2016届高考数学5年真题备考题库 第九章 第8节 n次独立重复试验与二项分布 理（含解析）

， 22方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分;未中奖35 则不得分(每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品( (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X?3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大, 解:本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想( 22法一:(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影35 响( 记“这两人的累计得分X?3”的事件为A， 则事件A的对立事件为“X,5”， 22411因为P(X,5),×,，所以P(A),1,P(X,5),， 351515 11即这两人的累计得分X?3的概率为. 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X，都选择方案乙抽奖中奖次数为X，12则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期1 望为E(3X)( 2 22,,,,由已知可得，X,B2，，X,B2，， 12,3,,5, 2424所以E(X),2×,，E(X),2×,， 123355 812从而E(2X),2E(X),，E(3X),3E(X),. 112235 因为E(2X)>E(3X)， 12 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大( 22法二:(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影35响( 记“这两人的累计得分X?3”的事件为A， 则事件A包含有“X,0”，“X,2”，“X,3”三个两两互斥的事件， 221222222,,,,,,,,因为P(X,0),1,×1,,，P(X,2),×1,,，P(X,3),1,×,， 3553553515,,,,,,,, 11所以P(A),P(X,0)，P(X,2)，P(X,3),， 15 11即这两人的累计得分X?3的概率为. 15 (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X，都选择方案乙所获得的累计得1 分为X，则X，X的分布列如下: 212 X 0 2 4 1 144P 999 0 3 6 2X 9124P 252525 1448所以E(X),0×，2×，4×,， 19993 912412E(X),0×，3×，6×,. 22525255 因为E(X)>E(X)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大( 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? 8((2013四川，12分)某算法的程序框图如 图所示，其中输入的变量x在1,2,3，„，24这 24个整数中等可能随机产生( (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输 出y的值为i的概率P(i,1,2,3); i (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理 解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了 输出y的值为i(i,1,2,3)的频数(以下是甲、乙 所作频数统计表的部分数据( 甲的频数统计表(部分) 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 14 6 10 „„„„ 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 12 11 7 „ „ „ „ 2 100 1 051 696 353 当n,2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i,1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大; (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望( 解:本题主要考查算法与程序框图、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识( (1)变量x是在1,2,3，„，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能( 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P11,; 2 1当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P,; 23? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? 1当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P,. 36 11所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率23 1为. 6 (2)当n,2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i,1,2,3)的频率如下: 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 1 027376697甲 2 1002 1002 100 1 051696353乙 2 1002 1002 100 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大( (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. 128003,,,,P(ξ,0),C××,， 3,3,,3,27 1241,,1,,2(ξ,1),C×P×,， 3,3,,3,9 1222,,2,,1P(ξ,2),C××,， 333,,,,9 121330,,,,P(ξ,3),C××,， 3,3,,3,27 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 8421 P 279927 8421所以，Eξ,0×，1×，2×，3×,1. 279927 即ξ的数学期望为1. 9((2010新课标全国，5分)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒， 对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A(100 B(200 C(300 D(400 解析:记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ,B(1 000,0.1)，所以Eξ,1 000×0.1,100， 而X,2ξ，故EX,E(2ξ),2Eξ,200. ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? 答案:B 10((2010安徽，5分)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，A和A表示由甲罐取123出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件(则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)( 2?P(B),; 5 5?P(B|A),; 111 ?事件B与事件A相互独立; 1 ?A，A，A是两两互斥的事件; 123 ?P(B)的值不能确定，因为它与A，A，A中究竟哪一个发生有关( 123 解析:由题意知P(B)的值是由A，A，A中某一个事件发生所决定的，故??错误; 123 15×P,B?A,21151?P(B|A),,,，故?正确; 1P,A,1111 2 由互斥事件的定义知?正确，故正确的结论的编号是??. 答案:?? 11((2012辽宁，12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查(下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”( (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关, 非体育迷 体育迷 合计 男 女10 55 合计 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? (2)将上述调查所得到的频率视为概率(现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)( 2,,n,nnnn112212212附:χ,， nnnn1，2，，1，2 2(χ?k) 0.05 0.01 P k 3.841 6.635 解:(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 2,,n,nnnn112212212将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ,,nnnn1，2，，1，2 2100×,30×10,45×15,100,?3.030. 45×55×75×2533 因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关( (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中 1抽取一名“体育迷”的概率为. 4 1由题意X,B(3，)，从而X的分布列为 4 X 0 1 2 3 272791P 64646464 13E(X),np,3×,， 44 12((2011天津，13分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同(每次游戏从两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖((每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中， (?)摸出3个白球的概率; (?)获奖的概率; ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)( 21CC32解:(1)(?)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A(i,0,1,2,3)，则P(A),?i322CC531,. 5 (??. )设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B,AA23 22111CCCCC132322又P(A),?，?,，且A，A互斥， 2232222CCCC25353 117所以P(B),P(A)，P(A),，,. 232510 (2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2. 792P(X,0),(1,),， 10100 77211(,1),C×(1,),， PX2101050 7492P(X,2),(),. 10100 的分布列是 所以X X 0 1 2 92149P 10050100 921497X的数学期望E(X),0×，1×，2×,. 100501005 13((2010广东，12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，„，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示( (1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列; (3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率( ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ???????????? 解:(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01，0.05)×5]×40 ,12(件)( (2)Y的可能取值为0,1,2. 2C6328P(Y,0),,. 2C13040 11CC562812P(Y,1),,. 2C13040 2C1112P(Y,2),,. 2C13040 Y的分布列为 0 1 2 Y 635611P 130130130 (3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3. 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则ξ,B(5,0.3)， 223(ξ,2),C(0.3)(0.7),0.308 7. 故所求概率为P5 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ?