高中数学教师说课稿范例--互为反函数的函数图象间的关系

高中数学教师说课稿范例--互为反函数的函数图象间的关系 课:互为反函数的函数图像间的关系 教材:人教版教材第一册上2.4反函数(第二课时) 学 校 依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下: 1、知识与技能:(1)了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关教 系，由已知函数的图像作出反函数的图像。 学 (2)通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 目 2、过程与方法:由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函标 数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引 导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。 3、情感态度价值观:通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美， 激发学生的学习兴趣。 重 根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，特点、归纳方法的点 探索认知过程。特确定: 重点:互为反函数的函数图像间的关系。 难 难点:发现数学规律。 点 教 创设情景， 习题精炼， 提出问题，学 结 引入新课 深化概念 探究问题 构 布置作业，总结反思， 承上启下 纳入系统 教学过程设计 创设情景，引入新课 1、复习提问反函数的概念。 〇学生活动 学生回答，教师总结(1)用y表示x(2)把y当自变量还是函数 提出问题，探究问题 一、画出y=3x-2的图像，并求出反函数。 (x,R) ?引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系, 〇学生活动 学生很容易回答 y，2 x,原函数y =3x-2中 反函数中 3 y:函数x:自变量 x:函数y:自变量 ?引导设问2在原函数定义域内任给定一个都有唯一的一个与之对应，即在，，,yyxx0000 原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上, 2，y0〇学因为=3-2成立，所以成立即(,)在反函数图像上。 ,yyxxx000003 ? 引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系,点B与点G什么关系,为什么,点B 再换一个位置行吗, 〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。 ?教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当，，在y =3 x-2图像,yx00变化时(,)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。 yx00 (x,R)?引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2的反函数的图像吗,怎么画, 〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。 ?引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系, 〇学生活动由前面容易得出(关于y=x对称) /?引导设问6若把当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁, l /〇学生活动由图中可以看出关于y=x相互对称所以他的反函数图像应是，另外由上节l,ll 课原函数与反函数互为反函数也可得。 ?引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上 3题的原理画出反函数的图像吗,如图是的图像，请你猜想出它的反函数图像。 y,x 〇学生活动由上题学生不难得出做y=x的对称图像(教师配合动画演示) ?引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系, ? 学生总结，教师补充 结论(1)一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于 y=x这条直线对称。(2)一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一 个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。 习题精炼，深化概念 2?引导设问9根据图像判断函数y,有没有反函数,为什么,对自变量加上什么条件才x 能有反函数, 〇学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量与同一个y,xx12 相对应，当我们用y表示x后，对一个y会有两个x与之对应，所以应加上自变量的范围，使得原函数是从定义域到值域的一一映射。如:加上x>0;x<0;x,,等等 ,,2,0,(2,，,) 1010 88 66 44 22 -10-5510-55101520BC -2-2 -4-4 10 8 6 4 2 -10-551015 -2 -4 -6 ?引导设问10什么样的函数具有反函数, ?教师引导学生总结 如果一个函数图像关于y=x对称后还能成为一个函数的图像，那么这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到值域的一一映射，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定有反函数。 2y,?引导设问11通过上图我们发现保留图像的单调增(减)的部分，那么它的反函数也x 为单调增(减)的。在看一下前面的几个例子你能得到什么样的结论, 〇学生活动通过观察学生容易得到“单调函数的反函数与原函数的单调性一致”然后教师进一步追问为什么,(由前面我们知道若一个函数存在反函数则x与y之间是一个对一个的关系，而原函数是增函数即x越大y也越大，当然y越大x也越大。) ?引导设问12由图中原函数的图像作出反函数的图像，并回答原函数的定义域值域与反函数的定义域值域有什么关系, 〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。 总结反思，纳入系统: 内容总结: 1、在原函数图像上，那么(,)在反函数图像上。 ，，,yyxx0000 2、与(,)关于y=x对称。 ，，,yyxx0000 3、原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。 思想总结: 由特殊到一般的思想，数形结合的思想 布置作业，承上启下 ? 说明:教材中对反函数(第二课时:互为反函数的函数图像间的关系)的处理是通过画几个特殊的函数图像得出一般结论的。我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。而我对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下(不严密证明)利用在原函数图像，，,yx00上，那么(,)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究与(,)的关系。，，,yyyxxx000000经讨论研究可得出结论“，，与(,)关于y=x对称”。进而通过任意点的对称得出,yyxx0000 原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学 (x,R)中经常用到的方法。具体操作大致如下:首先请学生画出y=3x-2的图像，并求出反函数，然后提出问题1:原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系,学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即:原函数y =3x-2中 y，2 x,y:函数x:自变量，反函数中x:函数y:自变量。问题2:在原函数定义域3 内任给定一个都有唯一的一个与之对应，即在原函数图像上，那么哪一点在y，，,yx0x000 反函数图像上,对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(,)在反函数图像上。yx00 问题3:若连结B，G(,)，则BG与y=x什么关系,点B与点G什么关系,为什，，,yyxx0000 么,点B再换一个位置行吗,对于这个问题的设计重在帮助学生理解与(,)，，,yyxx0000为什么关于y=x对称，突出本课重点和难点。其它环节具体见教案。 4.3 任意角的三角函数,二, ——三角函数线 教材:人教版高中《数学》第一册(下)第四章第三节 授课教师: 教学背景: 1(教材地位分析:三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，„„可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具. 2(学生现实分析:学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验. 教学目标: 1(知识目标: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2(能力目标: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力. 3(情感目标:激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境. 教学重点难点: 1(重点:三角函数线的作法及其简单应用. 2(难点:利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来. 教学方法与教学手段: 1(教法选择:“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学. 2(学法指导:类比、联想，产生知识迁移;观察、实验，体验知识的形成过程;猜想、求证，达到知识的延展. 3(教学手段:本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能. 教学过程: 一、设置疑问,实验探索(17分钟) 教学过程 设计意图 教 学 环 节 ,设 前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值既可以引出单位 l置 圆，又可以使学生通过,,，其中是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的,lr 半径.特别地, 当r =1时，,此时的圆称为单位圆，这疑 类比联想主动、快速的,,l 样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝探索出三角函数值的几问, 点明对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正何形式. 主题 切函数值呢,这就是我们今天一起要研究的问题. 概 相关概念的学习分有向线段,带有方向的线段. 念 散了教学难点,使学生能,1,方向,按书写顺序，前者为起点，后者为终点，学 够更多的围绕重点展开由起点指向终点. 习,如,有向线段OM,O为起点，M为终点，由O点指向探索和研究. 分 M点. 散 O M ,动态演示, 难 (2) 数值,,只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向点 线段, 绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值; 与坐标轴反向，取负值.如, y OM= 1, P 1 ON= -1, 2N M 1 AP = A -1 1 x O 2 实验美国华盛顿一所大,1.(复习提问)任意角的正弦如何定义? ,探 角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是,,，学有句名言:“我听见了,x,y y,索, 它与原点的距离是r, 比值叫做的正弦. 就忘记了;我看见了,就r 辨析,思考:能否用几何图形表示出角的正弦呢? 记住了;我做过了,就理研讨 学生联想角的弧度数与弧长的转化, 类比猜测:若令解了.”要想让学生深刻 理解三角函数线的概,sin,,yr=1，则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P 念，就应该让学生主动y,sin,x作轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=.(学生 去探索，大胆去实践，分析的同时,教师用几何画板演示) 亲身体验知识的发生和请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位 发展过程. 置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正 x弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴上时,有向线段 MP变成一个点,记数值为0. ,这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线. ,2.思考:用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?并说 明理由. 请学生用几何画板演示说明. ,有向线段OM叫做角的余弦线. 教学已经不再是把y 3. ,如何用有向线段表示, tan, x教师或学生看成孤立的 讨论焦点, 个体，而是把他们的教 y α的终边 x若令=1, 则 ’和学看成是相互影响的的终边 αT P tan,,y‘ 二、=AT，但是第T ‘ A辩证发展过程.在和谐的A 三象限角的终边上没有横M 1 -1 O x 氛围中，教师和学生都(T) 坐标为1的点，若此时取 处在自由状态，可以不 ‘‘‘受框框的束缚，充分表,x=-1的点T，tan=-=TA,有向线段的表示方法又不能y 达各自的意见，在自己统一. 引导观察, 积极思维的同时又能感 当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关受他人不同的思维方 系, 式，从而打破自己的封 统一认识, 闭状态，进入更加广阔 的领域. x1,在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点 ,T，则tan==AT, y 方案2,借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到 yMPAT ,,=. ,ATtan,xOMOA 几何画板演示验证: ,,当角的终边落在坐标轴上时，tan与有向线段AT的 对应. ,这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线. 二、作法总结,变式演练(13分钟) 教学过程 设计意图 教 学 环 节 作法正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 总结 及时归纳总结，加请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演 深知识的理解和记忆. 示(一学生描述,同时用电脑演示), ,第一步,作出角的终边，与单位圆交于点P, 第二步,过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线 MP、余弦线OM, ,第三步,过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边 ,或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT. 特别注意,三角函数线是有向线段，在用字母表示这些 线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不 能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与 坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点,1，0,. 变式练习,利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、巩固练习,准确掌握演正切线, 三角函数线的作法. 13,,5 练, ,1,; ,2,. , 66 提高学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函 能力 逆向思维,灵活运用数线的位置和方向. ,三角函数线,并为利用三例1 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边, 角函数线求解三角函数11,,sin,cos,,,1,, ,2,, 22 不等式(组)作铺垫. tan,,1,3,. ,x,y共同分析,1,，设角的终边与单位圆交于P(),则 1,sin,ysin, =,所以要作出满足的角的终边，只要在单位2 1 ,,几圆上找出纵坐标为的点P，则射线OP即为的终边. 2 何画板动态演示, 请学生分析,2,、(3),同时用几何画板演示. 数形结合思想表现,例2 利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的 ,范围，并由此写出角的集合, 在由数到形和由形到数 两方面.将任意角的正11sin,cos,,1,? ; ,2,?- . 22 弦、余弦、正切值分别11cos,,分析,先作出满足 ，的角的终边sin,,,22用有向线段表示出来体 ,(例1已做)，然后根据已知条件确定角终边的范围.,几 现了由数到形的转化, 何画板动态演示, 借助三角函数线求解三5,,,,,1,{}. 2k，,,2k，,k,Z,,,66角函数方程和不等式又24,,,,2,{}. 2k，,,2k，,k,Z,,,33发挥了由形到数的巨大 延伸,通过,1,、,2,两图形的复合又可以得出不等式 作用. 1,,sin,;,,2组的解集, ,1,,cos,,.,2, 25,,,{2k，,,2k，,k,Z}. ,,,36 三、思维拓展,论坛交流(10分钟) 教学过程 设计意图 教 学 环 节 思 给学生建设一个开观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学 维 放的、有活力、有个性知识，你能发现什么规律,得出哪些结论,请说明你的观点和 拓 理由,并发表于焦作一中教育论坛 (bbs.jzyz.jzedu.cn). 的数学学习环境.论坛 交流既能展示个人才展,学生得出的结论有以下几种, 22论坛,,(1) sin + cos = 1; 华,又能照顾到各个层交流 ,,(2)?sin? + ?cos ??1; 次的学生.来自他人的 信息为自己所吸收，自,(3) -1?sin,?1, -1?cos,?1, tan?R; 己的既有知识又被他人(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相 的视点唤起，产生新的等,正弦、余弦值互为相反数; (5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正思想.这样的学习过程 使学生在轻松达成一个切值逐渐增大，余弦值逐渐减小; 个阶段目标之后，顺利,(6) 当角的终边在直线的右下方时, sin,cos y,x 到达数学学习的新境,,,;当角的终边在直线的左上方时, sin,cos ; y,x „„ 界. 四、归纳小结,课堂延展(5分钟) 教学过程 设计意图 教 学 环 节 归 回顾三角函数线作1.回顾三角函数线作法. 纳 2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要法,再次加深理解和记小 工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对忆.点明三角函数线在其结 应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们他方面的应用,以及数形 解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性结合思想,便于学生在后 质的基础. 续学习中更深入的思考, 更广泛的研究. 巩固作业:习题4.3 1,2 巩固提升练习, 既能保证全体学生 创1. 已知,，那么下列命题成立的是, , 的巩固应用，又兼顾学sin,,sin, ,,A,若、是第一象限的角，则cos>cos. 有余力的学生，同时将,,新, ,,课 B. 若、是第二象限的角，则tan>tan. 探究的空间由课堂延伸,, ,,堂 C. 若、是第三象限的角，则cos>cos. ,,到课外. ,,延 D. 若、是第四象限的角，则tan>tan. ,, 展 2,求下列函数的定义域, 22cosx,1,1, y = ; (2) y = lg(3,4sinx) . 延展作业: 1. 类比正切线的作法，你能作出余切线吗, 2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结 论,你还能得出哪些结论,请大家继续在论坛上交流. 3.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突 出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流. 说明: 1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用. “让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题;网络论坛可以让他们充分交流，相互学习.为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高. 2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法. 课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动. 3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学. 苏霍姆林斯基说过:“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们 对整个学习过程充满激情，快乐学数学～