材料力学 孙训方 习题答案

材料力学 孙训方 习题 [习题2-2]一打入基地 2-3图 墩身底面积: 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 [习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解:取长度为dx截离体(微元体)。则微元体的伸长量为: FdxEA(x)xl ， l FEA(x) F l dxA(x) ， l 2 2l d12 ， ， 2l du， dxA(x)F F 2 2l 2Fl duu 2 ) 因此， l EA(x) l dxA(x) l ( duu 2 ) 2Fl l l 2Fl [习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为，试求C与D两点间的距离改变量。 解: EA 式中，，故: a ， ， [习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量，已知，，，。试求C2 点的水平位移和铅垂位移。 2-11图 解:(1)求各杆的轴力 以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以 ，，N 由对称性可知，， (2)求C点的水平位移与铅垂位移。 A点的铅垂位移: B点的铅垂位移: 1、2、3杆的变形协(谐)调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协(谐)调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到 C点的水平位移: C点的铅垂位移: [习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力。已知杆AB和AC的直径分别为和，钢的弹性模量 。试求A点在铅垂方向的位移。 解:(1)求AB、AC杆的轴力 以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出: : : (a) (b)联立解得: ; (2)由变形能原理求A点的铅垂方向的位移 1 N1l1 式中，; 222 ; 故: [习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为，其材料 的弹性模量， 钢丝的自重不计。试求: (1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律); (2)钢丝在C点下降的距离; (3)荷载F的值。 解:(1)求钢丝横截面上的应力 (2)求钢丝在C点下降的距离 1000 。其中，AC和BC各3.5mm。 7867339 (3)求荷载F的值 以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得: : [习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求: (1) 端点A的水平和铅垂位移。 (2) 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解:(1) 有 3 l 由胡克定理， 从而得，， () (2) () [习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。两杆 2-17 (2)求工作应力 AB AB AAB NBCABC (3)求杆系的总重量 。是重力密度(简称重度，单位:kN/m3)。 (4)代入题设条件求两杆的夹角 条件?: BAABNBCABC ， AB BC ， 条件?:W的总重量为最小。 ( 1 ) 2 从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取 得 最小值。 dW 2 2 2 2 2 ， ， oo o? (5)求两杆横截面面积的比值 ， F AAB ， 因为: 1 3 AAB ，， 所以: [习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两 个等边角钢组成。已知材料的许用应力 ，试选择AC和CD的角钢 型号。 解:(1)求支座反力 由对称性可知， (2)求AC杆和CD杆的轴力 以A节点为研究对象，由其平 衡条件得: -18 RA 以C节点为研究对象，由其平衡条件得: (3)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆: 选用(面积)。 CD杆: 选用(面积)。 [习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力，材料的弹性模 ，杆AC及EG可视为刚性的。试 量 选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅 垂位移、、。 解:(1)求各杆的轴力 -19 (2)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆: 选用(面积14.424cm2)。 CD杆: 选用(面积)。 EF杆: 选用(面积)。 GH杆: 选用(面积)。 (3)求点D、C、A处的铅垂位移、、 NCDlCD EACD NEFlEF EAEF NGHlGH EG杆的变形协调图如图所示。 3 [习题2-21] (1)刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为和，钢的许用应力 ，弹性模量。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 、及A、B两点的竖向位 移、。 解:(1)校核钢杆的强度 ? 求轴力 ? 计算工作应力 2-21 ? 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即; ，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。 (2)计算、 NBDlBD (3)计算A、B两点的竖向位移、 (mm)， [习题3-2] 实心圆轴的直径，长，其两端所受外力偶矩 ，材料的切变模量。试求: (1)最大切应力及两端面间的相对转角; (2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向; (3)C点处的切应变。 解:(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角 1 16 e。 116式中，故: 。 3-2 ，式中， 。故: 02 o (2)求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向 ， 由横截面上切应力分布规律可知: ， A、B、C三点的切应力方向如图所示。 (3)计算C点处的切应变 [习题3-3] 空心钢轴的外径， 43443 式中，。 GIp， (2)当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率 -5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 [习题3 F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力，试求: (1)AB轴的直径; (2)绞车所能吊起的最大重量。 解:(1)计算AB轴的直径 AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等: Me左右 Me主动轮右 扭矩图如图所示。 3-5 由AB轴的强度条件得: 右右 3e右 (2)计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等: Me主动轮 从动轮 0.35，Me从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得: 从动轮， [习题3-6] 已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径， (2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 作钻杆扭矩图 ? 0.39 。 ; 扭矩图如图所示。 ?强度校核， 1 式中， 因为，，即，所以轴的强度足够， 不 会发生破坏。 (3)计算两端截面的相对扭转角 GIp0 式中， 132 p 40 44 132 4 5060 44 40 |T(x)|dxGI p 0.00975 6 2 m 4 x 2 2 ]0 40 [习题3-8] 直径的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶 ，而在 圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知，圆杆 材料的弹性模量，试求泊松比(提示:各向同性材料的三个弹性常 G、间存在如下关系: 数E、 。 解:整根轴的扭矩均等于外力偶矩: e 。 d2 设O,O1两截面之间的相对对转角为，则 ， ， 132 P sd 式 中， 4 4 -8 4 4 6 210 由得: E2G -10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者 [习题3 的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d;空心轴的外径为D，内径为 d0，且试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力(的重量 1)求空心圆轴的最大切应力，并求D。 比和刚度比。 解:( d0D 。 max )，扭矩T相等时 TWp 116 式中， ，故: 3 4 空 16T 34 27.1T 3 D 3 27.1T 3-10 (1)求实心圆轴的最大切应力 TWp ，式中， 116 ，故:实 3 16T 3 16T 3 d 3 16T ，( Dd 3 27.1T ， Dd (3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比 W空W实 22 2 Dd 22 Dd 22 (4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 Ip空 132 ，Ip实 44 444 132 4 4 GIGI p空p实 Dd 44 [习题3-11] 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一 外力偶矩Me ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。 解:如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为: MedxGI P 132 式中， 4 l 2l d12 l d 4 l 44 l dx， 故 : e l MedxGI p l dxIp MG e l 32dx 4 32M e l 1u 4 32Mel l duu l4 32Mel l 32M 3 [习题3-12] 已知实心圆轴的转速，传递的功率，轴材 ，切变模量。若要求在2m长度的相对扭料的许用切应力 转角不超过1o，试求该轴的直径。 解: P MelGI p 180 式中， 180Mel Nkn 330300 ; 132 。故: 4 ， 132 4 180Mel 2 2 2 6 取。 [习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作用，如图 所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。 T(x)dx2GI p 2 解: 132 22 4 16mxdx 22 4 16m 4 2 l 2 16ml 4 23 ml132 23 4 ml6GI 23 p 3-16 [习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径， 材料的许用切应力，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求: (1)弹簧的许可切应力; 16FnGd 4 2 2 (2)证明弹簧的伸长解:(1)求弹簧的许可应力 。 用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上: 剪力扭矩 最大扭矩: „ " QA TmaxW p 4F 2 16FR 2 3 3 16FR2 3 d4R2 ， d4R2 ) 3 3 2 因为，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的 剪应力可以忽略不计。此时 d4R2 ) 3 3. 33 2 (2)证明弹簧的伸长 16FnGd 4 22 外力功: 12 ， p 2 2GI p 2 F 2 2GI p 3 F 2 2GI p 3 244 ， 12 4 p 2 44 p 4 4 22 [习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶。已知材料的切 变模量 ，试求: (1) 杆内最大切应力的大小、位置和方向; (2) 横截面短边中点处的切 应力; (3) 杆的单位长度扭转角。 解:(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向 ， ， ， 由表得， ， 2)计算横截面短边中点处的切 长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 ( 应力 MPa 短边中点处的切应力，在前面由上往上 (3)求单位长度的转角 单位长度的转角 [习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周 长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时， 试求: (1) 最大切应力之比; (2) 相对扭转角之比。 解:(1)求最大切 应力之比 3 开口:开口 33 依题意:，故: 13 23 1 2 3 3 3 3 4a3 3 开口 3 e2 闭口:闭口 M e M e2 ， 开口闭口 e2 e 2 (3) 求相对扭转角之比 13 3 开口: 23 3 4a3 ，开口 3? TGI t MGI et 3M e3 闭口 闭口: „ 20 20 4 M e3 开口 闭口 4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a(5)=h(4) 1 b(5)=f(4) 4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 a(5)=a(4) b(5)=b(4) f(5)=f(4) 4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题) (e) (f) (h) 4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。 4-4 (b) 4-5 (b) 4-5(根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。 4-6(已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。 4-6(a) 4-7 4-7(根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。 4-8用叠加法做梁的弯矩图。 (a) 4-8(b) 4-8(c) 4-9(选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。 4-9(b) 4-9(c) 4-10 4-14(长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。 x=0.4615m 4-18 4-19M=30KN 4-21 4-23 4-25 4-28 4-29 4-33 4-36 4-35 5-2 5-3 5-7 5-15 5-22 5-23 选22a工字钢 5-24 6-4 EA) 6-12 7-3-55mpa。-55mpa 7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于0~60范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应0 力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大, 解:;; 2 y 2 y 2 F2A FA 2 ， 2 2 ， y 2 3[ ， ， 由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当时，杆能承受最大荷载，该荷载为: 7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。 解:(1)求计算点的正应力与切应力 z (2)写出坐标面应力 X(10.55，-0.88) Y(0，0.88) (3) 作应力圆求最大与最小主应力， 并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按 比例尺量得: 7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求: (1)指定截面上的应力; (2)主应力的数值; (3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 [习题7-8(a)] 20，0);Y(-40，0)。根据以上数据作出如图所 解:坐标面应力:X( 示的应 力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为: ， ;，;。 000 单元体图 应力圆(O.Mohr圆) 主单元体图 [习题7-8(b)] 解:坐标面应力:X(0，30);Y(0，-30)。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为: ，;，; 。 单元体图 [习题7-8(c)] 应力圆(O.Mohr圆) 主单元体图 解:坐标面应力:X(-50，0);Y(-50，0)。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为: ，;，。 单元体图 应力圆(O.Mohr圆) 主单元体图 [习题7-8(d)] 解:坐标面应力:X(0，-50);Y(-20，50)00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为: ，; 。; ，00 单元体图 应力圆(O.Mohr圆) 主单元体图 [习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。 平面应力状态下的两斜面应力 解:两斜面上的坐标面应力为: A(38，28)，B(114，-48) 由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C(x,0) 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程: 应力圆 解以上方程得:。即圆心坐标为C(86，0) 应力圆的半径: r 主应力为: (2)主方向角 (上斜面A与中间主应力平面之间的夹角) (上斜面A与最大主应力平面之间的夹角) (3)两截面间夹角: [习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及 最大切应力。 [习题7-15(a)] 解:坐标面应力:X(70，-40)，Y(30，-40)，Z(50，0) 单元体图 应力圆 由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 应力圆半径: 轴得圆心C(50，0) [习题7-15(b)] 60，40)，Y(50，0)，Z(0，-40) 解:坐标面应力:X( 单元体图 应力圆 30，0) 由XZ平面内应力作a、b点， 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C( 连接a、b交 应力圆半径: -15(c)] [习题7 解:坐标面应力:X(-80，0)，Y(0，-50)，Z(0，50) 单元体图 应力圆 由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得 ，如图所示。 -19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力 。已知材料[习题7偶矩 在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 的弹性常数 ， 方向的线应变为 。 ，试求扭转力偶矩 解: 方向如图 [习题7-20] 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿450方向的 线应变为。已知材料的弹性常数和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力0 偶矩Me。 解:支座反力: M (?);(?) K截面的弯矩与剪力: aM ; K点的正应力与切应力: 0; A3Me 故坐标面应力为:X(，0)，Y(0，-) 0，故 (最大正应力的方向与x正向的夹角) 2EAl(1 [习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数，。试求该单元体的形状改变能密度。 解:坐标面应力:X(70，-40)，Y(30，40)，Z(50，0) 在XY面 (MPa) 故，，，。 单元体的形状改变能密度: [习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为，。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强 度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按a?点的位置计算。 解: 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。 1 2支座反力:(?) = (1)梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘 1 超过 的5.3%，在工程上是允许的。 (2)梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处 (3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度 超过 的3.53%，在工程上是允许的。 [习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me 共同作用，且 M e 110 Fd。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变 。已知杆直 径，材料的弹性常数0GPa，。试求荷载F和Me。若其 许用应力，试按第四强度理论校核杆的强度。 解: 计算F和 M e 的大 小: Me在k点处产生的切应力为: TWP 16T 3 16M e 3 16 3 Fd10 2 F在k点处产生的正应力为: A 即:X( 广义虎克定律: ，)，Y (0，8F5) 2 (F以N为单位，d以mm为单位，下同。) 按第四强度理论校核杆件的强度: 4F 223.1 1 符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知，， ，试求危险截面上的最大正应力。 解:危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力: ，。 3式中，Wz，Wy由14号工字钢，查型钢表得到 故 3 [习题8-2] 受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 ，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 ;梁的尺寸为，，;许用应力;许用挠度。试校核梁的强度和刚度。 解:(1)强度校核 1 8 1 (正y方向?) (负z方向?) 出现在跨中截面 出现在跨中截面 1 3 最大拉应力出现在左下角点上: 6 因为 ，，即: 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 (2)刚度校核 = 。即符合刚度条件，亦即刚度安全。 [习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力 ，并且与铅垂线成夹角，浆砌石的密度为，其他尺寸如图所示。试取1m长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许用压应力为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。 解:沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌 体的重量: 竖向力分量为: 各力对AB截面形心之矩为: AB之中点离A点为:1.1m，P1的偏心距为 P2的偏心距为 0Fy的偏心距为 Fx的力臂为 砌体墙为压弯构件 FvA MWz 2 A 2 3 B FvA MWz m 2 2 3 因为 A ， B ，所以砌体强度足够。 [习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。 [习题8-11(a)] 解:惯性矩与惯性半径的计算 112 14 3 164 2 4 2 10 (mm) 4 10 2y2z IyA 411094 42 [习题8-11(b)] 解:计算惯性矩与惯性半径 112112 3 112112 3 2 7 4 74 33 2y IyAIzA 7 2 2z 7 2 [习题8-11(c)] 解:(1)计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z 轴上， 半圆的面积: 2 半圆形截面对其底边的惯性矩是 yc 的惯性矩: 4 2 2 4 ，用平行轴定理得截面对形心轴 4 4 4 4 8 4 4 4 I C 4 8 84 2 IyCAIzCA 8 2 2 z 2 (2)列表计算截面核心边缘坐标