复合函数的奇偶性

复合函数的奇偶性 复合函数的定义:如果的函数，记为，又是的函数，记为，，，，，y是uy,fuuxu,gx且的值域与的定义域的交集不空，则确定了一个关于的函数，y，，，，,,，，gxfuxy,fgx这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做y，，，，xuy,fuu,gx内层函数。 1复合函数的奇偶性 若为奇函数,对于变量是奇(偶)函数, ，，，，u,gxy,fuu 则复合函数是奇(偶)函数, ,,，，y,fgx 若为偶函数,则复合函数是偶函数. ，，,,，，u,gxy,fgx f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非奇 偶 偶 奇 偶 非奇非奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 抽象函数奇偶性的判断 x,R 例 函数，，若对于任意实数a,b都有， ，，，，，，，，fxfa，b,fa，fb 求证，，为奇函数 fx 证:令，，，，，，a,0,则fb,f0，fb ，， ？f0,0 ，，，，，，a,,x,b,x,代入fa，b,fa，fb又令得 ，，，，，，f,x，x,f,x，fx ，，，，0,f,x，fx即 1 ，，，，？f,x,,fx 故为奇函数 ，，fx 2复合函数的单调性 法则:同增异减 步骤:(1)确定定义域 (2)将复合函数分解成基本初等函数 ，，，，y,fu,u,gx (3)分别确定这两个函数的单调区间 (4)若这两个函数同增或同减,则为增函数,若一增一减.则为减,,，，,,，，y,fgxy,fgx 函数. 函数 单调性 增 增 减 减 内层函数 ，，u,gx 增 减 增 减 外层函数 ，，y,fu 增 减 减 增 复合函数 ,,，，y,fgx 2例1,求函数的单调区间. y,,x,2x，3 2,3,x,1,x,2x，3,0解:由,得 2 函数的定义域为[-3,1], y,,x,2x，3 22 令 ，，u,,x,2x，3,,x，1，4 当,,时是增函数. x,,3,,1 当,,x,,1,1时是减函数 而是增函数. ，，y,uu,0 y,,,,,3,,1,,1,1函数的增区间是减区间是 2例2 求函数的单调区间 ，，fx,1,x 2 2 解:该函数的定义域为，即 ,,1,x,0x,1,x,1 2 设则 ，，，，fx,ux，，ux,1,x, 2(1) 当时，为增函数，为增函数， ,，，，，，，，x,,1,0y,uxux,0，，ux,1,x 2故函数在区间上是增函数 ,,,1,0，，fx,1,x 22(2)当时，为减函数，为增函数，故函数在，,，，x,0,1，，y,uxux,1,x,，，fx,1,x 区间上是减函数 ，,0,1 2故的单调增区间为，单调减区间为 ,,，,,1,00,1，，fx,1,x 例3:已知是是的减函数，且，是是的增函数，求证，，,,，，，，,,gxm,na,gx,bfxa,b 在上也是减函数。 ,,，，,,fgxm,n 证明:设 m,x,x,n12 是上的减函数，且 ，，,,，，，，？gxm,na,gx,gx,b12 又 ，，,,？fx是a,b上的增函数 ,,，，,,，，？fgx,fgx12 根据单调性的定义得在上是减函数 ,,，，,,fgxm,n 2x,3x,21,,y,例4(讨论函数的单调性 ,,2,, 32x,u,x,3x,2解:设，则函数，，图像的对称轴为 u,fx2 33,，，, 当时，u为增函数;当时，u为减函数。 x,,,,x,,，,,,,,22,，，, uu111,,,,u 而的底数为为关于的减函数， y,a,,1,？y,,,,,222,,,, 3，,yu 当时，为增函数，则为减函数， x,,，,？,,2，, 3 3,， 当时，为减函数，则为增函数。 yux,,,,,,2,， 4