台湾高中数学教材B1Ch2

TCFSH_2014_19 數學第一冊第二章 多項式函數 ∀x∈ℝ , a x2+ b x+ c> 0⇔{a> 0b2−4 a c< 0 f (x , y)=0⇒ f (x−h , y−k )=0 f (x)=g (x)⋅q(x)+ r (x) , deg (r )< deg (g ) f (x)÷(a x+ b)⋯r ⇔ r= f (−b a ) ℤ[ x ] ,( p x+ q)∣(an x n+⋯+ a0)⇒ p∣an∧q∣a0 i=√−1 ℝ[ x ] , f (a)⋅ f (b)< 0⇒∃c∈(a ,b) ,∍ f (c)=0 座號： 姓名： http://cplee8tcfsh.blogspot.com/ cplee8tcfsh-1-2-1/25 f f (A) BA 2-1 簡單多項式函數及其圖形 常數 constant、變數 variable、函數 function 一、函數： 設 x 與 y 為兩個變數， 若 y 的值隨 x 所取的值依某一種對應法則而唯一確定時， 則稱 y 是 x 的函數，記作 y= f (x ) 。 定義域、對應域、值域： f : A→B 中， 集合 A 稱為函數 f 的定義域 ，(自變數) 集合 B 稱為函數 f 的對應域 ，(應變數) 所有函數值所成的集合為 f 的值域 (有被對應到的應變數)， f (A) 。 其中 f (A)⊂B 例： A= {−1,0,1,2} , B={0,1,4,9} , f (−1)=1, f (0)=0 , f (1)=1, f (2)=4 , f (A)={0,1,4} 謎之彬音：應變數可以沒用完，但自變數規定必須用完。 謎之彬音：自變數的集合稱為定義域，若未指定，預設為有意義的變數範圍。 例： f 1(x)=x 2 的定義域 ℝ ， f 2(x )=√ x 的定義域 ℝ+∪{0} 。 函數的圖形： 若 f : A→B 為一函數，將所有點(x， f(x))，xA， 描繪於平面坐標系中，所形成的圖形稱為函數 f 的圖形。 函數圖形的特徵：經過函數 y=f(x)定義域 中的任一點 x， 作垂直於 x 軸的直線 L，則 L 與函數圖形恰交於一點(x， f(x)) 單調性：遞增或遞減 遞增函數： 函數圖形如果由左至右逐漸升高，則稱此函數為遞增函數； 若 a>b，則 f (a )≥ f (b) (若無等號稱絕對 遞增) 遞減函數： 函數圖形如果由左至右逐漸下降，則稱此函數為遞減函數； 若 a>b，則 f (a )≤ f (b) (若無等號稱絕對 遞減) 謎之彬音：上坡完準備下坡。[山頂] 謎之彬音：下坡完準備上坡。[山谷] 偶函數：若函數 f 滿足 f (−x)= f ( x) ，則稱 f 為偶函數。 函數圖形左右對稱於 y 軸。 例： f (x )=x2 奇函數：若函數 f 滿足 f (−x)=− f (x ) ，則稱 f 為奇函數。 函數圖形對稱於原點。 例： f (x )=x3 謎之彬音一：有沒有函數圖形對稱於 x 軸？[N] 謎之彬音二：不是奇函數就是偶函數？ [N] Ex1. f (x )=a x8−b x6+ c x4+ d x−√17 ， 若 f (5)− f (−5)=−30 ，求 f (7)− f (−7) 值。[ −42 ] cplee8tcfsh-1-2-2/25 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -1 0 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 0 m=2 m=-3 m=-2 m=-1 m=3 m=1 二、一次函數(線性) y= f (x )=m x+ c ， m ,c∈ℝ ，稱為一次函數，圖形是一直線。 m 的意義： 若自變數 x 每增加 1，應變數 y 增加 m，稱為 y 對 x 的變化率。 例：y 表示位移，x 表示時間，變化率就是速度。 在幾何上，m 稱為斜率，用來描述陡峭程度。 (1)直線 y=a x+ b 的斜率為 m=a (2)直線 a x+ b y+ c=0 的斜率為 m= −a b (3)直線若過兩點 P (x1 , y1) ,Q (x2 , y2) ，斜率為 m= y2− y1 x2−x1 謎之彬音：水平線斜率 (m=0) ，鉛垂線斜率不存在 c 的意義： 直線 y= f (x )=m x+ c 與 y 軸相交於 (0, c) ，c 稱為 y 截距。 謎之彬音：那 x 截距？ 直線 y= f (x )=m( x−d ) 與 x 軸相交於 (d ,0) ，d 稱為 x 截距。 謎之彬音：截距是坐標，可正可負可零。 Ex2.水的沸點 (x , y )=(100, 212) ，凝固點 (x , y )=(0,32) ，以此來制定溫度的刻度 (Celsius,Fahrenheit)。若 y= f (x ) 為一線性函數，求 f (x ) 。[ y= 9 5 x+ 32 ] Ex3.函數 f (x )=√5 x−√7 ，求 f (2011)− f (100) 2011−100 。[ √5 ] Ex4.某次測驗，成績最低者 20 分，最高者 90 分。請您設計一線性函數使原來 40 分 為 60 分，原來 90 分為 100 分。則依函數調整後最低分為？ [44] cplee8tcfsh-1-2-3/25 三、二次函數 y= f (x )=a x2+ b x+ c ，其中 a , b , c∈ℝ , a≠0 ， 稱為二次函數，圖形為拋物線 若二次函數圖形與 x 軸相交於 (α ,0) 與 (β ,0) 則 y= f (x )=a (x−α)(x−β) 二次函數的最大值或最小值 y= f (x )=a x2+ b x+ c=a ( x−h)2+ k 頂點： (h ,k )=( b−2a ,b 2−4 a c −4a ) 對稱軸： x=−b2a 謎之彬音：配方法王道 判別式： Δ=b2−4 ac ，函數圖形與 x 軸的交點數，方程式實根個數。 謎之彬音：二次函數的極值可能位置：頂點、端點。 以開口向上為例， 不綁自變數範圍 ⇒ 極小值在頂點，無極大值。 綁自變數範圍(頂點在範圍內) ⇒ 極小值在頂點，極大值在[遠]端點。 綁自變數範圍(頂點在範圍外) ⇒ 極小值在[近]端點，極大值在[遠]端點。 Ex5.已知 y=f(x)為二次函數 (1)若其圖形以(2,3)為頂點，且過點(3,1)，求 f(x)。[ −2(x−2)2+ 3 ] (2)過點(–1,1),(–2,11),(2,–5)，求 f(x)。[ 2 x2−4 x−5 ] (3)通點(0,11),(3,5)，且對稱軸為 x=2，求 f(x)。[ 2( x−2)2+ 3 ] Ex6.設 f(x)x2–3x–1，若 −2≤x≤2 ，則 f(x)的最大值與最小值為何[ 9 , 13 −4 ] Ex7.作函數 f (x )=∣x2−3 x∣−x+ 1 的圖形。[略] Ex8.彬哥站在離地面 35 公尺高處，垂直往上拋擲一球，經 t 秒後，球距地面的距離 為 h 公尺，已知 h= f (t)=−5 t 2+ 30 t+ 35 ，則(1)幾秒後，球達最高點，最高點距地 面距離(2)幾秒後，球落地。[3 秒時最高 80 公尺，7 秒落地] Ex9.設 x、yR，若 x2+ 2 y2=1 ， 2 x+ 3 y2 求之最大值與最小值[ 13 6 ,−2 ] cplee8tcfsh-1-2-4/25 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 -0 .5 -1 -1 .5 -2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 f3 f2 f1 f 3 x  = 3x2 f 2 x  = 2x2 f 1 x  = x2 二次函數圖形與係數關係： 凹口向上 (a> 0) ： 頂點右邊為遞增，左邊為遞減。 凹口向下 (a< 0) ： 頂點右邊為遞減，左邊為遞增。 圖形頂點所在半平面： 右：ab 異號 左：ab 同號 圖形交 y 軸之上下： 上：c 正 下：c 負 中：c=0 圖形與 x 軸之交點個數： 二：△正 一：△零 零：△負 謎之彬音：領導係數越多，圖形會如何變化？爬得越快，夾得越緊，開口越小。 謎之彬音： a= f ' ' (0) y 截點處的凹口。 b= f ' (0) y 截點處的斜率。 c= f (0) y 截點處的 y 值。 Ex10.已知二次函數 y=ax2+bx+c 的圖形如右 判別正負：a ,b ,c ,a+b+c,a–b+c,b2–4ac, f (2)− f (3) [負正正正負正負] 正定性： 二次函數值恆正： ∀x∈ℝ , f ( x)> 0 ⇔ a> 0 ,Δ< 0 二次函數值恆非負： ∀x∈ℝ , f ( x)≥0 ⇔ a> 0 ,Δ≤0 二次函數值恆負： ∀x∈ℝ , f ( x)< 0 ⇔ a< 0 ,Δ< 0 二次函數值恆非正： ∀x∈ℝ , f ( x)≤0 ⇔ a< 0 ,Δ≤0 Ex11. ∀x∈ℝ ， −3< x2+ a x−2 x2−x+ 1 < 2 恆成立，求實數 a 的範圍。[ −1< a< 2 ] Ex12.二次函數 f(x)=ax2+5x+a 之圖形均在 y=x–3 的下方，求 a 的範圍。[ a<−4 ] cplee8tcfsh-1-2-5/25 Q 2 .2 2 1 .8 1 .6 1 .4 1 .2 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 -1 .2 -3 -2 .5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0 .5 1 1 .5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 32 1 q x  = x4 h x  = x3 g x  = x2 f x  = x 四、單項函數 y= f 1(x )=x y= f 2(x )=x 2 y= f 3(x )=x 3 y= f 4( x)= x 4 圖形性質： 原點附近：次方越高越貼近 x 軸 奇次：奇函數(對稱於原點) 偶次：偶函數(對稱於 y 軸) 若領導係數正 奇次：恆遞增 偶次：左減右增，有極小值 若領導係數負 奇次：恆遞減 偶次：左增右減，有極大值 函數圖形的平移： f (x , y )=0⇒ f ( x−h , y−k )=0 將函數 f (x , y )=0 的圖形，左右平移 h，上下平移 k，得到 f (x−h , y−k )=0 的圖形。 謎之彬音：h 正右負左，k 正上負下 謎之彬音：將 x 的位置 x-h 以取代，將 y 的位置 y-k 以取代。 謎之彬音：所有二次函數 y=a x2+ b x+ c 均可由 y=a x2 平移而得? [Y] 謎之彬音：所有三次函數 y=a x3+ b x2+ c x+ d 均可由 y=a x3 平移而得? [N] Ex13.將函數 y=x3 圖形向右平移 4，向上平移 5，求新函數。[ ( y−5)=( x−4)3 ] Ex14.設二次函數 y=x2−2 x 的圖形沿 x 軸方向移動 h 個單位長，沿 y 軸方向移動 k 個單位長後，與 y=x2+ 3 x+ 2 的圖形重合，求 h、k 之值。[ −5 2 , 3 4 ] Ex15.彬哥某好友的 FB狀態： 生活已經規律到，每天會在同一個時間搭捷運，上同一個車廂 裡面會走出同一個 OL 小姐，臉上會有著同一個表情。 "今天是星期一"的表情。 Ex16. f (x )=a x+ b ,(a≠0) ， 1< f (1)< 7 ， 2< f (2)< 5 ，則 f (5) 範圍。 [ −13< f (5)< 17 ] Ex17.設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t)=−t 2+ 10 t+ 11 ，其中 1≤t≤10 ， 求這段時間內該地區的最大溫差。[25] Ex18.已知二次函數 y=f(x)= a bxax 12  在 x=3 時有最大值 8，求(a,b)。[(-1,6)] cplee8tcfsh-1-2-6/25 Ex19. a , b , c∈ℝ ，且二次函數 y=a x2+ b x+ c 滿足 f (−1)=−3 ， f (3)=−1 ， b2−4 a c< 0 ，則(A) a< 0 (B) c< 0 (C) f (0)< f (1) (D) f (4)< f (5) (E) f (−3)< f (−2) 。[ABCE] Ex20. a ,b ,c∈ℝ ，若二次函數 y=a x2+ b x+ c 的圖形通過(0,－1)且與 x 軸相切， 則下列選項何者恆為真？(A) a< 0 (B) b> 0 (C) c=−1 (D) b2−4a c=0 (E) a+ b+ c≤0 。[ACDE] Ex21.設    10 8 2 3 1 2 )()()( nn nxnxxf 。若 f(x)在 xa 處有最小值，求 a。[5.5] Ex22.拋物線 y=a x2+ b x+ c ，若 a＜0，b＞0，c＜0，則： (1)頂點在第幾象限(2)拋物線必不通過第幾象限。[一四，二] Ex23.下列拋物線 Γ1： y= 1 3 x2+ 1 ，Γ 2： y= 1 2 x2−2 ，Γ3： y=−2 x2+ 1 ， Γ4： y=−3 x2+ x 開口最小的是？開口最大的是？ [Γ4，Γ 1] Ex24.若二次函數 y＝ax2＋bx 在 x＝1 時有最小值 −1 a ，則 3a+ b 之值為？[1] Ex25.設拋物線 Γ 的方程式為 y=2 x2−1 ，將 Γ 向左平移 2 單位後得 Γ 1，再將 Γ1 關 於 y 軸對稱，得 Γ2，求 Γ 1，Γ2 的方程式。[ 1)2(2 2  xy ， 1)2(2 2  xy ] Ex26.若 1≤x≤2 時， 4+ x− x2> a x 成立，求 a 之範圍。[a<1] Ex27.坐標平面上有一個運動質點，當時間為 t 時，它的位置(x，y)在 (3 t , 2 t−t 2) ， 則此質點運動軌跡的方程式為？[ y= −1 9 x2+ 2 3 x ] Ex28. ∀x∈ℝ ， (a2−1) x2+ (a−1)x+ 1> 0 恆成立，求 a 範圍。[ a< −5 3 ∨a≥1 ] Ex29. ∀x∈ℝ ，不等式 2 x2+ 2 k x+ k 4 x2+ 6 x+ 3 < 1 均成立，求實數 k 範圍。[ 1< k< 3 ] Ex30. a , b∈ℝ ，若 x2+ (a−b) x+ (a b−1)=0 對任何實數 a恆有實根，求 b 範圍。 [ −1 √2 ≤b≤ 1 √2 ] cplee8tcfsh-1-2-7/25 2-2 多項式的運算與應用 一、多項式(polynomial)函數 f (x )=an x n+ an−1 x n−1+⋯+ a1 x+ a0 ， ak∈ℝ 謎之彬音一：自變數的次方均為非負 整數 。 謎之彬音二：高中數學若無特別註明，預設實係數 多項式 ℝ[ x ] 。 1.次數：若 an≠0 ，則 deg ( f )=n (最高次方項的係數稱領導係數) 謎之彬音：次方由高至低排序稱為降冪，次方由低至高排序稱為升冪。 2.零多項式 vs .零次多項式 ...0000 321  xxx ，因此 0 不定義次方。 零多項式函數 f (x)=0 圖形為 x 軸。 零次多項式函數：例 f (x )=5 圖形為一水平直線。 3.係數： (1)常數項 a0= f (0) (2)各項係數總和 a0+ a1+ a2+⋯= f (1) (3)偶次項係數和 a0+ a2+ a4+⋯= f (1)+ f (−1) 2 (4)奇次項係數和 a1+ a3+ a5+⋯= f (1)− f (−1) 2 謎之彬音一： a0+ a3+ a6+⋯=? a1a4a7⋯=? a2a5a8⋯=? 謎之彬音二： a0+ a4+ a8+⋯=? Ex31.下列何者為 x 的多項式？(A) x2+ √2 x+ 1y (B) x 2+ √x+ 2 (C) x2 y+ x y + √ y+ √3 (D) x2+∣x∣+ 1 (E) 1x+ 1+ 2 x+ 1 。[AC] Ex32.設 f (x )=( x+ 2 x2+ 3 x3+⋯+ 8 x8+ 9 x9)⋅(9 x+ 8 x2+ 7 x3+⋯+ 2 x8+ x9) ，求 f (x ) 之展開式中(1) x10 項係數(2)各項係數和(3)偶次項係數和(4)奇次項係數和。 [285,2025,1025,1000] Ex33.求 (x+ 1)(x+ 2)( x+ 3)⋯( x+ 10) 展開式 x9 , x8 及常數項係數[55,1320,10!] 多項式的相等： 1.定義：設 f(x)與 g(x)為兩個非零多項式， f (x )=g ( x) ⇔ 次數相同，且對應項係數相等。 (一模一樣) 2.設 f (x )=an x n+ an−1 x n−1+⋯+ a1 x+ a0 ， 若至少有 n+1 個相異實數，使得 f(x)=0，則 f(x)恆等於 0，記作 f (x )≡0 3.設 f (x )=an x n+ an−1 x n−1+⋯+ a1 x+ a0 ， g ( x)=bn x n+ bn−1 x n−1+⋯+ b1 x+ b0 ， 若至少有 n+1 個相異實數，使得 f (x )=g ( x) ，記作 f (x )≡g ( x) 。(恆相等) 證明：參見因式定理。 Ex34.設 f (x )=x2+ x+ 2 ， g ( x)=a( x−1)( x−2)+ b (x−2)( x−3)+ c (x−3)( x−1) ， 若 f x ≡g  x ，求 a、b、c 之值[7,2,-8] Ex35.設 f (x )= (x−b)( x−c) (a−b)(a−c) + ( x−a)( x−c) (b−a)(b−c) + ( x−a)( x−b) (c−a)(c−b) ，a ,b ,c 為互異實數， 求 f (√2)+ f (22226081)+ f (2011) 之值。[3] cplee8tcfsh-1-2-8/25 多項式的四則運算： 加、減、乘：直接上 謎之彬音：分離係數時缺項記得補零。 多項式的除法： (1)長除法(直式) (2)綜合除法(改良) Ex36. 4 3 2( ) 3 4 5 6 7f x x x x x= + - + + ， ( ) 2g x x= + ，求 ( )f x 除以 ( )g x 之商式與餘式﹖ [ 3 23 2 8x x x- - + ， −9 ] Ex37. 3 2( ) 16 12 8 8f x x x x= + + + ， ( ) 2 1g x x= + ，求 ( )f x 除以 ( )g x 之商式與餘式﹖ [ 28 2 3x x+ + ，5] Ex38. 6( ) 1f x x= + ， 2( ) 1g x x x= - - ，求 ( )f x 除以 ( )g x 之商式與餘式﹖ [ 4 3 22 3 5x x x x+ + + + ， 8 6x + ] 1.除法原理： 設 f(x)、g(x)均為多項式，且 g ( x)≠0 ， 則恰有二多項式 q(x)及 r(x)滿足 f (x )=g ( x)⋅q (x )+ r (x ) ， 即：被除式=除式 × 商式 + 餘式 其中 r (x)=0 或 deg r (x )< deg g (x) (規定！) 2. f ( x)=(a x−b )⋅q (x)+ r=(x−ba )⋅[a⋅q( x)]+ r Ex39.若多項式 x3+ 4 x2+ 5 x−3 除以 f (x ) 的商式為 x+ 2 、餘式為 2 x−1 ， 則 f (x ) ＝? [ 122  xx ] Ex40.設 f(x)為一多項式。若 (x+ 1)⋅ f ( x) 除以 x2+ x+ 1 得餘式為 5 x+ 3 ，則 f (x ) 除以 x2+ x+ 1 得餘式為何?[ 2 x+ 5 ] Ex41. f (x )÷(a x+ b) ( a≠0 )所得之商為 q (x) ，餘式為 r，求下列之商及餘? (1)以 x+ b a 除 f (x ) (2)以 x+ b 除 f ( x a ) (3)以 a x+ b 除 x⋅f (x ) [ a⋅q (x ) ,r； q ( xa ) ,r； x⋅q (x )+ ra , b r −a ] 餘式定理： 設 f (x ) 為一多項式，則 f (x ) 除以 (x−k ) 的餘式為 f (k ) 。 設 f (x ) 為一多項式，則 f (x ) 除以 (a x+ b) 的餘式為 f  −b a  。 謎之彬音 1：令除式為零，消去商式，得到餘式。 謎之彬音 2：用除式之根，降次(代入)得餘式。 謎之彬音 3：請記得 deg r (x )< deg g (x) cplee8tcfsh-1-2-9/25 Ex42.設 f (x )=357 x5−699 x4−35 x3+ 9 x2+ 37 x+ 15 ，試求 f (2) 的值？[85] HINT：直接上、剝洋蔥、綜合除 Ex43.求 2( 3+ √174 ) 4 + (3+ √174 ) 3 −(3+ √174 ) 2 −11(3+ √174 ) 值。[3] Ex44.多項式 f (x ) 以 x−1 除之餘式為 2，以 x+ 2 除之餘式為 −4 ，則 f (x ) 以 x2+ x−2 除之餘式為何?[2x] Ex45.設多項式 f (x ) 除以 x2−5 x+ 4 ，餘式為 x+ 2 ；除以 x2−5 x+ 6 ，餘式 為 3 x+ 4 。則多項式 f (x ) 除以 x2−4 x+ 3 之餘式為何?[ 5 x−2 ] Ex46.多項式 f (x )=x12+ x9−3 x6+ 4 x2−5 ，求 f (x ) 除以下列各式之餘式： (1) x2−1 (2) x3+ 1 (3) x5−1 。[ x−3 ， 4 x2−8 ， x4+ 5 x2−3 x−5 ] 三、因式定理：(因式之根代入得 0) 設 f (x ) 為一多項式，若 (a x+ b) 為 f (x ) 之因式，則 f ( −b a )=0 。 Ex47. f (x )=an x n+ an−1 x n−1+⋯+ a1 x+ a0 ， g ( x)=bn x n+ bn−1 x n−1+⋯+ b1 x+ b0 ， 若至少有 n+1 個相異實數，使得 f (x )=g ( x) ，試證： f ( x)≡g (x ) 。 證明：令 h( x)= f ( x)−g (x)=k ( x−c1)(x−c2)(x−cn)⋯( x−cn+ 1) deg h(x)≤n ⇒ k=0 ⇒ f (x )≡g ( x) Ex48.三次多項式 f (x ) ，已知 f (1)= f (2)= f (3)=4, f (−1)=−44 ，求 f (x ) 。 [ 2( x−1)( x−2)(x−3)+ 4 ] 若 f (x )÷( x−h) 的餘數 k，則 f (h)=k ，即函數 y= f (x ) 圖形通過 (h ,k ) 。 以下三題為不同敘述的同一個題目。 例 1：若 f (x )÷( x−1)⋯1 且 f (x )÷( x−2)⋯3 ，求 f (x )÷( x−1)( x−2) 之餘。[ 2 x−1 ] f ( x)=(x−1)(x−2)⋅Q (x)+ R(x )=(x−1)(x−2)⋅Q( x)+ (2 x−1) 例 2：滿足 R(1)=1 且 R(2)=3 的最低次多項式 R( x) 。[ R( x)=2 x−1 ] 例 3：求過點 P1(1,1) ,P2(2,3) 的最低次多項式。[ y=R(x )=2 x−1 ] 謎之彬音：(由例 1)餘式次方必低於除式次方，知二點決定直線(一次方)。廢言！ 插值多項式的次方判定： 給定 n+ 1 個點 P1(x1 , y1) , P2( x2 , y2) ,⋯ , Pn+ 1( xn+ 1 , yn+ 1) ，其中所有 x 坐標互異， 需要造幾次方的多項式函數來通過所有的點？ 答：低於 n+ 1 次。 即：存在 R( x)=a n x n+ an−1 x n−1+⋯+ a1 x+ a0 通過所有 n+ 1 個點，其中 deg f (x )< n+ 1 。 謎之彬音： n+ 1 個點 ⇒ n+ 1 個條件 ⇒ n+ 1 個係數 ⇒ n 次(或更低)多項式。 謎之彬音：[次方更低]？若領導係數為零，則降次！ 例：給定 P1(4,5) , P2(6,7) , P3(8,9) 三點決定的 y=a2 x 2+ a1 x+ a0 ， 會解出 y=0 x2+ 1 x+ 1 ，由二次方(拋物線)退化為一次方(直線)。 cplee8tcfsh-1-2-10/25 存在 性：拉格朗日即為存在之例。 唯一 性：若存在 R1( x) , R2(x ) 均過此 n+ 1 個點， 由因式定理， n+ 1 個相異根滿足 g (x )=R1(x )−R2( x)=0 ⇒ R1( x)≡R2(x) 。 謎之彬音：存在性 告訴我們必有解。 謎之彬音：唯一性 告訴我們用不同方解出來的都是同一個答案。 謎之彬音：若不限定次方最低，則存在無限多 個多項式通過此 n+ 1 個點。 若 R( x) 為低於 n+ 1 次的多項式函數且通過所有 n+ 1 個點， 則 f (x )=(x−x1)( x−x2)⋯(x−xn+ 1)⋅Q( x)+ R( x) 亦通過所有 n+ 1 個點。 例：通過二點 P1(1,1) ,P2(2,3) 的最低次多項式為 y=R(x )=2 x−1 (唯一)， 若不限定次方， f (x )=(x−1)(x−2)⋅(x2011+ 365)+ (2 x−1) 亦滿足條件。 常見的插值法： 例：三次多項函數 f (x ) 滿足 f (−2)=39 , f (−1)=43 , f (2)=−17 , f (3)=−21 ，求 f (1) 。 插值法第一式： 令 f (x )=a x3+ b x2+ c x+ d { f (−2)=−8a+ 4b−2c+ d=39f (−1)=−a+ b−c+ d=43f (2)=8a+ 4b+ 2c+ d=−17f (3)=27 a+ 9b+ 3c+ d=−21 ⇒{7 a−3 b+ c=43 a+ b+ c=−2019 a+ 5 b+ c=−4 ⇒{a−b=64a+ b=4 ⇒{ a=2 b=−4 c=−22 d=27 f (x )=2 x3−4 x2−22 x+ 27 ⇒ f (1)=2−4−22+ 27=3 謎之彬音：真男人！ 插值法第二式： 令 f (x )=a (x+ 2)(x+ 1)(x−2)+ b( x+ 2)( x+ 1)+ c (x+ 2)+ d { f (−2)=d=39f (−1)=c+ d=43f (2)=12b+ 4c+ d=−17f (3)=20 a+ 20b+ 5c+ d=−21 ⇒{ a=2 b=−6 c=4 d=39 f (x )=2( x+ 2)( x+ 1)( x−2)−6 (x+ 2)( x+ 1)+ 4 (x+ 2)+ 39 ⇒ f (1)=−12−36+ 12+ 39=3 謎之彬音：牛頓！ 謎之彬音：除法原理迭代 設 f (x )÷( x+ 2)⋯d 即 f (x )=( x+ 2)⋅Q1( x)+ d ， deg Q1( x)=2 設 Q1(x )÷( x+ 1)⋯c 即 Q1(x )=( x+ 1)⋅Q2(x )+ c ， deg Q 2( x)=1 。 設 Q2( x)÷(x−2)⋯b 即 Q2( x)=(x−2)⋅Q3(x)+ b ， deg Q3( x)=0 ，令 Q3(x )=a f (x )=( x+ 2)⋅Q1( x)+ d =(x+ 2)[( x+ 1)⋅Q2( x)+ c]+ d =(x+ 2)( x+ 1)⋅Q2(x )+ c( x+ 2)+ d =(x+ 2)( x+ 1)⋅[( x−2)⋅Q3( x)+ b ]+ c( x+ 2)+ d =(x+ 2)( x+ 1)⋅[( x−2)⋅a+ b]+ c( x+ 2)+ d =a ( x+ 2)(x+ 1)( x−2)+ b (x+ 2)( x+ 1)+ c (x+ 2)+ d Ex49.多項式 f (x ) ，若以 (x−b)( x−c) , (x−a)(x−c) , (x−a)(x−b) 除 f (x ) ， 分別得餘式為 7 x−8 、 5 x−2 、 3 x ，求(1)序組(a ,b ,c)=?(2) f (x ) 以 (x−a)(x−b)( x−c) 除之餘式為何?[(1,2,3)， 2( x−1)( x−2)+ 3 x ] Ex50.設 f (x ) 為三次以上多項式，若以 x−1 除 f (x ) 得餘式為 8，以 x2+ x+ 1 除 f (x ) 得餘式為 7 x+ 16 ，則以 x3−1 除 f (x ) 所得餘式為何?[ −5( x2+ x+ 1)+ 7 x+ 16 ] cplee8tcfsh-1-2-11/25 插值法第三式： 令 f (x )={ a ( x+ 1)(x−2)( x−3)+ b(x+ 2) ( x−2)(x−3)+ c( x+ 2)( x+ 1) (x−3)+ d (x+ 2)(x+ 1)(x−2) ⇒ { f (−2)=(−2+ 1)(−2−2)(−2−3)a+ 0b+ 0c+ 0 df (−1)=0 a+ (−1+ 2)(−1−2)(−1−3)b+ 0 c+ 0df (+ 2)=0a+ 0b+ (2+ 2)(2+ 1)(2−3)c+ 0 df (+ 3)=0a+ 0b+ 0 c+ (3+ 2)(3+ 1)(3−2)d =−20 a=39 =+ 12b=43 =−12c=−17 =+ 20 d=−21 ⇒ { a=−39 20 b=43 12 c=17 12 d=−21 20 ⇒ f (x )={ − 39 20 (x+ 1)(x−2)( x−3) + 43 12 (x+ 2) ( x−2)( x−3) + 17 12 (x+ 2)( x+ 1) ( x−3) − 21 20 (x+ 2)(x+ 1)(x−2) ⇒ f (1)=3 謎之彬音：零多才是王道！ 謎之彬音：待定係數，拉格朗日前身。何不直接寫係數？ a= f (−2) (−2+ 1)(−2−2)(−2−3) . . . 插值法第四式： f (x)={ f (−2) ⋅ x+ 1 (−2)+ 1 ⋅ x−2 (−2)−2 ⋅ x−3 (−2)−3 + f (−1)⋅ x+ 2 (−1)+ 2 ⋅ x−2 (−1)−2 ⋅ x−3 (−1)−3 + f ( 2) ⋅ x+ 2 (2)+ 2 ⋅ x+ 1 (2)+ 1 ⋅ x−3 (2)−3 + f ( 3) ⋅ x+ 2 (3)+ 2 ⋅ x+ 1 (3)+ 1 ⋅ x−2 (3)−2 ⇒ f (1)=3 謎之彬音：拉格朗日(Lagrange)！ 謎之彬音：規律？ 謎之彬音：零壹得天下！(壹：分工合作各司其職)，(零：不在其位不謀其政)。 謎之彬音：( ℝ )拉格朗日 vs.剩餘定理( ℤ )。 Ex51.過(11,3),(12,5),(13,8)的最低次多項式 f (x ) ，求 f (11.5) 。[ 31 8 ] Ex52.二次函數 f (x ) ，滿足 f (1)=3, f (2)=2, f (5)=11 求 f (3) 。[3] 插值法番外篇：階差！ 若插值的自變數為等差數列 時，可用階差解之。 例：二次函數 f (x ) 滿足 f (1)=3, f (2)=2 , f (3)=7 ，求 f (4) 。 法一： 1× f (1)−3× f (2)+ 3× f (3)−1× f (4)=0 得 f (4)=18 法二： 3，2，7，18 -1，5，11 6，6 cplee8tcfsh-1-2-12/25 例：三次函數 f (x ) 滿足 f (2010)=3, f (2020)=2 , f (2030)=7 , f (2040)=5 ，求 f (2050) 。 法一： 1× f (2010)−4× f (2020)+ 6× f (2030)−4× f (2040)+ 1× f (2050)=0 得 f (2050)=−17 法二： 3 ， 2 ， 7 ， 5 ， -17 -1 ， 5 ， -2 ， -22 6 ， -7 ， -20 -13，-13 謎之彬音： deg ( f (x+ k )− f ( x))=deg ( f ( x))−1 A ， B ， C ， D ， E B-A ， C-B ， D-C ， E-D A-2B+C ， B-2C+D ， C-2D+E A-3B+3C-D，B-3C+3D-E A-4B+6C-4D+E 插值法番外篇：泰勒！ 連續使用綜合除法，轉換 f (x )=∑ k=0 n ak x k=∑ k=0 n bk (x−c) k ，常用來求近似值。 例： f (x )=2 x3−4 x2−22 x+ 27=a (x−1)3+ b (x−1)2+ c (x−1)+ d ，求 f (0.999) 的近似值。 ⇒ f (x )=2( x−1)3+ 2( x−1)2−24( x−1)+ 3 ⇒ f (0.999)≈3.024 補充：上式中， bk= f (k )(c) k ! 。(若微分的連鎖律不熟悉，建議先少用微分) Ex53.設 f (x )=3 x4+ 4 x3−5 x2+ 6 x+ 7 ， (1)若 f (x )=a (x+ 2)4+ b (x+ 2)3+ c (x+ 2)2+ d (x+ 2)+ e ，求 a、b、c、d、e 之值。 (2)求 f (−1.998) 之近似值至三位小數 (3)求 a−b+ c−d+ e 。[3,-20,43,-22,-9；-9.044；79] Ex54.設 f ( x)=27 x3+ 54 x2+ 30 x+ 1=a(3 x+ 2)3+ b(3 x+ 2)2+ c (3 x+ 2)+ d 求 a、b、c、d 之值。[1,0,-2,-3] Ex55.最近記者都很關心豬哥亮父女何時可以團聚，所以媒體記者只要一看到豬哥 亮現身，一定圍上去問一個問題「請問你有沒有找謝金燕」，只見豬哥亮一臉茫然， 不好意思的說了一句「你們怎麼一直問我這個問題！」。 Ex56. f (x )=(a−2) x3+ (b−c+ 1) x2+ (2 c−1) x+ d + 2 ， 若 f (√3)= f (π)= f (2011)= f (100)=6 ，求 a ,b ,c ,d 之值[ 2 ,−12 , 1 2 , 4 ] Ex57.設 f (x )=(a+ 3)x3+ (b−2) x2+ (3c+ 4) x+ d ，若 f (1)=1, f (2)=2, f (3)=3, f (4)=4 ，求 a、b、c、d 的值。[-3,2,-1,0] Ex58.設 f (x )=x4−2 x3+ 3 x2−5 x+ 1 ， g ( x)=x17+ 5 x8−7 x5+ x3−4 x+ 1 ，求： (1) f (x )⋅g (x ) 的各項係數和。 (2) f (x )+ 2⋅g ( x) 的偶次項係數和與奇次項係數和。[6,17,-25] cplee8tcfsh-1-2-13/25 Ex59.設 f (x ) 為 x 的多項式，若 f (x+ 1)− f ( x)=2 x 且 f (0)=2 ，求 f (x ) 。 [ x2−x+ 2 ] HINT : k≠0 ，多項式 f (x ) ， deg ( f (x+ k )− f ( x))=n⇔deg ( f (x ))=n+ 1 Ex60. a≠0 ，設多項式 f (x) 除以 (a x−b) 得商為 q (x) ，餘式為 r，下列何者 為真？(A)以 x− b a 除 f (x ) 之餘式為 a⋅r (B) f (b⋅x) 被 a x−1 除之餘式為 r (C) f (b⋅x) 被 a x−1 除之商為 b⋅q( x) (D) a⋅ f (x ) 被 x− b a 除之餘式為 a⋅r (E) x⋅ f (x ) 被 x− b a 除之餘式為 b⋅r a [BDE] Ex61.設 f (x)=x4+ 4 x3+ 3 x2+ a x+ b 與 g ( x)=x3+ 3x2+ 2 x+ 1 被 (x+ 1)2 除的餘式 相同，則數對(a，b)＝？求 ( f (x )⋅g (x ))÷(x+ 1)2 的餘式？[ (−3,−2) ,−2 x−1 ] Ex62.設 f (x )=2 x3−4 x2−x+ 1 (1) f (x )=a+ b (x−1)+ c( x−1)( x−2)+ d (x−1)(x−2)( x−3) ，求 a+ b+ c+ d 值[9] (2)若 f (x )=α(x−2)3+β(x−2)2+γ(x−2)+δ ，求 α+β+ γ+δ 值[16] (3)以 (x−2)2 除 f (x ) 之餘式為何? [ 7 x−15 ] (4)求 f (1.99) 至小數點後二位。[-1.07] (5)求 f (2+ √5) 值。[ 17√5+ 39 ] Ex63.設 x=3√2+ √3+ 3√2−√3 ，則 x4−2 x3−3 x2+ 2 x+ 4 之值為何?[-4] HINT： x=u+ v ， u3+ v3=4 ， u v=1 ， (u+ v )3=u3+ v3+ 3 uv( u+ v ) ， x3=4+ 3 x Ex64.若四次多項式 f (x) 以 (x−1)3 除之餘式為 3，以 x−2 除之餘式為 6，以 x+ 2 除之餘式為 138，求 f (x) 。[ (x−1)3(2 x−1)+ 3 ] Ex65.若 x= 1 √3+ √8 ，則 x 4+ 4 x3+ 4 x2+ 4 x+ 3 之值為何?[ 4√2 ] Ex66.設 f (x )÷( x−1)2 得餘式 2 x+ 1 ， f (x )÷( x−2)2 得餘式 x+ 3 ，求 : (1)以 (x−1)(x−2) 除 f (x) 之餘式。 (2)以 (x−1)2(x−2) 除 f (x) 之餘式。 (3)以 (x−1)2(x−2)2 除 f (x) 之餘式。[ 2 x+ 1 ,2 x+ 1 ,−(x−1)2(x−2)+ 2 x+ 1 ] Ex67.多項式 f (x )=x32−3 x24+ 3 x14−2 ，求 f (x) 除以下列各式之餘式： (1) x2+ x+ 1 (2) x3−x2+ x−1 (3) x4− x3+ x2− x+ 1 。[ −4 x−9 ,3 x2−4 , x2−2 ] cplee8tcfsh-1-2-14/25 Ex68.設多項式 f (x) 之係數和為 2，若以 x2+ x+ 1 除 f (x) 之商為 q (x) ，餘 式為 2 x+ 5 ；則以 x−1 除 q (x) 之餘式為何?[ −5 3 ] Ex69.設 f (x )=x4+ 3 x2−2 x−1 且 g ( x)= f (2 x−3) ，則以 2 x−1 除 g ( x) 所得之 餘式為？[31] Ex70.求以 (x+ 1)2 除 x12 的餘式。[ −12 x−11 ] Ex71.求 (x2+ 2 x+ 3) 除 (x2+ 3 x+ 4)20 的餘式。[1024] Ex72.以 (x−1)2 除 x100+ 1 的餘式為何?[ 100 x−98 ](硬上 ,二段 ,二項 ,泰勒) Ex73.求 f (x )=x2006−1 除以 x4+ x3+ 2 x2+ x+ 1 的餘式？[ x2−1 ] Ex74.設 (x+ 1)n(x2+ a x+ b)÷(x−1)2 的餘式為 2n(x−1) ，求 a，b 之值？[-1,0] Ex75. f (x )=x10+ 2 x9+ 1 除以 x2+ x−2 的餘式為？[ x+ 3 ] Ex76.三次多項式 f (x) ， f (1)= f (2)=0 ， f (3)=−4 ， f (4)=−6 ，求 f (x) =？[ (x−1)(x−2)( x−5) ] Ex77.已知 f (x )=(23 x3+ 75 x2+ 61 x+ 8)12=( x2+ 3 x+ 2)⋅q( x)+ a x+ b ，試求 (23756108)12 除以 (101×102) 之餘數。[8788] Ex78.若 f (x )=2⋅ (x−√3)(x−√5) (√2−√3)(√2−√5) + 3⋅ ( x−√2)(x−√5) (√3−√2)(√3−√5) + 5⋅ (x−√2)( x−√3) (√5−√2)(√5−√3) ， 求 f (√179) 值。[179] Ex79.若多項式 f (x ) 的次方為 100 次，且 f (1)=1 , f (2)=1 2 , f (3)=1 3 ,⋯, f (101)= 1 101 ，求 f (102) 值。[ 1 51 ] [HINT]：令 g ( x)= x⋅ f ( x)−1 。 Ex80. 2 x3−5 x2+ 6 x+ 3=a( x−1)( x−2)( x−3)+ b( x−1)( x−2)+ c( x−1)+ d ， 求 a ,b ,c ,d 值。[2,7,5,6] Ex81.設 a> b> c> 0 ， a ,b ,c∈ℤ 。若 x−c 為 f (x )=x (x−a)(x−b)−2 的因式， 求 a+ b+ c 值。[6] cplee8tcfsh-1-2-15/25 2-3 多項式方程式 一、複數系( ℂ ) 原先的實數系無法找到 x2+ 1=0 的根，因此需再推廣，使平方能負。 引入虛數單位 i=√−1 ，滿足 i2=−1 。 定義：形如 a+ bi ( a , b∈ℝ )的數稱為複數；其中 i=√−1 。a 稱為實部，b 稱為虛部。 i=√−1 ； i2=−1 ； i3=−i ； i4=1 (四次一循環) 若 b=0 則稱為實數；若 a=0 則稱為純虛數。 複數的四則運算 加法、減法：實部虛部分開獨立運算 乘法：分配律 除法：分母實數化 虛數不在實數數線上，無大小之分。 謎之彬音： a> b⇒a−b> 0 (其逆不真)。 虛數單位 i 不置放於分母 。(分母請實數化 ,仿有理化的方式) 虛數單位 i 不置放於根號 內。(請解平方根 ,見下下例) a∈ℝ ,√a2=∣a∣,√a2=a 注意： a b={−ab ,a0∧b0ab ,otherwise ， ab ={−ab , a0∧b0ab , otherwise Ex82.解 x2+ 2 x+ 2=0 。[ −1±i ] Ex83.求 i 之平方根。[ ± 1i 2 ] Ex84. z∈ℂ ， z2=3−4i ，求 z(求 3−4 i 之平方根)。[ ±2−i  ] Ex85.解方程式 x2－(3＋2 i)x＋5(1＋ i)＝0 的根。[2- i，1+3 i] Ex86. x , y∈ℝ ，且 x+ y+ i=−10+ x⋅y⋅i ，求  x− y2 [-8] i 與 ω 的週期性質 i=√−1 ， {i4=11+ i+ i2+ i3=0 。 ω=−1+ √3i 2 ， {ω 3=1 1+ω+ω2=0 ω2= 1 ω =ω 。 Ex87.(1)求 1+ i+i 2+     +i6 2 之值 (2) ω=−1+ √3 i2 ，求  3132...172 之值。[ i ,ω ] cplee8tcfsh-1-3-16/25 Ex88.若 x 1 x =−1 ，求 x19 1 x19 之值。[ −1 ] 共軛複數： 1.定義：設 z=a+ b i ( a , b∈ℝ )，則 a−b i 稱為 z 的共軛複數，記為 z=a−b i 。 2.性質：(1) 2121 zzzz  (2) 2121 zzzz  (3) z n=zn (4) 2 1 2 1 z z z z  複數的絕對值(補充)： 定義：設 z=a+ b i ( a , b∈ℝ )，規定 z 的絕對值 ∣z∣=a2b2 性質：(1) ∣z∣=∣z∣≥0 (2) ∣z∣2=z⋅z (3) ∣z1⋅z 2∣=∣z 1∣⋅∣z2∣ (4) ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣ (5) ∣zn∣=∣z∣n 謎之彬音： ∣Z∣2≠Z 2 Ex89.設 z= 5−12 i ⋅72 i  2−7 i ⋅34 i  ，則 |Z |＝？[ 13 5 ] 二、實係數一元二次方程式 a x2+ b x+ c=0 ( a ,b , c∈ℝ ， a≠0 ) 1.二根為 x= −b±b 2−4a c 2a ，判別式 Δ=b2−4 ac 。 2.根的性質：兩相異實根( Δ> 0 )，兩相等實根( Δ=0 )，兩共軛虛根( Δ< 0 )。 實係數方程式虛根成對。 Ex90.解方程式 1 x−1 + 1 x−2 = 3 2 。[ 3∨4 3 ] 3.根與係數的關係：設實係數二次方程式 a x2+ b x+ c=0 二根為  ,  ，則 (1) = −b a (2) ⋅= c a 。 以  ,  為二根的一元二次方程式為 x2−(α+β) x+αβ=0 4.正根、負根： D=b2−4a c (1)二正根：        0 0 0   D (2)二負根：        0 0 0   D (3)一正根、一負根： ⋅0 (4)二根均大於 10： {D≥0α−10 β−100α−10⋅ β−100 。謎之彬音：可以用 { D≥0 αβ20 α⋅β100 嗎? Ex91. α ,β 為 x22x+3=0 的二根，求 (1) α2+ β2 (2) α3+ β3 (3) α4+ β4 [-2，-10，-14] Ex92.  ,  為 x2+ 6 x+ 4=0 的二根，求   2 之值？[-10] cplee8tcfsh-1-3-17/25 Ex93.若 =−13 i2 ，求下列各