（精选）空间解析几何 多元函数的偏导数与全微分 隐函数偏导数

（精选）空间解析几何 多元函数的偏导数与全微分 隐函数偏导数 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 xyz,,，131 D(,,1175 第十三讲:空间解析几何的强ijk 解: s,,,,21311,7,5,,化训练 125,一、单项选择题(每小题4分，共24分) xyz,,，131 ？,,xkyz，,,,201(平面与平面1175 xyz,，,1124(空间直线与平面 ,,210xyz，，,,相互垂直，则K= (C) 311,A(1 B(2 C(-1 D(-2 xyz，,,,230的位置关系是 (B) nk,,1,,1n,2,1,1解: ， ,,,,12A( 相互垂直 B( 相互平行，但直线不在平面上 nn,，1,,12,1,1k,, =0 ,,,,12C( 既不平行，也不垂直 D( 直线在平面上 210，,,kk,,1 sn,,,321M(1,2,3)2(过轴和点的平面方程是(B) ox解:(1) ,sin0,,, 116sn 320yz,,A( B( x,,10 L,故或，即 ,,0, ,，,,3260yz230yz,,C( D( (1,1,2),L(2)上点代入:12230,,,,,, ？,,AD0,0解:?过轴 ,ox直线不在平面上 22225(方程示的二次曲线是(B) xyz，,,0,:0yCz，,又 230BCcB，,？,,3 A( 球面 B( 旋转抛物线 320yz,,即 C( 圆锥面 D( 圆柱面 2解:这是yoz面上，抛物线绕Z轴旋zy,230xyz,,,,(1,3,1),3(过点且与直线平,xyz，,,2512,22转的旋转抛物面 zxy,,，，，行的直线方程是 (D) xyz,,，13122即 zxy,，A( ,,1197 22xyz,，，131,zxy,，B( ,,6(在空间直角坐标系中，方程组,975z,2,xyz,，,131C( ,,代表的图形是 (A) 1197 A(圆 B(圆柱面 C(抛物线 D(直线 89 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 12(在空间直角坐标系中 ，方程22解:这是旋转抛物面与平行于zxy,， 22表示的曲面是 xy,,,(2)0 面的平面z,2的交线是一个圆 xoy 二、 填空题(每小题4分，共24分) 22解: xyxy,,,,,，,(2)020, 32660xyz,，,,7(平面的截距式方程是 xy，,,20.两个相交平面 ，，xy326xyz解:即 ，，,z1,，,1三、计算题(每小题8分，共64分) 23,666 xyzxyz,,1213(求过点M2,9,6,且与连接坐标原点及8(直线与直线,,，，,,0101110 的夹角是 的线段垂直的平面方程 MoM00 1,1,01,0,1,,,,,1cos,,,解: OM,,？2,9,6解:(1)法向量 ,,222, 1, n,,2,9,6？,, arccos,,,23 9(已知两平面 (2)平面的点法式方程 ,,:2350:60xayzbxyz，，，,，,,n,,2,9,6点，法向量 M(2,9,6),,,12o 相互平行，则 ， b,a,2(2)9(9)6(6)0xyz,，,,，，即 232a解: ,,？,,,,ab18,b613,2961210xyz，,,, 2,3,410(过点且垂直与平面，， A(1,0,2),B(1,2,2)14(过点和且与向量 310xyz，,，,的直线方程为 a,2,2,2平行的平面方程 ,, s,,3,1,1(2,3,4)解:点 ,, 解:(1)依叉乘的定义知nABna,,？,xyz,,,234 ,,311,AB,0,2,4且 naAB,，,, xyz,，，,3010(平面与平面 ijk22230xyz,，，,n,,1,2,1n,,,2224,8,4之间的距离d= 故取 ,,,, 024 33,(2)点法式平面方程: DD,3221解: d,,,222(1)2(0)20xyz,,,，，,即 2111，，ABC，， 90 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ijkxyz,，，,210 , 解:(1)求s,,,2315,7,11s,, A(1,1,1)15( 求过点且垂直于平面312,xyz,，,7321250xyZ，,，,和的平(2)求直线上一个点 M0面方程 250xz，,,　?,y,0?，2+?令， ,nn,,,,1,1,1,3,2,12解:(1) ,,,,3240xz,,,?, ijk?得x=2 代入得z=1 M2,0,1 ，，O n,2,3,1取 n,,,11110,15,5,,,,(3)标准式直线方程 3212,xyz,,,201 ,,(2)点法式平面方程 5711 xyz，，342(1)3(1)10xyz,，,，,,即 18(确定直线:和平面,,,,2732360xyz，，,,4223xyz,,, 的位置关系 解:(1)设为直线和平面的交角 ,A(1,2,0),16(求通过点且平行于直线 sn,,，,8146 ,sin0,,,xyz，,，,210,6224sn的直线方程 L:,1xyz，,，,250, L,？,,0故 ss,,,,1,1,2,1,2,1解: ,,,, (3,4,0),,(2)直线上点代入平面方程 ijk ,，,,,,128043故直线不在平面上 ？,,s112 19(指出下列曲面那些是旋转曲面,如果是旋121,转曲面，说明他是如何产生的, 222,,,,122111(1) xyz，，,231,,3,1,1 ,,,,,,,211112,,,2y22xyz,，,120xz,，,1(2) (2)所求直线方程 ,,4311, 2222350xyz,，,,,xyz17(化直线方程为标准，,,13) (,3240xyz，,,,91825, 式直线方程 222(4) xyz,,,21 91 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 0222到平面 (2)利用点Mxyz(,,)1解:若中有两个系数相同时，则xyz,,0000 22的距离公式 ,:0AxByCzD，，，,zx为旋转曲面在(2)中，系数相同故选 2AxByCzD，，，y00022 d,xz,，,1 12224ABC，， 2(3)点到 Mxyz(,,)y1111022x,,1 上双曲线绕轴旋转 xoyy4 :的距离 ,AxByCzD，，，,02222y22,，,,xz1即旋转双曲面 ，，AxByCzDDD，，，,1112214d,,222222ABCABC，，，，2y22五、综合题(每题10分，共30分) xz,，,1 422(设一平面通过Z轴，且与平面: 20(指出下列各方程在平面解析几何和空间解,的夹角为，求此平面2570xyz，,,,析几何分别表示什么图形, 3 方程 22(1) (1)4xy,，, ？，,,:0AxBy解:(1)平面过轴 z, 22xy,,1(2) (2) nABOn,,,,,,2,1,5,,,,4912 nn12AB，,,yx,，1(3) 12,即 cos？,2223nn10AB，12:(1)在平面解析几何表示:圆;在空间解解 析几何表示:圆柱面 222 10()4(2)ABAB，,，(2)在平面解析几何表示:双曲线;在空间 解析几何表示:双曲柱面 2222101016164ABAABB，,，， (3)在平面解析几何表示:一条直线;在空 间解析几何表示:平面 223830AABB，,,BA,3解得或四、 证明题(本题8分) 21( 证明两平面 AB,,3 (3)所求平面的方程 ,,:0:0AxByCzDAxByCzD，，，,，，，,1122 xy，,3030xy,,或 DD,21之间的距离d: d,20xyz,，,222,ABC，，23(求过点(1，2，1)且与L:,1xyz,，,0,证:(1)在平面,取一点Mxyz(,,) 11111 92 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 解:(1)已知L的方向向量xyz，,，,210,和平行的平面方程 L:,2sAB,,，2,2,6 ,,xyz,，,,10, ijk3220xyz,，,,(2)设 L,1解:(1) s,,211xyz，,,2301, 111, ijk,,,,111221 s,,3221 ,,,,,,,111111123,,, ,,,,222332,,,0,1,1 ,, ,,,,,233112,,,,ijk 2,11,8(2)s,,121 = ,,2 111, (3)LLss？ 11,,,,211112 ,,,226,，AB,,故有 ,,,,111111,,2118 1850,,,,1,2,3 从而解得 ,,AB,,,1111 nsns,,,(3) 第十四讲:多元函数的偏导数12 ijkijk与全微分的强化答案 ？,,,n011n,,,011 一、单项选择题(每小题4分，共24分) 123,,123,,2( 设1 fxyxyxyy(,)，,,，,,,,,,111001 ,,,,,fxy(,)则= (A) ,,,,233112,, x2,,1,1,1 A( B( ()xy,xyy，,,2 x(4)点法式平面方程 2C( D( ()xy，xxy,xyz,,,1212 ,,111,fxyxyxyy(,)()，,,，解: xyz,,4524( 设直线问A，BL:,,1226,，AB ,，，,,()()()xyxyxy,,取何值时，才能使直线L同时平行于平面2 322xyzo,，,xyzo，,,23和平面 93 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 xedxdy()，dxdy， D( C ( ？,,fxyxy(,)()2 xxyeycos解:在(1，1) dzeydxxdy,，()( = (D) 2lim22,1x，，1xy,yo' dzedxdy,，()1eA( 0 B (1 C( D( 2e226(已知且 (,)()xyxyyx,，，,xeycosfxy(,),解:在点(1，0)连续 ,z22zxx(,1),，则= (A) 1，，xy,x x'2eyeecoscos0xyx，,12A (2 B( xy，2？,, lim22,x1，，，，11102xy,yo2212xyx，，,，,xx1C ( D( fxy(,)3(设在点处有偏导数存在，(,)xy002解:(1) zxxxx(,1)1(),，，,,fxhyfxhy(2,)(,)，,,0000则=(D) limho,h2 ？,,,,()1xxx'A (0 B( fxy(,)x00222(2) zxyxyyxx(,)1,，，,,''C( D( 2(,)fxy3(,)fxyxx0000,z(3) ,，,212xyxfxhyfxy(2,)(,)，,,x0000解:原式= lim2,ho,二、填空题(每小题4分，共24分) 2h fxhyfxy(,)(,),,00001222 ，lim7( 的zRxyrR,,,，,,(0)ho,,h222xyr，,'''=2(,)(,)3(,)fxyfxyfxy，, xxx000000定义域是 222,Rxy,,,0zfxy,(,)zfxy,(,)4(偏导数存在是可,解: ,222xyr，,,0,,微的 (B) A(充分条件 B(必要条件 2222定义域 ？Dxyrxy,,，,(,)R,,C(充分必要条件 D(无关条件 ,,zzxzfxy,(,),解:若可微，则存在， 8(设则fxyxy(,)(1)arcsin,，,,,xyy反之成立，故偏导数存在是可微必要条件 'fx(,1)= xxyze,dz5(函数在点(1，1)的全微=(C) fxx(,1)0,，解:(1) 2xyA ( B( edxdy()，edxdy()， 94 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,u'''''(2) 解:fxx(,1)()1,,,,，,，,ffyfyz1x123,x '''x ,，，fyfyzf123dzz,，ln(1)9( 设则= (1,2)y三、计算题(每小题8分，共64分) zxyfxy,，，,2(34)y,013(已知，若,z11解: ,, (1,2)(1,2)x,xy1，,z,zy2zx,时，求， ,y,x 11,, (1,2)2解:(1) xxfx,，(3)yx，3 112,,zx1 ？,,fxxx(3)33，，，，,,, (1,2)(1,2)93,，yyxy()6112故有 fxxx(),,1193 dzdxdy,,(1,2)14236(2) zxyxyxy,，，,,，234，，93,z66fu()10(设，可微，则= zfxy,,()1012 ,，,yxy(34),y39 ,,zz2108,,,,,(34),(34)xyxy(3) ,z,,xy339'6666'()(),,,fxyxy解: y,yy2y14(求在点(1，0)(1)arctanzxex,，,x'6655'66 ,,,,,,,fxyyyfxy((6)6()处的一阶偏导数，全微分 ,zx(,0)232解:(1) zxxx(,0)2,？,,,x0.0211(在点(1，1)处，当，uxy,,x ,z,,,y0.01时的全微分是 故有 ,2(1,0),x ,zy(1,)duxy,,，,32解:当 yy(1,1)zyee(1,),？,(2) ,y,,,,,xy0.02,0.01时，其微分= ,z0,,e1故 30.0220.010.04，,，, (1,0),y,uufxxyxyz,(,,)f12(设，可微，则= ,xdzdxdy,，2(3) (1,0) 95 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 x,z,zf17 设，可微，求 dzzfey,(sin)x15(设，求，， dzzxy,，(1),y,x,z'''xx(1): 解法(sn)sini,,,feyeyfy,xlnln(1)zxxy,，解:(1) ,z'''xx(sin)cos,,,feyeyf y,zxy1,y(2),,，，ln(1)xy ,，xzxy1 x dzefydxydy,,，(sincos) ，，,zxyx (1)ln(1),，，，xyxy'xx,,解法(2): dzfeydey,(sn)(sin)i1,，xxy，， 'xx，，,z,，fydeedysinsin xx,,121，，(1)(1),，,,，xxyxxxy ,y'xx，，,，fydxeydyesincos ，， dz, 2zfxyyx,,(2,sin)f，，18设，其中有二阶xyxx (1)(ln(1))，，，，xyxydxdy,,11，，xyxy，，2,z连续偏导数，求 yx,z,z,,xyzf,(,)16(设，求，， dz,yxy,x,z''解:(1) ,,，,ffyx2cos12,x,,zy1'',,，,ff解:(1) 1222,z,xxy''''，，,,,，,2(1)sinffx(2) 1112，，,,xy y1'',,，ff ''''12'2，，，,,,，,cos(1)sinxyffx，cosxf xy21222，， ''''',,zx1 ,,，cos2sincosxffyxxf''21122,,，,ff(2) 122,yxy''''''，,,(2sincos)xyxfff ，，1212211x'',,ff 1122f19(设 ，其中，,，，,zfxyyxy()()xyx 2y1,z''dzffdx,,，()(3) ,都有二阶连续偏导数，求 122xy,,xy ,z11''1x解:(1) ,,,，,，,ffyy1''2，,()ffdy 12,xxx2xy 96 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,xyxy,2，， 原式,zy11eexyc(),,，''''，，,,,，，,fxffx(2) x,2,,xyxxx, ,，,，,()0xycyy,x'''''''' ，，,,y,，，yfy,, 22xyf22( 设 有二阶连续zfxye,,(,) yf20 设 ，有二阶连续偏导ufxyxe,(,,)2,z偏导数，求 2,u,,xy数，求 ,,xy,z''xy解:(1) 2,,，,,fxfey12,u,x'''y解:(1) 10,,，,，,fffe123,x''xy ,，2xfyef122,u'''',,，,ff01(2) 21112,z,,xyxy''''，，2(2),,,，,xfyfex(2) 1112，，,,xy'''yy ，,，fxeef133'xy''''xyxy'，，，,yef+ yefyfex,,，,(2)，，22122，，yyy''''''，，，,，,，,efffxe01 313233，，''2'''xyxyxy,，，，,42xyfxefeyexf= ，，11122yyyy'''''''2'' ,，，，，effxefefxef3121332332''2''xyxy ,,，2yfexyef2122四、综合题(每题10分，共20分) ''''',u ff,fu()21(若可微函数满足，fufue()()，,1221 ,xy2，，计算 efxy(),z'xy''2''xy，，,，exyf(1),，4xyfxyef ,x21122,,xyxyxy':原式解 ,，,yefxyefxyy()()22''xy，,22xyef ，，12xy',，yefxyfxy(()())xyxy'''2'',，,，exyfxyfxyef(1)4 21122',ufufue()()，, ，，22''xy，,2xyef ，，12xyxy, ？,,,原式yeey五、证明题(每小题9分，共18分) ,du,uu,，，xfueeeduc(),,，注:另法: ,,z,，，23(设 其中可微， 22,()xy,,,uxy,，？,，eucfxyexyc()() ,, 11,,zzz，,证明 2xxyyx,, 97 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ',z,z,,,zxx,,2xx(sin) ，,,ey 证:cos,ey,证明:(1) 2,y,x,x, ''22,,,,zyxy0(2)2,,,z,zxx,,x,,ey(cos)cos(2) ,ey， 2222,y,y,x,, 22,,zz1xx'，,,,eyeycoscos0,,,2x故有 '22,,112zzx,x,,xy，,，(3) 22,,xxyy,, 第十五讲:隐函数偏导数求法1z,, 2,xx及偏导数应用的强化练习题 xy24(设，证明 zee,，ln()答案 一、单项选择题(每小题4分，共24分) 222,,,zzz2,,() ''22fxyfxy(,)(,)0,,1(设则(,)xy,,,,xyxyxy000000 xyfxy(,)是的 (C) ,,zeze,,,解:(1) xyxy,，,，xeeyeeA( 极小值点 B( 极大值点 C( 驻点 D(最大值点 2xxyxx,，,,zeeeee(),(2) ''222xyfxyfxy(,)0,(,)0,,解:使同时成立,，xee()xy0000 xyfxy(,)的点，称为的驻点 (,)xyee,00, xy2()ee，22fxy(,)2(函数的,，,，，xyxy32622xy,,zee,由轮换对称性知, 驻点是 (A) 22xy(),，yeeA ( (1，-1) B( (-1，-1) C ( (1，1) D( (-1，1) 2xyxy,,,,,zeeee0,,(3) ''xyxy22x,1解:fx,,22令f,0，得 ,,，，xyeeee()()xx ''222y,,1fy,，,660f,0又令得 ,,,zzz2yy,,()故有 22,,,,xyxy ？fxy(,)(1,1),的驻点 选做题 3(下列命题正确的是 (C) 22,,zzx，证明 满足=0 zey,cos22zfxy,(,)A (函数的极值点一定是驻点 ,,xy 98 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 切平面 () zfxy,(,)B( 函数的驻点一定是极值点 xyz,，,,2210 A( zfxy,(,)C( 可微函数的极值点一定是B(z,2 zfxy,(,)xyz,，,,2290的驻点 C( D(可微函数 xyz，，,,2290D( zfxy,(,)zfxy,(,)的驻点一定是的极 222'解:(1)令 FxyzFx,，，,,9,2,x值点 '''zfxy,(,)解: 可微，函数极值点一定FyFz,,2,2， F(1,2,2)2,,,？yzx是驻点 选C ？''FF(1,2,2)4,(1.2,2)4,,,,, yz fxy(,)fxy(,)4(函数在点可微是(,)xy00(2)切平面方程: '(1)4(2)4(2)0xyZ,,，，,, 在的两个偏导数，和fxy(,)(,)xyx0000 二、填空题(每小题4分，共24分) 'fxy(,)存在的 (A) y00227(函数的极大值为 fxyxy(,)5,,,A( 充分条件 B( 必要条件 C( 充分必要条件 D (无关条件 ''fxfy,,,,,,20,20解:(1) xy:可微偏导数存在，反之不成立 解, 可微是偏导数存在的充分条件(注不是充？(0,0)驻点 ？分必要条件) ''''''fxy(,)fff,,,,,2,0,2;5(设点为的驻点，且有(2) (,)xyxxxyyy00 ''''''2,(,)Bfxy,,(,)Cfxy,，Afxy,(,)有极值 ,,,,,,,0(2)(2)400000xyyyxx00 2f(0,0)5,A,,,20有极大值 fxy(,),,,BAC则极大值点充分条件 是(D) 228(设在点(1，fxyxaxxyby(,)2,，，， ,,,0,0A,,,0,0AA( B( 1，)取得极值，则 a, b, ,,,0,0A,,,0,0AC( D( '2'fxayfxyb,，，,，4,2解: xy,,0A,0A,0解:当时有极值，极小值， ',,,0,0Af(1,1)0,f(1,1)0,极大值。即 又，即 y 410，，,a20，,b， 2226(球面在点(1，-2，2)的xyz，，,9 99 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 2？,,,,ab5,2 解:(1) 3220zdzzdxxdzdy,,，, 2223zzxy,(,)9(方程确定则 (2)在(0，1)处:即 xyz，，,1zz，,,,10,122320dzdxdy，，, ,z,z== ,,xy,,yx 21dzdxdy,,,(3) 222'(0,1)解:令 FxyzFx,，，,,1,2,33x 三、计算题(每小题8分，共64分) ''FyFz,,2,2 yzxy，13(设方程确定exzsin()0，, ,zy,zx,,(2)， ,,zzxy,(,) 求 dz,yz,xz 22xy，,,,,zzxyz1解:(1)令 Fexz,，sin(),,，,,(0)x(3) 23,,,,,xyzyzyx'xy，Fexzxz,，，，sin()cos() ,,x32xt,10(曲线，，在点(1，1，yt,zt,''xyxy，，FexzFexz,，,，sin(),cos() yz1) 处切线的方向向量为 ''2''F,,，,，zxzxzsin()cos()解:， xttyttzt()3,()2,()1,,,x(2) ,,',，xFxzcos()z''' xyzt(1)3,(1)2,()1,,, ,,,，1tan()xz i,3,2,1切线方向向量: ？,,'Fsin(),，zxzy tan(),,,,,,，xzz'zzxy,(,)11(方程确定，则exyz,,0cos(),，yFxzz ,zdzxzdxxzdy,,,，,，1tantan()，， = ，，，，,x zz''zzxy,(,)22ln()xzxyxyz,，14(设 由方程 解:令 FexyzFyzFexy,,,,,,,,xz ',z,zF,zyzx,0所确定，求，，dz ,,,'2,y,,xFexyz,x 3Fxzxyzxyz,,，，，22lnlnln,解:(1) zzxy,(,)12(方程zxzy,，,20确定， 1dz1则= ''(0,1)Fxz,，2Fzyz,,，， 22yxyx 100 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 1'2 Fxxy,,，22,xz,,，(2)zx22z,,,(2)zxz,2,, 132(2)z,(2)z,yzz,,22'F,zxx(2) ,,,'1,xFzxxy,，22abzxy,，，17( 已知点(5，2)是函数的zxy1xz,2'F,zyyab,极值点，求的值 ,,,'1,yFzxxy,，22z,,zaza,,,,,y,20解:(1) (5,2)2,zxz,z,,xxx25,lnzzxy,(,)15(设方程确定，求， zy,y,xa故 a,502,x25:令 解Fzy,,，lnlnz,,zbzb,,,,,x,50(2) (5,2)2111,,,xxz,,yyy4'''FFF,,,,,,, xyz22zyzzzb故b,20 5,4'2F,zzzx(2) ,,,,22'18(求的极值 fxyxyxy(,)4(,),,,(),，，xFzxzxzz ''2F解:(1)求驻点 fxx,,,,420,2,zzyx ,,,'(),，yFyxzz'y,,2fy,,,42，，驻点(2，-2) y22216(设方程确定xyzz，，,,40''''"fff,,,,,2,2,0(2)判断极值点: xxyyxy2,zzzxy,(,)，求 222有极,,,,,,,,,BAC0(2)(2)40,x 值A,,,20。(2，-2)为极大值点 222解:(1) Fxyzz,，，,4 f(2,2),,,,16448(3)极大值 '''FxFyFz,,,,2,2,24 xyz22xy，,219(求在条件下的极值 zxy,，'F,,zxx(2) ,,,解:(1)化为无条件极值 '2,,xFzz22zxzx,，,()一元函数的极值 ,z,,，(2)zx2',zzxx,,,,22(2)0(2)， ,xx,(3) 22,,xz(2) 101 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 'F,zy440,1xx,,, ((,,)0(,)),,,,Fxyzxyz确定x',yFx''22'极小值 z,,40z,，,,1(21)2,yFxxz((,,)0(,)),,,,Fxyzyzx确定y',zFy22'注: FxyxyFx,，，，,,，,,,(2),20,x ''''FFFFyxy,，,,,20,代入约束条件 ,,,zxyyxzy(2)()()(),,,,,, ''',,,xyzFFFzxyxy，,2xy,,1,1得驻点。由实际问题知,,1 ,zz(1,1)2,极大值 注:是一个完整符号，不能认为是和,z,x,x 20(求空间曲线 的商 t五、综合题(每小题10分，共30分) 对应于lxttyttz:sin,cos,2cos,,,,2xzzzxy,(,),ln22( 设方程确定，求zyt,,的切线方程 2解:(1)在处对立点 M(,,0),,,t,,,z0 2,x(2)切线方向向量: ,z'''解:(1)求(用复合函数求导法) xy()2,()1,2()1,,,,,,,,,,x(3)切线方程: xzzzy,,lnln(两边对X对导，xyz,，,,,0 ,,211,,zzxy,(,)) 四、证明题(本题8分) 1,,,zzzxxyzyyzxzzxy,,,(,),(,),(,)21(设都 1lnln,,，,,zzyzxxx,,, Fxyz(,,)0,是由方程所确定的所有连续偏11z,z,z,,解，= zxxz，,x,x1ln1，，,,,zxyy2,,,,1导数的函数，证明 ,,,xyz(注:与15题结果一样) '2F,z,zx解:(1) ((,,)0,,,Fxyz(2)求， '2,xF,xz 2确定zzxy,(,)) ,,zz,() 2,,，xxxz 102 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 使他们的乘积最大，求这3个正数 ,,zz依题意: 解:设a的三个正数分别为xyz,,()(1)xzz，,，,,xx= 目标函数 约束条件: xyza，，,uxyz,2()xz，(1) 化为无条件极值 22 zzuxyaxyxyaxyxy,,,,,,()()(1)xzz，,，xzxz，，= ,u22()xz，2) ? (,,,,ayxyy20,x 22,uxzzzxz，,，(2),z2,,,,axxyx20 ? == 33,y()xz，()xz， 33ayxyxyxxy()()(),,,，,,?- ?: 23(求的极值 fxyxyxy(,)865,，,， a22'2axxx,,,20:(1)求驻点: ? 代入?得 ，解fxy,,,360,,xx3 aaaa'2fyx,,,2460 ? (，)为驻点 y,,,zy3333 (3)判断极值点: 2由? 代入?得 xy,4''''''uyuaxy,,,,,2,22ux,,2， xxxyyy12y,0解得或者 80yy,,y,aa2在点(，)处 133驻点(0，0)或(1，) 22a2 Aabca,,,,,,,,,(2)判断极值点: 333 ''''''2fxffy,,,,6,6,48 a4xxxyyy22,,,,,,BACa0有极值，且 99 ABC,,,,0,6,0在(0，0)点处: 2,0 有极大值 由单峰原理有最大Aa,,32无极值 ,,,,,(6)0360 aa3xyz,,,值答 ()u,1aaa(,,)ABC,,,,6,6,24在(1，)处: 333332 22有极值 ,,,,,，,BAC(6)6240第十六讲:二重积分的概念、 1A,,60且 (1，)为极小值点 计算及其应用的强化练习题2 13(3)极小值 f(1,)11354,，,，,答案 2 一、单项选择题(每小题4分，共24分) 24( 把一个正数a分成3个正数之和，并且 103 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,,,,fxy,1(在平面有界且有面积的闭区域D，，,,2 D. C(dredr,dredr,,,,,0000上连续是二重积分存在的 fxydxdy,，，,,D ( B) A 必要条件 B充分条件 C 充分必要条件 D无关条件 解:若fxy,在D上连续，则 解:采用极坐标定限 ，， ,1r2存在，反之不成立，故选B fxyd,,，，原式, 选D dredr,,,,,00D D= ,y,xaxbcyd,,,,5(设则 ，，,,fxy,2(在平面闭区域D上有界是二重积，， = ( C ) d,分存在的…( A ) fxydxdy,，，,,,,DD A( B( abcd，，，abcdA 必要条件 B充分条件 C 充分必要条件 D无关条件 badc,,abdc,,C( D( ，，，，，，，，解:若存在，则fxy,在D fxyd,,，，，，解:(1)画出D的示意图 ,,D 有界，反之不成立，故选A fxy,3(设为连续函数，则 ，， axa,0 ( A ) dxfxydy,，，,,00 aabddyfxydx,A. (2)原式, dxdybadc,,,，，，，，，,,,,0yac 2222aa6(设D:=(B) xyRxyd，,，则1,，，,,B.dyfxydx, ，，,,0xDay22,R2,RA(0 B. C2,R D C.dyfxydx, ，，,,00解:(1)画出积分区域D aydyfxydx,D. ，，,,0a 2(2)原式, xydd,,， ,,,,解:交换二次积分次序 DD22aa(D关于y轴对称，关于xyxyd,,0dyfxydx,,,原式, 选A ，，,,0yD 22x轴为奇函数) 4(设D= x,y1,00xyxy，,,,，，，,,220，,,,RR?原式, 选B 22xy，二、填空题(每小题4分，共24分) edxdy则在极坐标系下= ( D ) ,,DDxyxy,,,,,,,01,107(设 ，，,,,,,,,,2,222dedr,A( B. dedr,,,,,若，则 axyd,,,a,,0000,,D12 104 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 168 ,,,,,,833 Dxyxy,,,,,,,01,1011(设则 ，，,, xy xedxdy, ,,D解:由二重积分几何意义知 222上半球体积 axyd,,,,,,D 22,1 33, ,,Ra？,a,101oxyxy33122解:原式 dxedxyedx,，，,,,,,,0101228(若D:，则, 49,，,xydxdy1,,11d,x, ,,，,,edx111，，, 0ee解:(1)画出积分区域D 11Idxfxydy,,12(交换积分次序后，，，,,x0 I, 解:(1)画出积分区域D 22,,,,,,,,,,,32945(2)原式, 2229(设D:则 xyR，, 22 , xxydxdy，，，,,(2)交换二次积分次序: D21y解:(1)画出D dyfxydx(,)原式,I= ,,00 三、计算题(每小题8分，共64分) 2x13(计算，其中D由 dxdy ,,2y(2)?D关于y轴对称，且D 22xyxyx,,,1,2,所围闭区域 fxyxxy,,，关于x为奇函数 ，，，，解:(1)画出积分区域D ?原式,0 2210(设D为，则 xy，,4 22, 2,，xydxdy，，,,D 解:(1)画出D (2)选择积分次序:为了不分片先对y分积 分，后对x积分 2x12dxxd,()原式, 1,,1y2 x222,1222xdx(),(2)原式, = 22,,,,,drdr1,,,100yx 105 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 4211122,,xx93 ,,1sin1,，,coscossinyyyy ,,,,,xxdx，，,,,10001424,, 214(计算，D由 yd,,,D2所围闭区域 yxxyy,,,,,1,0,0,1 解:(1)画出积分区域D 212xx,xy,Idxdy17(计算 22,,0x，xy 解:(1)画出积分区域D (2)为了不分片先对分积分，后对y积分 x2111y，222dyydxyydy,，(1)原式, ,,,000 1111118(2)改用极坐标定限，计算 53, yy，,，,,,,002cos,535315rrcossin,,3 ,Idrdr,,15(交换 ,,20r41233yy,,2Idyfxydxdyfxydx,，,,，，，，r,,,,2cos0010,2 ,,sincos,,,d0,,积分次序 24,,解:(1)画出 DDD，,123322 ,,sincos2,,,d,,2coscos,,d,,,, Dyxy:01,02,,,,144 Dyxy:13,03,,,,,,21142 ,,,,cos,284 18(计算 R22yRRy,2222yxyx,,,,2Iedyedxedyedx,，R,,,,0002 解:(1)画出 DDD，,12(2)交换积分次序 23,xI,dxfxydy,, ，，x,,02 1xsinyIdxdy,16(计算 ,,0xy 解:(1)画出积分域D (2)交换积分次序 (2)改用极坐标定限，计算 ,y11ysinsinyyR2,r2I, dydxxdy,, 2Iderdr,,,,,,20yo,,,yy0y411 , sincosdydyy，,,,o0 106 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 四、综合题(每小题10分，共20分) 2,,1,,,,,rRe,,,, 0,,,,21(计算 242,,,,2ee22lnlnxx22,,1 Idydxdydx,，,,RR,,,,xx ,,,,,ee1101lney，，，，ee428解:(1)画出积分区域 DDD，,1219(计算，其中D由 yx,Ixydxdy,,, Dyex:0,12,,,,1D22y,1，所围闭区域 yx,, Deyeyxe:,ln,,,,2解:(1)画出积分区域D x2elnx(2)?D关于y轴对称，xy关于x为偶函(2)交换积分次序 Idxdy,x,,10e数。 (3)计算二次积分 211yxy22xlnxe2,,ydy ？,Idyxydx20 Iydxxdx,,,ln,,,0000,,x211e1112341,,,,xxxln2ln21 ，，, ,,ydyy10,04422xy,,0,022(由圆及直线所围xy，,120(计算 Ixydxdy,，，，,,成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量 D22解:(1)画出平面图形 Dxyx:2，, 解:(1)画出积分区域D (2)设该薄板质量为M ,2 11,r2,,drdr Mxydxdy,,,，，(2) Ixdyd,，,,2,,,,,,,,001，rDDD22?D关于轴对称，y关于y为奇函数 11x,,11,,,rrtt2,drdt 2,,00 ？,yd,04141，，rt,,D111,,,,，122t，，,,,,dtdtdt 2cos,,,,,,00024141，，tt，， Idrrdr,,,,cos,,,0,2,11，， ,，,2ln1tt，，,00，，2342,,,,cos8cosd, ,0,3 ,,,,，，2ln2010，，,，，16442,,,cosd ,,03,,2ln21 ，，1631,4,,,,, ,五、证明题 (每小题9分，共18分) 3422 107 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 23(证明 第十七讲:数项级数的敛散性bxb dxfydybxfxdx,,，，，，，，,,,aaa 证:画出左式积分区域D 的强化练习题答案 一、单项选择题(每小题4分，共24分) , Ulim0U,1(若则常数项级数( D ) ,nnn,,,n1 A(发散 B.条件收敛 C(绝对收敛 D .不一定收敛 bx', dxfydy()交换积分次序111,,aa解:，但发散;，,,lim0lim0,2n,,n,,bbbbnnn,n1dyydxfydxdy,,, ，，，，,,,,,ayay1但收敛 选D ,bb2n,1n byfydybxfxdx,,,，，，，，，，，,,aa,,右式 U2(设收敛，则下列级数一定收敛的是,n,n1fxy,24(设为连续函数且 ，，( B ) ，其中D: fxyxyfuvd,,,，,,,，，，，,,U2008UA( B. D，，,,nn2n,1n,1所围闭区域，证明: yyxx,,,0,,1,,11U，0.001C( D( ，，,,nfxydxdy,, ，，U,,n,1,n1u8D,,解:(1)画出积分区域D 2008UU解:,2008 ，，,,nn,n1n1, ,, U收敛2008U由性质收敛 ？，，,,nnn,1n,1 3(下列级数中一定收敛的是…( A ) nn,, 124,(2)二重积分是一个确定常数 A( B( ,,n24n,4n,10n10, 故有(fxyAx,y),，fxydxdyA(,),,,n,D111n,,，，，……C( D( 2,,,1x1，n23n,,10,n()()xyAddxxyAdy，,，,(3)A, ,,,,,011Dn,0解: ，取 U,n,2n22122yn,n4xx, ,，xdxAydx,00,,,,1U2nDlim1,，且收敛，由比较法,253n,,nV11n,10xxA1ndxA，,，,移项 ,,,00123123收敛 ,211n,4n10,fxydxdy,,得 A, 故 ，，,,4(下列级数条件收敛的是……( C ) 88D 108 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 109