高中物理竞赛教程：2（可编辑）

高中物理竞赛教程：2（可编辑） ?23抛体运动 2 (3 (1 曲线运动的基本知识 轨迹为曲线的运动叫曲线运动它一定是一个变速运动图2-3-1 示一质点作曲线运动它经过P 点时在P 点两旁的轨迹上取两点过三点可作一圆当这两点无限趋近于P 点时则圆亦趋近于一个定圆我们把这个圆叫P 点的曲率圆曲率圆的半径叫P 点的曲率半径曲率圆的圆心叫P 点的曲率中心曲率半径的倒数叫P 点的曲率如图2-3-1 亦可做出Q 点的曲率圆曲率半径大曲率小表示曲线弯曲较缓曲率半径小曲率大表示曲线弯曲厉害直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线 质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向如图2-3-2 所示质点在?t 时间内沿曲线由A 点运动到B 点速度由V 变化到VB 则其速度增量为两者之矢量差VB ―V 这个速度增量又可分解成两个分量在VB 上取一段AC 等于V 则?V 分解成?V 和?V 其中?V 表示质点由A 运动到B 的速度方向上的增量?V 表示速度大小上的增量 法向加速度a 表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢其大小为在A 点的曲率圆的向心加速度 其方向指向A 点的曲率中心切向加速度表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢方向亦沿切线方向其大小为 总加速度a 向加速度和切向加速度的矢量和 2 (3 (2 抛物运动是曲线运动的一个重要特例 物体以一定的初速度抛出后若忽略空气阻力且物体的运动在地球表面附近它的运动高度远远小于地球半径则在运动过程中其加速度恒为竖直向下的重力 加速度因此抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动 根据运动的叠加原理抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成常用的处理方法是 将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动 如图2-3-3 取抛物轨迹所在平面为平面抛出点为坐标原点水平方向为x 轴竖直方向为y 轴则抛体运动的规律为 其轨迹方程为 这是开口向下的抛物线方程 在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下飞行时间T 射程R 和射高H 分别为 抛体运动具有对称性上升时间和下降时间抛出点与落地点在同一水平面上相等一般地从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等上升和下降时经过同一高度时速度大小相等速度方向与水平方向的夹角大小相等 下面介绍一种特殊的抛体运动平抛运动 质点只在重力作用下且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动它可以看成水平方向上的匀速运动速度为v0 与竖直方向上的自由落体运动的合成 ?速度采用水平竖直方向的直角坐标可得其合速度的大小为其合速度的方向为设水平方向夹角为θ可见当时即表示速度趋近于自由落体的速度 ?位移仍按上述坐标就有仿上面讨论也可得到同样结论当时间很长时平抛运动趋近于自由落体运动 ?加速度采用水平和竖直方向直角坐标系有 用自然坐标进行分解如图2-3-4 其法向加速度为切向加速度为θ为速度与水平向方的夹角将速度在水平 与竖直方向的坐标系中分解可知 由此可知其法向加速度和切向加速度分别为 由上两式可以看出随着时间的推移法向加速度逐渐变小趋近于零切向加速度趋近于定值g 这表示越来越接近竖直下抛运动在生活中也很容易看到平抛物体的远处时就接近竖直下落了 运动的轨迹方程 从方程可以看出此图线是抛物线过原点且越大图线张开程度大即射程大根据运动的独立性经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理但有时也可以用其它的分解分法 抛体运动另一种常用的分解方法是分解沿方向的速度为的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动 如图2-3-5 所示从A 点以的初速度抛出一个小球在离A 点水平距离为s 处有一堵高度为h 的墙BC 要求小球能越过B 点 问小球以怎样的角度抛出才能使最小 将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动如图2-3-6 所示 在位移三角形ADB 在用正弦定理 ? ?轨迹由直角坐标的位移公式消去时间参数t 便可得到直角坐标系中的平抛运 由?式中第一个等式可得 ? 将?式代入?式中第二个等式 当有极大值1 时即时有极小值 因为 所以 当小球越过墙顶时y 方向的位移为零由?式可得 ?式代入式?我们还可用另一种处理方法 以AB 方向作为x 轴图2-3-7 这样一取小球在x y 方向上做的都是匀变速 运动了和g 都要正交分解到x y 方向上去 小球运动的方程为