均值不等式练习题及答案

均值不等式练习及精品文档均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。a2?b21.若a,b?R，则a?b?2ab若a,b?R，则ab?222.若a,b?R，则时取“=”)*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab???2?*a?ba2?b2?ab??3.均值不等式链:若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。平均数)一、基本技巧技巧1:凑项例已知x?技巧2:分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5x2?7x?10的值域。例求y?x?1技巧3:利用函数单调性例1/24精品文档求函数y?2的值域。技巧4:整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。xy典型例题1.若正实数X，Y满足2X+Y+6=XY，则XY的最小值是?a?b?22.已知x,0,y,0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23.若不等式x+ax+4?0对一切x?平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225.已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.6.已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1ABC1D7.设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.652/24精品文档9.若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(?ab?1;?;?a2?b2?2;?a3?b3?3;?11??ab210.设a,b,0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2?D值是2?12.若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一(均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab若a,b?R，则ab2.若a,b?R*，则a?b2?*?a?b2223/24精品文档a?b时取“=”)ab若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??)???2a?b2注:当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用(应用一:求最值例1:求下列函数的值域y,3x解:y,3x，11y,x，xx13x,?值域为[，+?)2x14/24精品文档x?,2;x1x?=,2x1?22x1当x,0时，y,x，?x11当x,0时，y,x，=,?,2xx?值域为解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。1解:因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?5/24精品文档14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二:凑系数例1.当时，求y?x的最大值。解析:由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。当，即x,2时取等号当x,2时，y?x的最大值为8。32评注:本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变6/24精品文档式:设0?x?，求函数y?4x的最大值。322x?3?2x?9解:?0?x??3?2x?0?y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。?2?技巧三:分离例3.求y?的值域。x?1解析一:本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。x?7x?102当,即时7/24精品文档,y?5?9。技巧四:换元解析二:本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x，1，化简原式在分离求最值。y??7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。?B，g当,即t=时,y?技巧五:注意:在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?2ax的单调性。例:求函数y?的值域。解:令?t，则y?1t2??t?1t因t?0,t??1，但t?因为y?t?8/24精品文档1t1t解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。52在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y??5??。所以，所求函数的值域为?,???。?2练习(求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.y?x?3x?1x2,y?2x?1x?3,x?y?2sinx?231sinx9/24精品文档,x?2(已知0?x?1，求函数y?条件求最值的最大值.;3(0?x?，求函数y?.1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析:“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解:a和3b都是正数，3a?3b?23?3?23aba?b?6当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6(变式:若log4x?log4y?2，求1x?1y的最小值.并求x,y的值技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。:已知10/24精品文档x?0,y?0，且1x?1x9y9y?1，求x?y的最小值。?1?x9???x?y??y?错解:?x?0,y?0，且((??1，?x?y????1故?x?y?min9y?1。错因:解法中两次连用均值不等式，在x?y?x?y，在1x??条件是11/24精品文档1x?9y即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:?x?0,y?0,1x?9?19?y9x?10?6?10?1?1，?x?y??x?y??????xyxyy??当且仅当yx?9xy时，上式等号成立，又?1x?9y?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。1y12/24精品文档变式:若x,y?R且2x?y?1，求1x?的最小值?已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值xyy2技巧七、已知x，y为正实数，且x，,1，求，y的最大值.2a，b分析:因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab?。2221，y中y前面的系数为，，y,x22213/24精品文档1，y2?,x?21y，22下面将x，1y分别看成两个因式:2x，2x，2223,,即，y,?x22421y3，?241的最小值.ab分析:这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八:已知a，b为正实数，2b，ab，a,30，求函数y,性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30,2b30,2b,b，30b法一:a,，ab?b,14/24精品文档b，1b，1b，1由a,0得，0,b,15,2t，34t,311616令t,b+1，1,t,16，ab,,2，34?t，?2ttt1?ab?1?y?当且仅当t,4，即b,3，a,6时，等号成立。18法二:由已知得:30,ab,a，2b?a，2b?2ab?0,ab?ab令u,ab则u2，u,30?0，,5?u?31??3，ab?18，?y?18点评:?本题考查不等式a?b2?ab的应用、不等式的解法及运算能力;?如何由已知不等?t?16,t式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到不等式15/24精品文档a?b2?ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.?变式:1.已知a>0，b>0，ab,,1，求a，b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x，2y,10，求函数W,x，y的最值.a，ba，b解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，?，本题很简单223x，y22y),x，2y,25解法二:条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W,0，W2,3x，2y，2xy,10，2xy?10，2?,10，,2016/24精品文档?W?20,2变式:求函数y?12?x?52)的最大值。解析:注意到2x?1与5?2x的和为定值。y?2?4??4???8322又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x?时取等号。故ymax?评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二:利用均值不等式证明不等式17/24精品文档1(已知a,b,c为两两不相等的实数，求证:a2?b?c22?ab?bc?ca1)正数a，b，c满足a，b，c,1，求证:?8abc例6:已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证:??1??1??1??1???1???1???a??b??c?分析:不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1a?1?1?aa?b?ca?a1a1?aab?caa解:?a、b、c?R?，a?b?c?1。18/24精品文档??1???。同理1b?1?b，?1?c1c。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1?1??1??1?a?b?c?。当且仅当时取等号。?1?1?1??8??????3abcabc??????应用三:均值不等式与恒成立问题例:已知x?0,y?0且1x?9y?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。解:令x?y?k,x?0,y?0,10k3k1x19/24精品文档?9y?1，?x?ykx?9x?9yky?1.?10k?ykx?9xky?1?1??2?。?k?1，m????,16?应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若a?b?1,P?lga?lgb,Q?12,R?lg，则P,Q,R的大小关系是分析:?a?b?1?lga?0,lgb?0Q?20/24精品文档12且a?b，下列各式中最大的是,(a+b,(,ab,(2ab,(a+b22(x?R，下列不等式恒成立的是A(x+1?xB(21224xx2?13(已知x+3y-1=0，则关于2x?8y的说法正确的是,(有最大值,(有最小值22,(有最小值,(有最大值224(,设实数x，y，m，n满足x+y=1，m+n=3那么mx+ny的最大值是,(,(,(,(5(设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是,(?,(a3+b3?2ab2ab,(a+b+2?2a+2b,(6(下列结论正确的是A(当x>0且x?1时，lgx+a?b?a?b11?B(当x>0时，x+?lgxxC(当x?2时，x，11?2D(当07(若a、b、c>0且a+bc=4?2，则2a+b+c的最小值为A(?1B(3?1C(23?D(2?2二(填空题:8(设x>0，则函数y=2,4,x的最大值为;此时x的值是。x21/24精品文档9(若x>1，则log2x，logx2的最小值为;此时x的值是。x2?x?410(函数y=在x>1的条件下的最小值为;此时x=_________(x?1x211(函数f=4的最大值是;此时的x值为_______________(x?2三(解答题:12(函数y=loga,1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求11?mn的最小值为。13(某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元,次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨,14(已知x,y?且xy,,1，求s=312的最小值。?223?x12?y参考答案:一(选择题:2222221(D解析:只需比较a+b与a+b。由于a、b?，?a2(B3(B解析:2?8,2?2xyx3y?222x3y?2x?3y2,224。A解法一:设x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，22/24精品文档其中α，β??其他略。解法二、m+n=3?2?2,1?2,x2+y2，2??23?mx+ny?。5(B解析:A、C由均值不等式易知成立;D中，若a6(B解析:A中lgx不一定为正;C中等号不成立;D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。7(D22222解析:=4a++4ab+4ac+2bc?4a+2bc+4ab+4ac+2bc=4=4[a+bc]=4,4当且仅当b=c时等号成立。?最小值22为23?2。二(填空题:8(,2，29(2，2x2?x?444?1?5，当且仅当x=3时等号成立。10。解析:y=,x?,?x?1x?1x?1112x2??11。解析:f=4,，此时x,2。x?2x2?222x223/24精品文档三(解答题:12(解析:?y=logax恒过定点，?y=loga,1恒过定点，?-2m-n+1=0，即2m，n,1，?1111n4m?,,2，2，??8，?最小值为8。mnmnmn13(解析:设一年的总运费与总存储费用之和为y，则y?x=20时等号成立。最小值为160。001600?4?4x?2?4x,160，当且仅当xx14(解析:s=312?3?x212?y2?236,1222912?y)1?2237?12137?236?12。评注:两次等号成立的条件都一样。24/24