微积分第七章习题解答

微积分第七章习题解答 第七章习题解答 1.求下列数的定义域。 221z,1,x,y，， 22，，,,解:D:x,yx，y,1 2222z,ln4,x,y，x,1，，，， 22，，,,解:D:x,yx，y,4,x,1 223z,sinx，y，，，， 22,,，，，，解:D:x,y2k,,x，y,2k，1,,k,0,,1,,2,？ 2222224z,ln16,x,yx，y,41,x,y,,，，，，，， 22,,，，解:D:x,y4,x，y,16 115z,，，， x，yx,y ，，,,解:D:x,y,x,y,x,x,0 ，，6z,x,y 2，，,,解:D:x,y0,y,x,x,0 22arcsin3,x,y，，7z,，，2x,y 222，，,,解:D:x,y2,x，y,4,x,y 2228z,arcsinx,y，lnln10,x,4y，，，，，， 2222,,，，,,，，解:D:x,yx,y,1,10,x,4y,1,x,y,1,x,y,1,x，4y,9 2.求下列函数的极限。 122xy1lim，sin，，，，22x,0xy，，，y,0 112222，，解:limx，ysinx，y,ulimusin,022x,0u,0u，，xy，y,0 xy，2lim，，22x,,xy，，，y,,0 xyxy，11解:lim,lim，lim,lim，lim,0，0,022222222x,,x,,x,,x,,x,,，，，，，，xyxyxyyx，，，y,,0y,,0y,,0y,,0y,,0xy，，xy sinxy3lim，，x,0xy,2 sinxysinxysinu解:lim,lim,yxy,ulim,y,1,2,2x,0x,0u,0xxyuy,2y,2y,2 2xy4lim，，22x,0，xyy,0 22xyxyy解:lim,lim,,02222x,x,002，，xyxyy,0y,0 3求下列函数的一阶偏导数。 xy1zsincos，，,yx ,z1xyyxy解:,coscos，sinsin 2,xyyxyxx ,zxxy1xy,,coscos,sinsin2yyxyx,yx2z,lnx，lny，，，， ,z1解:, ,xx，lny ,z11,,,yx，lnyy x3z,arcsin，，y y,z11 解:,,,222,xyyx，y,,x,,1，,,y,, ,xy,,,z1x,,,,,,2,,2222,yyyx，y,,,,x,,1，,,y,, ，，，，4z,arccosx，y ,z1 解:,,2,x，，1，x，y ,z1,,2,y，，1，x，y 4求下列函数在定点的偏导数。 33,,，，1z,x，y,3xy求z,zxy，，1,2，，1,2 ,z,z22，，解:,3x,3y？,3x,3y,,3，，1,2,x,x，，1,2 ,z,z22，，,3y,3x？,3y,3x,9，，1,2,y,y，，1,2 22xyx,y，，,,2z,z,z求，，xy221,1，，1,1，，x，y 2222224545,z,,yx,y，xy,2xx，y,xyx,y,2xxy,y,zxy,y，，，，，，,,？,,0解:1,1，，222222222,x,x，，x，yx，y，，x，y，，1,1，， 2222225454,,，，，，，，,zxx,y，xy,2yx，y,xyx,y,2yx,xy,zx,xy,,？,,0，，1,1222222222,y,y，，，，，，x，yx，yx，y，，1,1 22x，y,,，，3z,e求z,zxy，，0,1，，0,1 2222,z,zx，yx，y，，解:,e,2x？,2xe,0，，0,1,x,x，，0,1 2222,z,zx，yx，y，，,e,2y？,2ye,2e，，0,1,y,y，，0,1 ,,，，4z,lnxy求z,zxy，，,1,,1，，1,1 ,1,1zz解:,？,,,1，，,,1,1,xx,xx，，,0,11 ,z1,z1,？,,1，，1,1,yy,yy，，1,1 5求下列函数的二阶偏导数。 22，，，，1lnz,x，y 22222，，，，22222,zx,zx，y,x,xy,x解:,,,222222222,xx，y,x，，，，x，yx，y 22222 ，，，，22222,zy,zx，y,y,yx,y,,,222222222,yx，y,y，，，，x，yx，y22224,z,x,y,x,y,z,,,222222,x,y,y,x，，，，x，yx，y 2z,xlnx，y，，，， 2,zx,zx，y,xx，y12，，解:,ln，，x，y，,，,222,xx，yx，y,xx，y，，x，y，， 2 ,zx,z,x,,22,yx，y,y，，x，y 22,z1,x,y,z,，,,2222,x,yx，y,y,x，，x，y，，x，y xz,y，xye3cossin，，，， ,zxxx解:,sinye，cosy，xsinye,siny，cosy，xsinye，，，，，，,x 2,zxxxx,y,e，y，y，xye,y，y，xye,z，y,esinsin，，，，cossin2sincossin2sin2,x 2,z,zxx，，，，,,siny，xcosye,,cosy,xsinye,,z2,y,y 22,z,zx，，,cosy,siny，xcosye,,x,y,y,x 22y,xz,4，，22x，y 22222,xx，y,y,xx,xy224,z，，，，,,解:222222,xx，yx，y，，，， 22222,222222,yx，y，xy,x，y,xyx,y442243，，，，，，,z,,2432222,xx，yx，y，，，， 22222y，，，，x，y,y,xyxy224,z,,222222,y，，，，x，yx，y 22222222222，，，，，，xx，y，xy,x，y,yxx,y442243,z,,2432222,y，，，，x，yx，y 2222,222222，，，，，，,8xyx，y，4xy,2x，y,2y8xyy,x8xyz,z,z,,,,433222222,x,y,y,x，，，，，，x，yx，yx，y 6求下列函数的全微分。 yz,x，，1 ,z,zy,1y dz,dx，dy,yxdx，xlmxdy解:,x,y 22x，y2z,e，， 222222,z,zx，yx，yx，y ，，解:dz,dx，dy,2xedx，2yedy,2exdx，ydy,x,y 223z,x，xy，siny，， ,z,z2 ，，，，解:dz,dx，dy,2x，ydx，2xy，cosydy,x,y 22z,x，y，，4ln ,z,zy1x11，，dz,dx，dy,dx，dy,xdx，ydy解:2222222222,x,yx，yx，yx，yx，yx，y x，，5z,arcsiny yxy,z,z111,xdzdxdydxdydxdy解:,，,，,,22222222xyy,,yyyxyyx,,,,,,xx,,,,1,1,,,,,yy,,,, 7求下列复合函数的偏导数。 dzv，，1zu,u,sinxv,cosx求dx z,z,dzdudvcosx,1cosx，1v,1v2，，，，，，解:,，vu,cosxu，lnu,sinx,cosxsinx,sinxlnsinxdxu,dxv,dx y222,,,,,，求2zulnvuvxyz,z，，xyx 22,,zz,,,,yy2yzuvu,,22解:,，,，,,,，，2ulnv2x2ln，，xy,,2322 ,,,,,xuxvxv，，，xxxxy,, 32,,zz,,,y2yzuv1u,,22，，,，,2ulnv，,2y,,2lnx，y，,,2222,y,u,y,v,yxv，，，xxxy,, yuv22,,,,，,3zeulnxyvarctanz,z，，，，求xyx ,,,,zz,,,,yyuzuv12x1xv,,uvuvuv,,,，,，,,,veuee解:,,,,2222222222,,,,,xuxvx，，xxyxy,,y，，xy2xy,,,,，1,,x,, ,,,xvyuuv,,,e,,22，xy,, ,,,,zz,,,zuv12y11yvxu,,uvuvuv,,,，,，,,，veuee,,,,222222222,,,,,yuyvyx，，xyxy,,y，，xy2xy,,,,，1,,x,, ,,，yvxuuv,,,e22,,，xy,, 8求下列隐函数的偏导数。 22xy1sinxyxye,，，，，， 22xy解:令Fxysinxyxye,,,，，，， FF,, 2xyx2xycosxyy2xyey.cosxyx2xyex,,,,,,,,,,，，，，xy,, F,2xy，，dycosxyy2xyey.,,,,yx,？,,,,,,2xyF,，，dxxcosxyx2xyex,,,, y, xy，，2y,x xy，，解:令Fxy,y,x ,F,F,,xy1x1y,ylny,yx.,xy,xlnx,x,y ,F,xy1,xy1dyylny,yxylny,yx ,x？,,,,,,,x1yyx1,Fdxxy,xlnxxlnx,xy ,y ,xy1xxy，，，，yxylny,xyxyylny,yx,,,yx1yyx，，，，xyxlnx,yxyxxlnx,xy xyxy2？,yx，，，，，，ylny,yylnx,yylnx,1,,,,,yx2，，，，，，xlnx,xxlny,xxlny,1 3332,,,,,,z,z,z9.设函数，，由方程x，y，z,a确定，求。 z,fx,yxxyyxy 3333，，解:令Fx,y,z,x，y，z,a ,F,F,F222,3x,3y,3z,x,y,z ,F,F2222,z3x,z3y,yyx,x？,,,,,,,,,,,,2222,F,F,x,y3zz3zz ,z,z 2,z,,,z,x222,,,2xz,2x2xz,x,2z,2432,z，，,x2x，xz,,,xz,,,,,,,,22352,x,xzz，，z 2,z,z,,,y22,,x,2z,,,,2x2222,z,x,y2xy,,z,,,,,,,,2352,x,y,yzz，，z 2,,,z,z,y222,,,2yz,y,2z,2yz,2y,,2432,y，，,z,y2y，yz,,z,,,,,,,,22352 ,y,yzz，，z 10(求下列函数的极值。 331fx,y,x，y,9xy，27，，，， 解: ,f,2,3x,9y,0,x,3,,x,,,,,fy,32,,.,3y,9x,0,,y, 222,f,f,f,6x,,9,6y22,x,y,x,y 222,f,f,f，，在3,3处,A,,6x,18B,,,9C,,6y,1822，，，，3,33,3,x,y,x,y，，，，，，3,33,33,3 2？B,AC,81,18,18,,243,0,且A,18,0 33，，，，，，？在3,3处fx,y,x，y,9xy，27有极小值，极小值为f3,3,0 33(2)fx,y,x,3xy，y，， 解: ,f,2,3x,3y,0,x,1,,x,,,,,fy,12,,.,3y,3x,0,,y, 222,f,f,f,6x,,3,6y22,x,y,x,y 222,f,f,f，，在1,1处,A,,6x,6B,,,3C,,6y,622，，，，1,11,1,x,y,x,y，，，，，，1,11,11,1 2？B,AC,9,6,6,,27,0,且A,6,0 33，，，，，，？在1,1处fx,y,x,3xy，y有极小值，极小值为f1,1,,1 33(3)fx,y,x，3xy，y，， 解: ,f,2,3x，3y,0,x,,1,,x,,,,,fy,,12,,.,3y,3x,0,,y, 222,f,f,f,6x,3,6y22,x,y,x,y 222,f,f,f，，在,1,,1处,A,,6x,,6B,,3C,,6y,,622,,,,，，，，1,11,1,x,y,x,y,,,,,,,，，，，，，1,11,11,1 2，，，，？B,AC,9,,6,,6,,27,0,且A,,6,0 33，，，，，，？在,1,,1处fx,y,x，3xy，y有极大值，极大值为f,1,,1,111(求下列函数的条件极值。 (1)z,xy,x，y,2 ,,，，，，解:令:Fx,y,,xy，x，y,2 ,,f,,y，,0,,xx,1,,,f,,,.,x，,0,y,1,,,y,,,,,1 ,,,f,x，y,2,0,,,, ，，点1,1是唯一驻点,在x，y,2上任取一点，有y,2,x 22，，，，？z,xy,x2,x,2x,x,,x,1，1,1 ，，，，，，？在1,1处,fx,y,xy有极大值，极大值为f1,1,1 ，，，，(2)z,xy,1,x,1y,1,1x,0,y,0. ,,，，，，，，,,解:令:Fx,y,,xy,1，x,1y,1,1 ,,f,，，,y，y,1,0,,xx,2x,0,,,12,f,,,,，，.,x，x,1,0,y,2y,0,,,12,y,,,,,,,2,0,,12,,f，，，，,x,1y,1,1,0,,,, ，，？x,0,y,0？点0,0舍去 1x，，，，，，点2,2是唯一驻点,在x,1y,1,1上任取一点，有y,1，,x,1x,1 22，，xxx,2，，？z,xy,1,x,1,3，,4,3，,3,z2,2x,1x,1x,1 ，，，，，，？在2,2处,fx,y,xy,1有极小值，极小值为f2,2,3 22212(求函数在区域的最值。 z,xyx，y,1 解: ,z,2,y,,0,x,0,,x,,,,,zy,0,,.,2xy,0,,y, 22，，点是唯一驻点x，y,0,01, 2，，，，，，，，当时可正可负，故不是极值点，xy,z,xyxy,,0,0,,0,0 22最大值，最小值只能在边界上取得？x，y,1 2222？x，y,1,y,1,x 223，，z,xy,x,x,x,xx,11 32,z,,x,,x,,1303 ,,,,,,z,,x,z,,,z,,6230,23033x,x,,33 3323分别是最大值点，最小值点？x,,x,,z,xy,x,x33 ，，，，在由知z,z,,1,01,00, 33222在上取得最大值在上取得最小值z,xyx，y,x,x,,1,33 ,,3623,,？z,,,max,,339,, ,,3623,,z,,,,,min,,339,, Rx,y13(设销售收入(单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用(单位:万元) 22，，Rx,y,15，14x，32y,8xy,2x,10y之间的关系为 (1) 在广告费用不限的情况下，求使总利润最大的广告策略; (2) 若提供的广告费用为1.5万元，求使总利润最大的广告策略; 22，，，，解:1设销售净利润为:L,R,C,15，14x，32y,8xy,2x,10y,x，y 22,15，13x，31y,8xy,2x,10y,L,,13,8y,4x,0,x,0.75,,x,0,,,,Ly,1.250,,.,31,8x,20y,0,,y, 222,L,L,L，，？又在x,y处:,,4，,,8,,,200022,x,y,x,y 2？B,AC,64,80,,16,0A,,4,0 22，，点x,y是L,15，13x，31y,8xy,2x,10y唯一驻点,00 ，，，，？点x,y,0.75,1.25是L的最大值点，最大值为:00 ，，，，L0.75,1.25,39.25万元 ，，，，2条件为:x，y,1.5 ,,，，，，令Fx,y,,L，x，y,1.5 ,F,,,13,8y,4x，,0,,xx,0,,,F,,,,31,8x,20x，,0y,1.5,,,x,,,,,1 ,,F,,x，y,1.5,0,,,, ，，点0,1.5是唯一驻点,由问题实际含义知: ，，，，当x,0,y,1.5时,销售净利润最大,为:L0,1.5,39万元 14. 欲造一正方形体的盒子，所用材料其料底部的价格为顶与侧面价格的两倍，若此盒容积 为324立方米，各边长为多少时，其造价最低。 解:设盒子的长，宽，高分别为:x,y,z 324由题意知:x,y,z,324,z,xy 324324648648造价函数为:L,3xy，2xz，2yz,3xy，2x，2y,3xy，，xyxyyx 648,,L,3y,,0x2,x,6,x ,,,648y,6,,,L,3x,,0y2,y, ，，6,6是L唯一驻点, 324由实际意义知:当x,6，y,6,z,,9时，造价最省。6,6 15(工厂生产两种产品，其产量分别为，总成本函数为 Q,Q12 22，， CQ,Q,2Q,2QQ，Q，37.5121122 两种产品的价格函数分别为: ，，PQ,Q,70,2Q,3Q11212 ，，PQ,Q,110,3Q,5Q21212 为使利润最大，试确定两种产品的产量及最大利润。 解:设收入函数为:RQ,Q,pQ，pQ，，121122 22销售净利润为:L,R,C,Q70,2Q,3Q，Q110,3Q,5Q,2Q,2QQ，Q，37.5，，，，，，1122121122 22,70Q，110Q,4Q,6Q,,4QQ,37.5121212 ,L,,70,8Q,4Q,012,,QQ,5,,11,,,,LQ,7.5,2,.,110,12Q,4Q,021,,Q,2 22，，点5,7.5是L,70Q，110Q,4Q,6Q,,4QQ,37.5唯一驻点,121212 由实际意义知:当Q,5，Q,7.5时，利润最大，12 ，，最大利润为:L5,7.5,550 16.在经济学中Cobb-Douglas生产函数模型为: ,，，1,, ，，fx,y,cxy 式中x代劳动力的数量，y代表资本的数量(确切地说是y个单位资本),c与，，,0,,,1是系数，由各工厂的具体情况而定，函数值表示生产量。现某个制造商的生产函数为: 31 44 ，，fx,y,100xy 每个劳动力与每个单位资本的成本分别为150元和250元，该制造商的总预算是50000元，问他该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力与资本，以使生产量最大。 1344，，解:因为生产函数为:fx,y,100xy,，，条件为:x,y,150x，250y,50000,0 13,,,44，，，，，，L,fx,y，x,y,100xy，150x，250y,50000 ,33,,L,44,25xy，150,0,,x, ,,11x,250,,L,44,.,75xy，250,0,,,y,50,y,, ,,L,150x，250y,50000,0,,,,, ，，点250,50是唯一驻点, 由实际意义知:当x,250，y,50时，生产量最大，2 ，，最大生产量为:f250,50,16719(单位) 17. 某工厂生产一种产品同时在两个市场销售，售价分别为，销售量分别为，p,p,q,q1212需求函数分别为总成本函数为，，，厂q,24,0.2p,q,10,0.05pC,35，40q，q112212家如何确定两个市场的售价，才能获得最大利润,最大利润为多少, 22，，解:设收入函数为:RQ,Q,pQ，pQ,24p,0.2p，10p,0.05p1211221122 22，，，，，，销售净利润为:L,R,C,24p,0.2p，10p,0.05p,35，40Q，Q112212 22,32p,0.2p，12p,0.05p,13951122 ,L,,32,0.4p,01,,pp,80,,11,,,,Lp,120,2,.,12,0.1p,02,,p,2 22，，点80,120是L,32p,0.2p，12p,0.05p,1395唯一驻点,1122 由实际意义知:当p,80，p,120时，利润最大，12 ，，最大利润为:L80,120,605 ,1.50.10.318.已知某产品的需求量为，其中Q为需求量，p为价格,x为广告Q,200000pxy 费用，y为推销费用，如果生产企业的可变成本为每件产品25元，固定成本(不含广告和推销费用)为7000元，求最佳经营时的价格，以及广告费和推销费。 ,1.50.10.3，，解:设成本函数为:CQ,7000，25Q,7000，25,200000pxy ,1.50.10.3,0.50.10.3，，收入函数为:Rp,pQ,p,200000pxy,200000pxy ,0.50.10.3,1.50.10.3，，销售净利润为:L,R,C,200000pxy,7000，25,200000pxy ,0.50.10.3,1，，,200000pxy1,25p,70000 ,L,,1.5,10.10.3，，,200000p1.5,25p,0.5xy,0,,p,p,75,,L,,,0.5,0.90.3,1，，.,0.1,200000pxy1,25p,0,x,355.554,,,x,,y,1066.662,,L,,0.50.1,0.7,1，，,0.3,200000pxy1,25p,0,,y, ，，点75,355.552,1066.662是L唯一驻点, 由实际意义知:当p,75，x,355.554,y,1066.662时，利润最大， ，，，，最大利润为:L75,355.554,1066.662,2053333与 19.为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次厚度的方式得到若表一的实测数据。时间t(小时) 0 1 2 3 4 5 6 7 刀具厚度y(毫米)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 根据这组实测数据建立变量y与t之间的经验公式，，。 y,ft 解: 设所求经验公式为: y,at，b 为用最小二乘法计算，由已知对数据，得下表 i 2tyty t iiiii 1 0 27.0 0 0 2 1 26.8 1 26.8 3 2 26.5 4 53.0 4 3 26.3 9 78.9 5 4 26.1 16 104.4 6 5 25.7 25 128.5 7 6 25.3 36 151.8 8 7 24.8 49 173.6 9 28 215.7 140 717 8 ,i,1 带入公式得: nnn1,28,215.7ty,t,y717,,,,iiii,n8i,1i,1i,1,a,,,,0.30352nn28,28,1,,2140, t,t,,,,,ii8ni,1i,1,,, nn,11byat27.125,,,,,,,iinni,1i,1, 得经验公式为: y,27.125,0.3035t 20.某地区通过抽样调查，收集到人均收入(单位:千元)和平均每百户拥有洗衣机的台数的统计如图表二 人均收入x 单位:千元) 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 洗衣机的台数y 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3 试根据这组实测数据建立变量y与x之间的经验公式，，. y,fx 解: 设所求经验公式为: y,ax，b 为用最小二乘法计算，由已知对数据，得下表 i 2xy x y x iiiii 1 1.5 4.8 2.25 7.2 2 1.8 5.7 3.24 10.26 3 2.4 7.0 5.76 16.8 4 3.0 8.3 9 24.9 5 3.5 10.9 12.25 38.15 6 3.9 12.4 15.21 48.36 7 4.4 13.1 19.36 57.64 8 4.8 13.6 23.04 65.28 9 5.0 15.3 25 76.5 30.3 91.1 115.11 345.09 9 ,i,1 带入公式得: nnn1,30.3,90.1xy,x,y345.09,,,,iiii,n9i,1i,1i,1,a,,,2.9302nn30.3,30.3,1,,2115.11, x,x,,,,,ii9ni,1i,1,,, nn,11byax0.2569,,,,,,,iinni,1i,1, 得经验公式为: y,2.930x，0.2569