行过程中船速不变，总距离9600千米 •冰山呈球形，球面各点融化速率相同 •到达目的地后，每立米冰可融化0.85立米水 燃料消耗 租金 船型, 船速建模 分析 总费用 船型 运输过程 融化规律 初始冰 山体积 船型, 船速 船型目的地 冰体积 目的地 水体积 1. 冰山融化规律 0 1000 >4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d模 型 建 立 船速u (千米/小时) 与南极距离d(千米) 融化速率r(米/天）   >+ ≤≤+= 4000),1( 40000),1( 2 1 dbua dbuda r 4.0,2.0,105.6 2 5 1 ==×= − baa utd 24= 航行 t 天    >+ ≤≤+× = − u tu u ttuu rt 6 1000),4.01(2.0 6 10000,)4.01(1056.1 3 第t天融 化速率 r是 u的线性函数； d<4000时u与d成正比 d>4000时u与d无关. 1. 冰山融化规律 ∑ = −= t k kt rRR 1 0冰山初始半径R0，航行t天时半径 冰山初始体积 3 00 3 4 RV π= 3 3 4 tt RV π=t天时体积 3 1 3 0 0 4 3 3 4),,(     −= ∑ = t k kr VtVuV π π uu T 400 24 9600 == 选定u,V0, 航行 t天时冰山体积 总航行天数 3 1 3 0 0 4 3 3 4),(     −= ∑ = T t tr VVuV π π到达目的地 时冰山体积 1,6,3.0 321 −=== ccc),)(log( 310211 cVcucq ++= 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 V u q1 2. 燃料消耗 燃料消耗 q1(英镑/千米) q1对u线性, 对log10V线性 选定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英镑/天)     −    −+= ++⋅= ∑ = 1 4 3 3 4log)6(2.7 ]),,()[log(24),,( 3 1 3 0 10 3010210 t k kr Vuu ctVuVcucutVuq π π ∑ = = T t tVuqVuQ 1 00 ),,(),(燃料消耗总费用 V0 5 ×105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 u T 400=航行天数 拖船租金费用 u VfVuR 400)(),( 00 ⋅= 冰山初始体积V0的日 租金 f(V0)（英镑） 3. 运送每立米水费用 总燃料消耗费用     −    −+= ∑∑ == 1 4 3 3 4log)6(2.7),( 3 1 3 0 10 1 0 t k k T t rVuuVuQ π π ),(),(),( 000 VuQVuRVuS +=冰山运输总费用 3. 运送每立米水费用 3 1 3 0 0 4 3 3 4),(     −= ∑ = T t tr VVuV π π到达目的地 时冰山体积 冰山到达目的地 后得到的水体积 ),(85.0),( 00 VuVVuW = ),(),(),( 000 VuQVuRVuS +=冰山运输总费用 ),( ),(),( 0 0 0 VuW VuSVuY =运送每立米水费用 模型求解 求 u,V0使 Y(u,V0)最小 选择船型和船速，使冰山到达 目的地后每立米水的费用最低 V0只能取离散值 取几组（V0，u）用枚举法计算经验公式很粗糙 3 3.5 4 4.5 5 107 0.0723 0.0683 0.0649 0.0663 0.0658 0.2251 0.2013 0.1834 0.1842 0.1790 106 78.9032 9.8220 6.2138 5.4647 4.5102 V0 u 5×106 u=4~5(千米/小时), V0= 107 (米3)， Y(u,V0)最小 结果分析 大型拖船V0= 107 (米3)，船速 u=4~5(千米/小时), 冰山 到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约0.065(英镑) 虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英 镑，但是模型假设和构造非常简化与粗造。 由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山 到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。 有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著 低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。