第五节参数方程求导法
高等数学
参数方程求导
法
第五节 参数方程求导法
设参数方程为
x,x(t),, ,y,y(t).,
确定,则 y,y(x)
dy
,dyy(t)dt . ,,dx,dxx(t)
dt
,,,,,,,y(t)x(t),y(t)x(t)dy(t)()22,,,dyddydy(t)dtx(t)[x(t)],(),(),, . 2dx,,dxdxdxx(t)x(t)dx
dt即
2,,,,,,dyyx,yx ,. 23,dx(x)
22,x,t,2t,dydy, 例1 设求. ,2yt,ln(1,).dxdx,
1dydy1dt1,t 解 . ,,,2dxdx2t,22(1,t)dt
,1ddy()23dyddy1(1,t)dtdx,(),,,, . 24dxdxdx2(1,t)dx2(1,t)
dt
2,x,f(t),,dy 例2 设其中为二阶可导,求. f(t),2,y,tf(t),f(t).dx,
dxdydy,,,,,f(t),,tf(t),,t 解 则. dxdtdt
ddy()2dy1dtdx,,. 2dx,,ft()dx
dt
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高等数学教案 参数方程求导
法
t,x,a(lntan,cost),, 例3 证明曲线上任一点的切线与轴的交x(a,0,0,t,,)2,
,y,asint,
点至切点的距离为常数.
,y(t),dyy(t)0 证明 设切点坐标为,对应的参数为.由,得,所以切k,(x,y)t,000切,,x(t)dxx(t)0线方程为
,y,y(t)y(t)00 . ,,x,x(t)x(t)00
切线与轴的交点为 x
,,x(t)y(t),x(t)y(t)*0000 . x,,x(t),acost00,y(t)0
所以
2*2222222 . d,(x(t),x),[y(t)],acost,asint,a0000
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