【word】 洛朗级数及其应用

【word】 洛朗级数及其应用 洛朗级数及其应用 ValueEngineering?l83? 洛朗级数及其应用 LaurentSeriesandItsApplications 周畅ZhouChang (西安邮电学院理学院,西安710121) CollegeofScience,Xi”anUniversityofPostsandTelecommunications,Xian710121,China) 摘要:本文展示了解析函数在不解析点的邻域内如何展成洛朗级数 的推导过程,以及展成洛朗级数的方法及应用. Abstract:WeprovedhowtheanalyticfunctionexpandinLaurentseriesinthen eighborhoodofsingularpoint,andshowthemethodsofexpansion anditsapplication. 关键词:解析函数;奇点;洛朗级数 Keywords:analyticfunction;singularpoint;laurentseries 中图分类号:G42文献标识码:A 0引言 一 个以为心的圆域内解析的函数f(z)可以在该圆域内展成 z—z.的幂级数,如果f(Z)在Z0处不解析,则在z.的邻域内就不能用 z—z.的幂级数来示,但实际应用中经常遇到这种情况[11,所以本文 讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法. 1问题 在圆环域内解析的函数是否一定能展成级数呢? 例如,函数f(z)—在z=0,Z=I处不解析,但在o<{z}<1以 Zi—zj 及环域0<jz一1I<1内都解析,在环域0<IzI<1内:f(z)= ZIl—ZZ +一=z+l+z+z2+…+zn+…;这个级数含有负数次幂,不同于以往我1一Z 们所熟悉的级数只含正整数次幂,那么这级数是怎样推导以及在什 么情况下成立就是我们下面将要解决的问题. 2推导 假设幽数f(z)在圆环域D:R1<jz-z0f<R2内处处解析,C是D 内绕zo的一条简单闭曲线,令Z为圆环域内任一点,以z0为圆心作 正向圆周Kr,K,R<r<R<R2,点z在Kr与K之间,由复合闭路的柯 西积分公式: f(z)上2wifKRfkr+I2 I:在KR上,z在KR内,.一_j{g二-Zo{<1-g-z==I1’一z0一Iz—znJ 1一 1 = 丧, ‘一z0 I= n ?=0”iT1 fz”. 注:此时不能对积分丢__d?应用高阶导数公式,因 为f(z)在K内并非处处解析. Iz:’在K上,z在K外.1l<1,-..一:= 一 z.一(z—z0) 1 丽=1面1:上Z--Zo(Z~Z0/1=告Z-Zo == 篙持:器 基金项目:国家自然科学基金(项目编号:10902083)i陕西省教育厅科 研计 划项目{项目编号:09JK722o 作者简介:周畅(1979一),女,满族,河jE廊坊入.西安娜申学院理学院 讲师 文章编号:1006—4311(2011)31—0183—01 斤以,f【z):Il+I2 =z-z0)+一, 或是 .--o 上2”triz-一z0)n+1 , _『器z, n=0,?1,?2,… 根据闭路变形原理:圆环域内绕的正向简单闭曲线C,则f-fc= fKRj所(z】=d”z”,cn(z=1 fc努d’,n-0,?1,?2,….这个级数就是f(z)在圆环域R< lz一-z.I<Rz内的洛朗级数,在许多应用中,需要把在zo不解析但在z0 的去心邻域内解析的函数展成级数,则可应用洛朗级数展开. 3应用 3.1展成形如Zcnzn的级数的方法: 例如,(z)二1,奇点是l和2,在不舍奇点的且以0 为心的三个圆环域lzl<l;l<{zI<2;2<Izl<+内解析,仅以第一 个环域为例.f(z)1一1在lzI<l内, 1Z = 丢=1一zZ—Z一::Z—z = (手)=,所以z= 2 ?f1一击 3.2展成形如Ec(Z--Zo)n的级数的方法: f(z)在o<lz一1I<1j1<lz一1l<2等圆环域内解析可展成洛朗级 数.在1<}z一1f<2内,】l<1If(z)=11_1-_= z一1 ()=(z_1】 4结论 ?函数既可在奇点处展成洛朗级数,也可在非奇点处展成洛朗 级数,比如方法一中在环域fzf<I内的洛朗级数中没有负数次幂 项,是因为0不是函数的奇点.?函数在以为z0心的不同环域内解 析,~ig在各个不同的环域内有不同的洛朗展开式,但是在同一个 给定环域内的展开式是唯一的. 参考文献: [1lN安交通大学高数教研室.复变函数[M1.北京高等教育出版社,2007.