北航概率统计、概统随A2008-2009(1)考试卷A卷及答案A和B卷

北航概率统计、概统随A2008-2009(1)考试卷A卷及答案A和B卷 北京航空航天大学 BEIHANG UNIVERSITY 2008,2009 学年 第一学期期末 考试统一用答册 考试课程 概率统计 ,09J70040， 概率统计与随机过程A,09J70050， 概率论与数理统计 班 级_____________ 学 号 _____________ 姓 名______________ 成 绩 _________ 考场教室_________ 任课教师_________ 题号 一 二 三 四 五 六 七[七] 八[八] 总分 分数 阅卷人 校对人 A 2009年1月 16 日10,30—12,30 一、单项选择题(每小题3分，满分18分) 412X,X1、设是来自正态总体的样本，设， XXXX,,,N(0,),,i12344i,1 2,,当 ( )时， 概率最大。 P{1,X,2} 6363(A) ， (B) ， (C) ， (D) 。 ln22ln2ln22ln2 ,,1,(1)01xxx,,，,,(1-)，2、 设总体的密度函数为，其中，X,,0fx(;),,,0，其它, 是来自总体X的样本，则参数的矩估计量为( )。 ,XXX,,,12n X2X2XX(A) ， ( B) ， (C) ， ( D) 。 1,X2,X2,X1,X 2222ˆˆ3、设是来自正态总体的样本，当( )时，是 N(,),,,,,，XX,,Xcc,1n nn11222ˆ,,,XXX,X()的无偏估计，其中， 。 ,,,iinn,i,11i 1111(A) ， (B) ， ( C) ， ( D ) 。 ,,nnn,1n,1 2E|X,,|,4、设随机变量,则[ ]. X~N(,,,) 2,(A) 0, (B) , (C) , (D) . ,, 2, 5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时 到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[ ]. 25254711(A) , (B) , (C), (D). 36725236 22,6、设是总体的样本,,已知,下列几个作为的估计量中, X,X,,,,,XN(,,,)12n 较优的是[ ]. nn112222ˆˆ,,(X,X),,(X,X)(A) , (B) , ,,1i2inn,1,,i1i1 n,n1112222ˆˆ,,(X,,),,(X,,)(C) , (D) . ,,34iin,1ni,1i,1 A6-1 二、填空题(每小题3分，满分18分) 1、有个白球与个黑球任意地放入两个袋中,每袋装个球.现从两袋中各取一 nnn ,则所取两球颜色相同的概率为 。 球 2、在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清 和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号为1、不清和0 的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中发出0和1的概率分别是0.4和 0.6。当收到信号为不清时,原发信号是1的概率为 。 3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率 分别为0.6、0.5、0.3,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、 0.6、0.9.则敌舰被击沉的概率为 。 F(x)Y4、 设随机变量X的分布函数为，随机变量服从两点分布: P{Y,a},p,P{Y,b},1,p,(0,p,1)Y，并且X与相互独立， Z,X，Y则随机变量的分布函数 。 F(z),Z 225、设是来自正态总体的样本，未知，已知。 N(,),,,,XXX,,,12n00 X,,对给定置信水平1,,(01,,,)，满足 ， Pab{}1,,,,,2/n,0 ,,00()ab,PXbXa{}1,,,,,,ab, 即满足的实数有无穷多组， ,, nn 当 ，b, 时，就可使得的置信水平为1,,的置信区间,a, ,,，，00a,b 的长度最短。(用正态分布的分位点示出所求的即XbXa,,,,,nn，， 可。) 2x,x,？,x6、设总体,为的样本. ，，X~N,,,X12n nnn1n112222x,x 记 ，这里规定 ,. s,(x,x)s,(x,x),i,i,i22nn,,,1,ii1,1i 2,在未知方差， 检验假设:时， H,,,00 选取检验用的统计量是 。 A6-2 三、(满分12分)对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中概率分别为 0.4,0.5,0.7,试求:(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率; (2)至少有一次击中目标的概率. 2x,,0,x,,,2四、(满分12分) 已知随机变量的概率密度为 , X(),fx,, ,0,其它, 试求的分布函数和概率密度. Y,sinXF(y)f(y)YY 五、(满分8分)设随机变量X的二阶矩存在， 2证明:当时,的值最小,最小值为DX. k,EXE(X,k) 2六、(满分12分)设总体,从此总体中取一容量为4的样本,设X~N(0,3)X,X,X,X1234 22, Y,a(X,2X)，b(3X,4X)1234 (1)求服从的分布;(2)求服从的分布; 3X,4XX,2X3412 2a,bY(3)试决定常数,使随机变量服从分布. , 七、(满分8分)(此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做) XYZ(t),Xsin,t，Ycos,t设 ,其中是常数, 与是相互独立的随机变量, , X~N(0,1)且, , 试求: Y~U[,3,3] 222EYEXE[Z(t)]E[Z(t)Z(t，,)](1)，; (2)，，; E[Z(t)] Z(t)(3)问是否为广义平稳过程, [七]、(满分8分)(此题仅学过1至9章的学生做;学过1至9章和11-13章的学生不做) 有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的概率分别 YX为0.3和0.7,规定甲炮先射.以和分别表示甲、乙两炮所用炮弹数. EX,EYYX(1)试写出的分布律，求的分布律; (2)求。 A6-3 八、(满分12分)(此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做) 四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个 12X(n),j位置,以概率逆时针游动到相邻位置; 以概率顺时针游动到相邻位置;以表示时33 j(j,1,2,3,4)刻粒子处在位置, n {X(n),n,1,2,？}试作:(1)写出齐次马尔可夫链的状态空间; {X(n),n,1,2,？}(2)求齐次马尔可夫链的一步转移概率矩阵; (2)P(3) 求两步转移概率矩阵; (4)求该齐次马尔可夫链的平稳分布. [八]、(满分12分)(此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做) X,X,,,,,X,,,,设是相互独立的随机变量序列,且其分布律为 12n 121(n,1,2,,,,); P{X,n},,P{X,,n},,P{X,0},1,,nnnn，1n，1n，1333 n12(n,1,2,,,,)EX记Y,X,。 (1)求，，; (2)求， ; DXEYEXDY,nninnnnn,1i limP{|Y|,,},1(3)证明: 对任给,,0，成立。 nn,, 概率统计 ,09J70040，、 概率统计与随机过程A,09J70050， 概率论与数理统计 考试卷 A、B卷答案及评分细则 (2009-1-16 ) A卷 :一、单项选择题(每小题3分，满分18分) 1、B;2、D;3、A; 4、C;5、A;6、C 。 二、填空题(每小题3分，满分18分) 12CCn,1n,1n2P(A),1、, 或 . P(A),,22n,12n,1Cn2 30.752、 ;3、; ,0.428577 ,pF(z,a)，(1,p)F(z,b)4、 ; F(z),P{X，Y,z}Z A6-4 ,,,1,15、,,z,z，,z; a,,,,(1)b,,,(1),,,,1,122222 x,,x,,00，，6、T,,n,1~tn,1 。 ss n,1 B卷 :一、单项选择题(每小题3分，满分18分) 1、C;2、A;3、C ; 4、B;5、D;6、A; 二、填空题(每小题3分，满分18分) ,pF(z,a)，(1,p)F(z,b) 1、 ; F(z),P{X，Y,z}Z ,,,1,1,,z,z,z2、，; a,,,,(1)b,,,(1),,,1,,122222 x,,x,,00，，T,,n,1~tn,13、; ss n,1 12CCn,1n,1n24、P(A),,或 . P(A),,22n,12n,1Cn2 30.755、; 6、; ,0.428577 三、(满分12分) i,1,2,3解 设第次射击时击中目标,,相互独立, A,A,A,Aii123 ; P(A),0.4,P(A),0.5,P(A),0.7123 B,AAA，AAA，AAA(1) 设恰好有一次击中目标,则, B,11231231231 P(B),P(AAA)，P(AAA)，P(AAA)于是 1123123123 ,P(A)P(A)P(A)，P(A)P(A)P(A)，P(A)P(A)P(A) 123123123,0.4，0.5，0.3，0.6，0.5，0.3，0.6，0.5，0.7,0.36;„„„„„„.6分 A,(2) 设至少有一次击中目标,则, A,A，A，A123 P(A),P(A，A，A),1,P(A)P(A)P(A)故 123123 ,1,0.6，0.5，0.3,0.91.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„..6分 四、(满分12分) A6-5 解 , F(y),P{Y,y},P{sinX,y}Y y,1,P{S},1(1)当时, ; F(y),P{Y,y},P{sinX,y}Y y,,1,P(,),0(2) 当时, ; F(y),P{Y,y},P{sinX,y}Y ,1,y,0(3) 当时, ; ,f(x)dx,0F(y),P{Y,y},P{sinX,y}Y,sin,y 0,y,1(4)当 时, F(y),P{Y,y},P{sinX,y}Y arcsiny,xx222 , ,arcsiny,f(x)dx,dx，dx,,,22,sinx,y0arcsiny,,,, 0,y,0, ,2;„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 F(y),arcsiny,0,y,1,Y,,1,y,1, 21,,0,,1y,2,(),(2)所以 fy . „„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 1,y,Y ,0,其它, 五、(满分8分) 22证明 由 E(X,k),E[(X,EX)，(EX,k)] 22 ,E[(X,EX)，2(X,EX)(EX,k)，(EX,k)] 22 , ,E(X,EX)，(EX,k) 2,„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ,E(X,EX),DX 2DX知当k,EX时,的值最小,最小值为.„„„„„„„„„„„„„„2分 E(X,k) 222222(用, f(k),E(X,k),EX,2EX,k，k,EX,(EX)，(k,EX) 或利用导数求极值也可.) 六、(满分12分) 2i,1,2,3,4解 因为 X~N(0,3),,且相互独立, X,X,X,Xi1234 2，DX,3; EX,0ii 2(1)因为，， D(X,2X),5，3E(X,2X),01212 2所以,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 X,2X~N(0,5，3)12 A6-6 2(2)由,， D(3X,4X),25，3E(3X,4X),03434 2得;„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 3X,4X~N(0,15)34 11(X,2X)~N(0,1)(3), (3X,4X)~N(0,1)12341535 112222[(X,2X)]~(1),故， [(3X,4X)]~,(1)12341535 112222 由分布的可加性,得, (X,2X)，(3X,4X)~,(2),123445225 11Ya,,b,由所给的表达式,即知 ;„„„„„„„„„„„„„„4分 45225 七、(满分8分)(此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做) 2解.(1)由题设条件得 ; EX,0,DX,1,EX,1 2; EY,0,EY,1,DY,1 E[XY],EX,EY,0 ; „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 E[Z(t)],sin,t，EX，cos,t，EY,0(2),„„„„„„„„„„„„„„„„1分 E[Z(t)Z(t，,)] 2，[sin,t,cos,(t，,)，cos,t,sin,(t，,)]E[XY] ,sin,t,sin,(t，,)，EX 2 ，cos,t,cos,(t，,)，EY ，cos,t,cos,(t，,),sin,t,sin,(t，,) , „„„„„„„„„„„„2分 ,cos,, 2 , „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 E[Z(t)],1 2E[Z(t)],0E[Z(t)Z(t，,)](3)因为，，，(不依赖于), E[Z(t)],1t,cos,, Z(t)所以 是广义平稳过程. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 八、(满分12分)(此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做) S,{1,2,3,4}解.(1)依题意 ,状态空间 , „„„„„„„„„„„„„„„3分 A6-7 21,,00,,33,,12,,00,,33,,()Pp(2)转移概率矩阵 ,„„„„„„„„3分 ,,ij4，41200,,33,,21,,00,,33,, 2121,,,,0000,,,,3333,,,,1212,,,,0000(2)2,,,,3333P,P (3) ,,,,,12120000,,,,3333,,,,2121,,,,0000,,,,3333,,,, 45,,00,,99,,45,,00,,99 ;„„„„„„„„„„„„„3分 ,,,5400,,99,,54,,00,,99,, (,,,),(,,,)ppppppppP,12341234(4) , ,，，，,1pppp1234, 21,,00,,33,,12,,00,,33(p,p,p,p),(p,p,p,p)， 12341234,,1200,,33,,21,,00,,33,, 12p,p，p, 12433 21p,p，p, 21333 21p,p，p, 32433 A6-8 12 ， p,p，p41333 p，p，p，p,1。 1234 1解之得 . p,p,p,p,12344 1111(p,p,p,p)故平稳分布为. „„„„„„„„„„„„„3分 ,(,,,)12344444 [七]、(满分8分)(此题仅学过1至9章的学生做;学过1至9章和11-13章的学生不做) X,Y解 (1) 以和分别表示甲乙在第轮射击中击中目标.显然是离散型随机变量. ABiii 根据题意知 ,; {X,1},A，ABP{X,1},P(A)，P(AB),P(A)，P(A)P(B),0.79111111111 , {X,2},ABA，ABAB1121122 ;„ P{X,2},[P(A)，P(A)P(B)]P(A)P(B),0.79，0.2122211{X,k},AB？ABA，AB？ABAB, 11k,1k,1k11k,1k,1kk k,1P{X,k},[P(A)，P(A)P(B)]P(AB？AB),0.79，(0.21), kkk11k,1k,1 k,1k,1,2,？X于是,的分布律为, . „„„„„„„„„2分 P{X,k},0.79，(0.21) 0,1,2,？Y的可能取值为:,, ; {Y,0},AP{Y,0},P(A),0.311 ,; {Y,1},AB，ABAP{Y,1},P(AB)，P(ABA),0.5531111211112P{Y,2},P(ABAB，ABABA)112211223 ,[P(AB)，P(ABA)]P(AB),0.553，0.21, 2222312 „ k,1P{Y,k},[P(AB)，P(ABA)]P(AB？AB),0.553，0.21， kkkkk，111k,1k,1于是, Y的分布律为 k,1P{Y,0},0.3k,1,2,？,, . „„„„„„„„„2分 P{Y,k},0.553，(0.21) A6-9 ，,，,k1,k,1EX,k,0.79，(0.21),0.79k,(0.21)(2) ,,k1k,1, 11 ;„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ,0.79,,,1.265820.79(1,0.21) ，,，,k1,k,1EY,0，0.3，k,0.553，(0.21),0.553k,(0.21) ,,k1k,1, 10.5330.7,0.553,, 。„„„„„„„„„„„„„2分 ,,0.8860722(1,0.21)(0.79)0.79 [八]、(满分12分)(此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做) 证明 (1)由数学期望和方差的性质及条件,有 11， EX,,n,，n,，0,0nn，1n，133 112n222()()0， ,,,，,，,EXnnnn，1n，1n，1333 2n2，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 ,,DXEXnnn，13 nn11EY,E(X)2)(, ,EX,0,ni,inn,1ii,1 nnn1i121,„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ,DX,DY,D(X),,i,nii22，1nn3nii,1,1,1i nn1111(3); ,,,DXnDY,D(X),i,ni22nnnni,1,1i 对任意,由契比雪夫不等式,得 ,,0 ,P{|Y,EY|,,} 1,P{|Y|,,}nnn DY1n, ,,,,1122,n,于是成立 。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 limP{|Y|,,},1n,,n A6-10