Picard逐次逼近法的应用

Picard逐次逼近法的应用 Picard逐次逼近法的应用 20o8年8月 第3期 吉林师范大学(自然科学版) JoumalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition) No.3 Aug.2008 Picard逐次逼近法的应用 杨颖 (吉林师范大学数学学院,吉林四平130300) 摘要:本文证明了caId逐次逼近法是求常微分方程近似解的一种有效方法,可以用来求一阶显式微分方程 不可积类型的近似解和可积类型的精确解,并对于求近似解的问题用Matlab程序作出了各次近似解的图形. 关键词:Picard次逼近法;近似序列;近似解;精确解 中图分类号:0175.8文献标识码:A文章编号:1000-1840-(2008)~.0155.03 1问题的叙述 在一阶常微分方程初值问题解的存在与唯一性 定理的证明方法中,有一种方法称为Picard逐次逼 近法,这种方法不仅可以用来证明解的存在与唯一 性定理,也可以用来求一阶显式方程的近似解和精 确解., 解的存在与唯一性定理: 对于一阶微分方程的初值问题: f厂((1)【y(x0 )=u 如果右端函数,),)在闭矩形域 R:l一XOl?a,lY一l?b 上满足如下条件: 1),),)在R上连续; 2),),)关于变量Y满足Lil~schitz条件:即存 在常数N>0,对于任何R中两点(,Y),(,y),均 有: if<,Y)一,y)l?NlY—Y1. 则初值问题(1)在区间上:I一0l?h0上存 在唯一解Y=(),且满足 ~p(xo)=Yo, 其中 ho=min(口,嵩),(RIf<,),)l? 为了证明上述微分方程初值问题解的存在与唯一 性,在[1]中将其转化为等价的积分方程: Y()=Yo+I/-(,Y())d(2) 这里证明从略(见[1]).这样证明初值问题(1)解的 存在与唯一性的问题就转化成了证明积分方程(2) 解的存在与唯一性的问题.在证明过程中,需要构造 一 个方程(2)的解的近似序列: 0(),l(),…,‰(). 构造方法如下[2]: ()=Yo r l()=Yo+I,0())d 0 r 2()=Yo+I,l())d 0 . : r ‰():Yo+l,‰一1())d 用上述方法构造的近似解序列 0(),l()…‰() 的极限函数为: r ()=Yo+I,())d. 0 上述方法即为Picard逐次逼近法. 2有效性的证明 但是这种方法是否有效呢?下面我们对Picard 逐次逼近法的有效性进行证明. 如果Picard逐次逼近法是一种有效的近似解法 的话,那么应该保证:当近似次数/7,增大时,近似解 ‰()与精确解()之间的误差l()一‰()l 是递减的. 在对误差l()一(Pn()l进行估计之前,我们 收稿日期:2008-01—17 第一作者简介:杨颖(1980-),女,吉林省白城市人,现为吉林师范大学数学学院教师, 硕士.研究方向:微分方程. ? 155? 先用数学归纳法来证明:显然方程:,,是变量可分离方程. 当),?o时, ??. 舵熊媳慨髑 当n=O时,再去掉对数号,得到方程的通解为: l1()一.()ly=Cex:,(c=ec?), ?}l,y0)de}?MI—oI,c为任意常数? 成立 ,…+ y0.一.再将c的值代回通解中得到: 假设n=时成立,即有 .. ),:yoCx-x0 I仇()一仇一1()I?一;即为所求初值问题的解. 当n:+1时,则方法2:Pica耐逐次逼近法 I饥+1()一饥()I显然方程 ? IIX~of(?)一?Idx), ??'似()一!()'dI):),. ?d 构造近似解序列‰…如下般 : '证毕.+)) 下面我们对误差I()一()作估计如下: :y0+ly0d:y0+y0(—o), I()一()I?. r I()一仇()I?2()y.+J(哪()d !二Q!!,Yo+l[y0+Yo(一o)3d~=Yo ?k!N!x0, <, M( , Nho)n ,. +l :一 M(Nho)n+l e.+),.(—.)+y0 N(n+1)!k!一N(n+1)!, 即 I()一()I<?31?e腑..n().+J',~tgn-1()d),. 因为是一个可以充,的量见'增大 +Yo+Yo+.. 时,误差是可以递减的(只要保证<1且?. ,, ' (__ 3应用举例 经过上面的证明,说明Picard逐次逼近法是求方程的解,即 方程近似解的一种有效方法,这样我们就可以用它),()=l— im‰()=l— imYo 来求 型的方程.我{I]分别用初等【+…x':_nx!o)n1=yoex-xo14-先来看一 个可积类型的方程.我们分别用初等l—o)+—T_一…n! 积分法和Picard逐次逼近法对它进行求解,检验结对比两种方法,所得结果相同, 这说明用Picard 果是否一致.逐次逼近法可以求可积方程的精确解.而对于不可 例1求解初值问题积的方程,我们也可以应用Picard逐次逼近法来求 f=y其有限次的近似解? 【y(.):y0例2用Pica耐逐次逼近法来求方程,=272+ 方法1:初等积分法Y满足),(O)=0的三次近似解. 解根据Picard逐次逼近法构造近似解序列的 方法,给出方程的零到三次近似解 y0(),Yl(),Y2(),Y3() 如下:Y0()=0. ,,l()=0+Jd=等, ():0+(+菩)d:了x3+葫x7, Y3()=0+J.(++2m+)dr6一l0 :了X3+X7+ 五两2-l+苗.了++五两'+' 下面我们用Matlab程序作出各次近似解的图像如下 所示: 当然,如果精度高,那么根据需要我们可以 求出上述方程的任意有限次的近似解. -'' 一,....... 参考文献 [1]东北师范大学常微分方程教研室,常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2OO6. [2]潘家齐.常微分方程[M].北京:中央广播电视大学出版社,2O02. [3]丁同仁.常微分方程教程[M].北京:人民教育出版社,1981. 图1用Matlab程序作出略次近似解 TheApplicationofPicardGradnailyApproachMethod YANG (College0fMathematics,JilinNormalUmversi~,Siping136000,China) Abstract:ThispaperprooftheHeardgraduallyapproachmethodisavalidwaytofindtheappro ximatesolutionof0r. dinarydifferentialequation.ItCallbeusedtofindtheapproximatesolutionandexactnesssolu tionoffirstorderappar- entformuladifferentialequation.Fortheproblemofapproximatesolution,wedrawthefigure oftheapproximatesolu— tionbyMatlabprogram. Keywords:picardgraduallyapproachmethod;approximatesequence;approximatesolution;exactnesssolution (上接第151页) 参考文献 [1]李华.我国体育人口2010年将达40%[N].京华时报,2OO7.2.15. [2]冯守东,等.我国知识分子参与体育活动状况调查[J].中国体育科 技,2OO3,39(5):6—9. TheInvestigation,AnalysisandCauntermeasuresontheCa. use ofthepartIntellectDoNotParticipateinPhysical Training-TakingSetJilinProvinceasanExample CUOLi-ping (College0fPublicPhysicalEducation,JilinNonnalUmversi~,ping136000,China) Abstract:Thereasonsthatthegroupinnon— sportspopulationamongtheintellectinjilinProvincewhohavethe favourableorgeueralattitudetowardstheparticipationintophysicaltrainingareinvestigatedandresearchbyusingdoe— umentarymaterials,questionaires,mathematicalstatisticsandanyothermethads.Theresultshowsthefollowingaspect: havingnosparetime,Lackingsportscourtsaswellasstrenuouswork,physicallyandmentallytiresomenessaremain factorsthataffecttheirparticipationintobody-building.pointingatthese,therelevant areputforward. Keywords:intellect;non—sportspopulation;condition;cause andsuggestions ? l57?