一元二次方程
四、同 步
库(一)
一、填空题
1.一元二次方程的一般形式是 .
22.若一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)有且只有一个根是零,则它的 项为零.
3.对下列一元二次方程,写出适当解法:
2(1)(2x,1),4,用 法为好;
2(2),用 法为好; x,6x,3
2(3),用 法为好; x,2x,15,0
2(4),用 法为好. 2x,3x,6,0
24.如果(x,a),k有解,那么k ,其解x= ,x= . 12
25.如果x=196,256,则x= , ;如果x=?17,?18,?19,则 2x= , , .
26.如果是一个完全平方式,那么a= . x,ax,4
27.若关于x的方程2x+mx+m-1=0有一个根是零,则另一个根是 .
28.如果x=1,是方程的根,那么1-2a= . ax,5x,3,0
2 9.已知方程(ax,b),2ax,2b,1,0,如果用y代换ax+b,那么就可化为关于y的一元二次方程 .
22222210.若(m,n)(1,m,n),6,0,则m,n, .
211.方程根的判别式Δ= ,当k 时,方程有两个不x,2x,k,0
相等的实数根;当k 时,方程有两个相等的实数根;当k 时,方程没有实数根.
3212.若方程x,px,,0的判别式Δ=15,则p= . 4
213.设方程x,kx,35,0的一个根为7,则另一个根是 ,k= .
214.如果关于x的方程p(1,x),2q(1,x)有两个相等的实数根,那么p,q之间的关系是 .
215.如果α,β是方程x,px,q的两个根,那么,α+β= ;α?β= .
12216.关于x的方程x,2(m,)x,m,2,0有两个不相等的实数根x,x,且122
22x,x,x?x=12,则m的值是 . 2121
1
217.若方程的两根互为相反数,则m= . 3x,(10,m)x,m,7,0
2218.方程的两根之比为2?3,则m的值是 ,两根分别x,5x,m,03
是 .
219.的两根平方和是 ,两根差的平方是 . 2x,3x,4,0
12220.已知的值是7,则代数式的值为 . 3x,3x,x,3x,53二、选择题
21.下列方程中是一元二次方程的是( ).
222 A.x,3x,y,2 B. x,,1x
2x,x12 C., D. x,1,3x2222.下列各一元二次方程是一般形式的是( )
22 A. B. 6x,10,5x5x,6x,10,0
22 C. D. 6x,5x,10,010,5x,6x,0
223.方程(x,),4的根为( )
A.x=4,x=-4 B.x=-4,x=0 1212
C.X=0,x=2 D.x=4,x=0 1212224.若x=-1是方程x-mx-3=0的一个根,则m的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
225.方程x=x的根为( )
A.0 B.1 C.0或-1 D.0或1
226.已知一元二次方程mx+n=0(m?0),若方程有解,则必须( )
A.n=0 B.n=0或m,n异号
C.n是m的整数倍 D.m,n同号
27.下列方程中,没有实数根的方程是( )
22 A.x,x,1,0 B.x,x,2,0
22 C.x,22x,2,0x,8x,1,0 D.
228.关于x的方程mx,4x,1,0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m<4 B.m?4且m?0
C.m?4且m?0 D.m<4且m?0
229.方程x,2(kx,4)x,6,0没有实数根,k的最小整数值是( )
A.-1 B.2 C.3 D.4
2
22a(x,1),2xc,b(x,1),030.已知a,b,c是一个三角形的三边,且方程有两个
相等的实根,则该三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2231.方程(1994x),1993,1995x,1,0中较大的一根为α,方程+1 1993x,1994x=0中较小的一根为β,α+β等于( )
1995199419931995 A. B. C. D. ,1993199419941994
232.若a>0,b<0,c<0,则方程的根的情况是( ) ax,bx,c,0
A.有两个同号的实数根
B.有异号的两实数根,且负根的绝对值大
C.有异号的两实数根,且正根的绝对值大
D.无实数根
233.用因式分解法求得方程x,(3,2)x,6,0的根为( )
A.3,2,2,33,,2 B.
C.,3,2 D.以上都不对
2234.方程x,xy,2y,0中,x与y的关系是( )
A.x=y或x=2y B.x=y或x=-2y
C.x=-y或x=2y D.x=-y或x=-2y
2k,135.关于x的一元二次方程中,k的值应为( ) (k,3)x,x,5,0
A.,33,3 B. C. D.以上都不对
,36.观察方程3,23x,x,0,得到的认识是( )
A.用公式法解为好
B.用配
解为好
C.只有一个根是3
D.因为题目结构是“完全平方式等于零”,所以有两个等根
2,,,,bb4ac237.有理系数方程,ax,bx,c,0(a?0)的求根公式是x2a22(b-4ac?0),如果b-4ac是一个完全平方数,那么方程的根一定是( )
A.有理数 B.无理数
C.正实数 D.负实数
238.方程ax+bx+c=0有两个不相等的实数根的条件是( )
3
A.a,b异号 B.a,b同号
C.a,c异号 D.a,c同号
239.设一元二次方程的两根为α,β,且(α-1)(β-1)-5=0(α,x,bx,12,0
?β),则方程两根为
A.-2,-6 B.2,6
C.4,-12 D.-4,12
240.方程x+px+q=0,甲同学因为看错了常数项,解得的根是6,-1;乙同学看错了一次
项,解得的根是-2,-3,则原方程为( )
22 A.x-5x+6=0 B.x-5x-6=0
22 C.x+5x+6=0 D.x+5x-6=0
三、解答题
241.已知,一元二次方程mx+nx+p=0(m?0,p?0)的两个实数根是α,β.
11n求证:,,. m,,nm,,nmp
x322142.已知x4x,(3m,5)x,6m,0,x是关于x的方程的两个实数根,且, ,12x22求m的值.
2243.已知:关于x的方程x+bx+4b=0有两个相等实根,y,y是关于y的方程y+(2-b)y+ 12
4=0的两实根,求以为根的一元二次方程. y,y12
244.已知关于x的方程kx,(2k,1)x,k,,1,0,?只有整数根,且关于y的一元
2二次方程(k-1)y-3k+m=0;?有两个实数根y和y. 12
(1)当k为整数时,确定k的值.
22(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y,y. 12
45.已知如图,AB是?O直径,CD是弦,AE?CD,垂足为E,BF?DC,垂足为F.
图代12-1-13
(1)求证EC=DF.
(2)若AE=a,EF=b,BF=c.求证tg?EAC和tg?EAD是方程2ax,bx,c,0的两个 根.
46.已知如图,在?ABC中,AB=AC,以AB为直径的?O于D,我AC于E.
4
图代12-1-14
(1)设?ABC=α,已知关于x的方程2-12=0有两个相等的 2x,10xcos,,25cos,实数根,BC=8,求AB的长.
:(2)若点C是以A为圆心,以AB为半径的半圆BF(点B,F除外)上的一个动点, C设BC=t,CE=y,利用(1)所求得的AB的长,求y与t之间的函数关系式,并写出自变量t
的取值范围.
25(3)在(2)的基础上,当t为何值时,S=. 3?ABC4
47.如图,?O与?O相交,大圆?O的弦AB?OO,垂足是F,且交?O于点C,D, 1211222过B作?O的切线,E为切点,已知BE=DE,BD=m,BE=n,AC,CE的长是关于x的方程x+px+q=02
的两个根.
图代2-1-15
(1)求证:AC=BD;
(2)用含m,n的代数式分别表示p和q;
(3)如果关于x的方程22qx,(m,mp)x,1,0有两个相等的实数根,且?DEB=30
?,求?O的半径. 2
48.已知如图,?M交x轴正半轴于A(x,0),B(x,0)(x
计划一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数时,若设城镇现有人口x万人,则农村现有人口为 万人,所列方程为 .
227.把5x-2x+1化成a(x+m)+k的形式是 .
28.如果代数式y+7y+2与y-3的值相等,那么y= .
329.在实数范围内分解因式:a-2ab= .
2210.分解因式10xy,xy,3的结果等于 .
11.在10点钟到11钟之间,时钟的时针和分针互相重合,此时的准确时间是 .
12.某车间第一个月生产a个零件,第二个月比第一个月增产x%,第三个月比第二个月增产x%,则第三个月产量是 .
13.从1980年到本世纪末,我们工农业总产值要翻两番(即增长为原来的4倍).在这20年内,设每年工农业总产值比上一年增长率为x,依题意得关于x的方程是 .
14.一个两位数ab比它个位上的数的平方小2,个位上的数比十位上的数大3,这个两位数的一元二次方程是 .
15.某农户靠着8米长的围墙,用14米长的钢丝网作另外三边,围起一个面积是20米2的的长方形场地,这个长方形场地的长和宽分别是 .
二、选择题
216.在实数范围内分解因式x-4x+1,正确的结果是( )
A.(x-4)(x+1) B.(x,2,3)(x,2,3)
C.(x-5)(x+1) D.(x,2,3)(x,2,3)
2217.多项式2x+3xy-4y在实数范围内分解因式,正确的结果是( )
3,413,41 A.(x,y)(x,y) 44
,3,41,3,41 B.2(x,y)(x,y) 44
,3,41,3,41 C.2(x,y)(x,y) 44
,3,41,3,41 D.(x,y)(x,y) 44
218.若x+3x+a是完全平方式,则a等于( )
99 A.0 B.1 C. D. ,44
7
219.多项式2x-5在实数范围内分解因式的
是( )
A.(2x,5)(2x,5)(2x,5)(2x,5) B.
C.(2x,5)(x,5)(2x,5)(x,5) D.
2220.方程x+px+q=0的根是x,1,5,则二次三项式x+px+q可分解可( )
A.(x,1,5)(x,1,5)(x,1,5)(x,1,5) B.
C.(x,5,1)(x,5,1) D.以上都不对
221.以方程x+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是( )
22 A.y,5y,6,0y,5y,6,0 B.
22 C.y,5y,6,0y,5y,y,0 D.
22.某货物以a元买入,加价p%后作为售出的定价,但是市场竞争激烈,卖不出去, 又决定按定价的q%降价出售,则降价后的售介(单位:元)是( )
A.a(1+p%)?q% B.a(1+p%?q%)
C.a(1+p%)(1-q%) D.a?p%?q%
23.大正方形的周长比小正方形的周长多24cm,而面积比是4?1,这两个正方形的边 长(cm)分别是( )
A.8和2 B.8和4 C.12和6 D.12和3
24.某小化肥厂一月份生产化肥500吨,后来由于改进操作技术,使得第一季度共生产 化肥1750吨,则二、三月份平均每月的增产率(x)的方程是( )
A.500(1+x)22=1 750 B.500+500(1+x)=1 750
22 C.500(1+x)+500(1+x)=1 750 D.500+500(1+x)+500(1+x)=1 750
25.两个连续奇数的积为143,则这两个数的和等于( )
A.-24 B.24 C.24或-24 D.-2
112226.关于x的方程2x+ax+b=0的两根为,则二次三项式可分解为,,2x,ax,b23
( )
1111 A.(x,)(x,) B.(x,)(x,) 2323
1111 C.2(x,)(x,) D.2(x,)(x,) 2323
27.关于x的一元二次方程的二次项系数是2,两根为2,5和2,5,则相应的二次三项式在实数范围内分解因式的结果为( )
A.(x,2,5)(x,2,5)2(x,2,5)(x,2,5) B.
C.(x,2,5)(x,2,5)2(x,2,5)(x,2,5) D.
2228.设M,x,8x,22,N,,x,6x,3,那么M与N的大小关系是( )
8
A.M>N B.M
-1,=-1,<-1; 12.?2; 13.-5,2; 14.p=q;
12254115.-p,q; 16.-1; 17.-10; 18.9,3,; 19.; 20.. 45,2443二、选择题
21.D 22.C 23.B 24.A 25.D 26.B 27.B 28.D 29.B 30.C 31.A 32.C
33.C 34.C 35.C 36.D 37.A 38.C 39.B 40.A
三、解答题
241.证法(一):?α,β是一元二次方程mx,nx,p,0的两根.
2m,,n,,p,0, ?
2m,,n,,p,0. ? 由??得
,1,, ? m,np,
,1,. ? mnp,,
?+?得
11,,,,,,. mnmnp,,,,
n又,,,,,, m
,n
11nm? ,,,. m,,nm,,n,pmp证法(二):由根与系数关系得
10
n , ? ,,,,,m
p α?β. ? ,m
??m得
? mα+mβ=-n.
? mα+n=-mβ.
? mβ+n=-mα.
11 ,,. m,,nm,
11? ,,. m,,nm,
,,1111? ,,,,,,,,,,m,nm,nm,m,,,
,,,,,,,m
n,m ,, m,p/m
n,.mp
11证法(三):左边 ,,m,,nm,,n
,,m,n,m,n,,,()()m,nm,n
,,()2 m,,n ,22,,,,m,mn,mn,n
,,()2m,,n,,22()m,,,mn,,,,n
np? ,,,,,,,,,, mm
n,,m,,,2n,,m,,? 左边 ,pn,,22m,,mn,,n,,mm,,
11
n,22mp,n,n n.,mp
? 左边=右边.
11n? ,,. m,,nm,,nmp
证法(四):?α,β是方程的两根,
np? α+β. ,,,,,,mm
2m,,,n,p,0, 2m,,n,,p,0.
,,(m,n),,p,? ,(m,,n),,p
11,,,(m,n)p,,? 11,,.(m,n)p,,
1,,,,m,,np? ,1,,.m,,np
11,,,? ,,,. mnmnp,,,,
n? ,,,,,. m
11n? ,,. m,,nm,,nmp
n证法(五):右边 ,22mp,n,n
n,,m,,2n,,m,, . ,22m,p/m,mn(,n/m),n
12
,,m(,),2n? 右边 ,22m,,,mn(,,,),n
m,n,m,n,,,(m,n)(m,n),, 11,,.m,,nm,,n? 左边=右边.
11n? ,,. m,,nm,,nmp
22 42.解法一:?Δ=(3m-5)+96m
?m为任何实数,都有Δ>0.
x31? , ,x22
32? x?x, ,m,0122
x31? ,,. x22
x21? x,m?x. 12x2? x=?m. 2
3m,53? x+x=,x=x. 1212,42
m,335? ,x,x,. 2224?当x=m时,解得m=5; 2
当x=-m时,解得m=1. 2
? m=5或m=1.
x31解法二:同解法一得,,. x22
设x=3k,x=-2k. 12
3m,5? x+x=, 124
32 x?x=, 12,m2
3m,5k,? 4224k,m.
13
2化简,得 m-5m+5=0.
2? m-6m+5=0.
? m=1或m=5. 43.解:?方程有两等根,
2? b-4?4b=0. ? b(b-16)=0.
? b=0,b=16.
2当b=0时,方程y-(2-b)y+4=0,即
2 y-2y+4=0.
2 Δ=(-2)-4?1?4
=4-16
=-12<0,无实数根;
2当b=16时,方程y-(2-b)y+4=0,即
2 y-14y+4=0.
2?y,y是方程y-14y+4=0的两根, 12
y,y,14,12? yy,4.12
?所作方程为
2. ,,z,y,y,yy,01212
2? ,, y,y12
,y,y,2y,y1212
,14,24
,18,
? , y,y,3212
. y,y,4,212?所作方程为
2z,32z,2,0. 44.解:(1)当k=0时,方程?化为-x-1=0, x=-1,方程有整数根.
当k?0时,方程?可化为
(x+1)(kx+k-1)=0
,k,11解得 x=-1,x==-1+. 12kk
?方程?的根是整数,
?k为整数的倒数.
?k是整数,
2?k=?1.此时Δ=(2k-1)-4k(k-1)=1>0.
14
2但当k=1时,(k-1)y-3y+m=0不是一元二次方程. ?k=1(舍去). ?k=0,k=-1.
2(2)当k=0时,方程?化为-y-3y+m=0.
?方程?有两个实数根.
9?Δ=9+4m?0,即m?,又m>-2, ,4
222?当m>-2时,y,y,(y,y),2yy,9,2m. 121212
2当k=-1时,方程?化为-2y-3y+m=0, 方程有两个实数根.
9?Δ=9+8m?0,即m?. ,8
9?m>-2,?当-20,连结OD,OE, 22
又??DEB=30?,?BEO=90?, 2
??OED=60?. 2
??OED是等边三角形. 2
?OE=DE=BE=2, 2
即?O的半径是2. 2
48.(1)证明:延长AM交?M于点P,连结DP. 由圆内接四边形的性质定理,得
?APD=?ACO. 而 ?CAO=90?-?ACO,
?DAM=90?-?APD, ? ?CAO=?DAM.
图12-1-23
(2)解:由条件知x
+x=p, 12
xx=q, 12
y+y=q-1, 12
? x+y+x+y=12, 1122
? p+q-1=12.
在?M中,由切割线定理的推论得
xx=yy1212 ? q=p-1.
联立??,解得p=7,q=6.
(3)证明:由(2),A,B,C,D的坐标分别为A(1,0),B(6,0),C(0,2),D(0,
3),
5可求得?M的半径长为2. 2
过点A分别作DM,CM的垂线AE,AF,垂足分别为点E和F,
延长DM交?M于点Q,连结AQ.
2可证?ADE??QDA,?DE=AD/DQ.
522222而AD,OD,OA,3,1,10,DQ,2,2,52, 2
103? DE,,2,EM,DM,DE,2. 252
19
52同理可得 , CF,,252
3222FA,AC,CD,, 2? EM=FA.
? ?AEM??MFA. 49.(1)证明:如图,PB切?O于B ,
PF平分?APB ,
?PBD=?A
?APE=?BPD
?PBD??PAE ,
PB/PA=BD/AEPA?BD=PB?AE. ,,
图代12-1-24
(2)证明:如图,
? ?BED=?A+?EPA,
?BDE=?PBD+?BPD, 又 ?PBD=?A,?EPA=?BPD, ? ?BED=?BDE. ? BE=BD.
?AE,BD的长是一元二次方程2x,kx,23,0的两根(k为常数),
? AE+BD=k
? AE+BD=AE+BE=AB=k.
即?O的直径为常数k.
(3)?PB切?O于B点,AB为直径,
? ?PBA=90? ? ?A=60?
3? PB,PA,sin60:,PA. 2又 PA?BD=PB?AE,
3? BD,AE. ? 2
20
2?AE,BD的长是一元二次方程x,kx,23,0的两根(k为常数), ? AE?BD,23. ? 由??解得AE=2,BD=3.
? AB=2+3.
在Rt?PBA中,PB=AB?tg60:,(2,3),3,3,23.
BE3在Rt?PBE中,tg?BPF. ,,,2,3PB3,23
? ?FPA=?BPF, ? tg?FPA=2-3.
50.解:令直角三角形的两直角边的长为a,b,依题意得
22,,,25,ab, ,,,3,abk,
,,,2.abk,
222a,b,(a,b),2ab
2 ,(k,3),2(k,2),25
2. k,8k,20,0
k,10,k,,2. 12
? k=-2(不合题意,舍去), ? k=10.
同步题库(二)
一、填空题
,,,,1,71,71.(x-x,,,,2x,x,)(x-x),a(x-x)(x-x); 2.; 3.(x+3y)(x+2y+ 1212,,,,22,,,,
21); 4.2,6 5.16πcm; 6.42-x,(1+0.8%)x+(1+1.1%)(42-x)=42(1+1%);
214,,7.a(a,2b)(a,2b)(2xy,1)(5xy,3)x,,; 8.-1或-5; 9.; 10.; 5,,55,,
6220211.10点(1,x),4分; 12.a(1+x%); 13.; 14.10a+(a+3)=(a+3)-2或5411210(b-3)+b=b-2; 15.5米,4米.
21
二、选择题
16.B 17.B 18.C 19.B 20.A 21.B 22.A 23.C 24.D 25.C 26.C 27.D
28.A 29.D 30.B
三、在实数范围内分解因式
231.. 3x,5x,1
2解:令. 3x,5x,1,0
25,(,5),4,3,1, x,2,3
5,13. x,6
513513,,? ;x,x,. 1266
5,135,132? 3513()()x,x,,x,x,. 66
2232.2x,7xy,2y.
22解:?方程2x,7xy,2y,0的根是
22,7y,(7y),4,2,(,2y), x,2,2
22,7y,49y,16y,4
,y,y765,,4
,7,65,7,65? xy;xy,,. 1244
,7,657,6522? 2x,7xy,2y,2(x,y)(x,y). 44
233.3x,5x,2m,1.
2解:令3x,5x,2m,1,0.
2则 ,,(,5),4,3(2m,1)
22
,25,12(2m,1)
,27,4m.
272(1)当27-4m?0即m?时,能在实数范围内因式分解. 3x,5x,2m,14
272(2)当27-4m<0即m>时,不能在实数范围内因式分解. 3x,5x,2m,14
4234.x,(4x,1).
4222解:x,(4x,1),(x,4x,1)(x,4x,1).
2令x,,2,3,可得, x,4x,1,0
2? x,4x,1,(x,2,3)(x,2,3). 2令x,2,5,可得, x,4x,1,0
2? x,4x,1,(x,2,5)(x,2,5).
22? x,(4x,1)
. ,(x,2,3)(x,2,3)(x,2,5)(x,2,5)
235.x,42x,6.
2解?方程x,42x,6,0的根是
2,,,,,42(42)416 x,2
42,22, 2
,22,2,
? x,32;x,2. 12
2? x,42x,6
,(x,32)(x,2). 四、应用题
36.解:设一年定期存款的年利率为x%,得
[2 000(1+x%)-1 000](1+x%)=1 155,
[1 000+2 000x%](1+x%)=1 155,
23
21 000+20x+10x+0.2x=1 155,
20.2x+30x-155=0,
2x+150x-775=0,
(x-5)(x+155)=0.
X=5,x=-155(舍去). 12
?一年定期存款的年利率为5%.
37.解:设每件商品售x元,才能使商店赚400元. 依题意,得:, (x,21)(350,10x),400
2, x,56x,775,0? x,25,x,31. 12
又? 21?(1+20%)=25.2, 而 x,25.2,x,25.2, 12
? x=31(舍去). ? x=25
当x=25时,. 350,10x,350,10,25,100
?该商店需要卖出100件商品,每件商品售价25元,才能使商店赚400元.
38.(1)解:设每件衬衫应降件x元,得
(40,x)(20,2x),1200,
2, x,30x,200,0
x,10,x,20. 12根据题意,,取20. x
?每件衬衫应降价20元.
(2)解法一:
商场每天盈利为
2(40,x)(20,2x),,2(x,15),1250. 当时,商场盈利最我,共1 250元. x,15
解法二:
设每件衬衫降价x元时,商场平均每天盈利y元,则
y,(40,x)(20,2x)
2 ,,2x,60x,800.
,b60当x,,,,15时, 2a2,(,2)
24
2,4acb,y 最大4a
24,(,2),800,60 ,4,(,2)
1 250(元). ,
39.解:设这箱甲种糖果有x千克,则
20x,160?, (x,5),80,17.5(x,10)x,1
2, 2.5x,10x,150,0
2. x,4x,60,0
x,10,x,,6. 12经检验,x,x都是原方程的根, 12
但不合题意,舍去. x,,6
?这箱甲种糖果有10千克.
640.解:设堤高x米,则堤顶面新增宽度为米,依题意,得 x25
166,,x,2,xx,9, ,,22525,,
92, x,925
2, x,25
(取正值,负舍). x,5
6 ? x,1.225故堤顶面新增宽度为1.2米.
25