海伦公式
(海伦公式)已知三角形三条边长,求面积
2008年12月14日 星期日 上午 11:39
海伦公式:
S=(?)=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.
,,,,以下转自百度百科,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦,秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形
的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发
(未查证)。 我
国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2
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注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=?[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
证明(1):
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*?(1-cos^2 C)
=1/2*ab*?[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*?[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*?[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*?[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明(2):
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积,直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即
。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以?、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P,1时,? 2,q,
S?=?{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S?=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦,秦九韶公式”。
S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8? 3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设?ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为?ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则
S?ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中,S?ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ?
= ?
= ?
= ?
= ?
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S?ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha?BC,根据勾股定理,得:
x = y =
ha = = =
? S?ABC = aha= a× =
此时S?ABC为变形?,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:?ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明:由证一可知,u = v =
? ha 2 = t 2 = ,
? S?ABC = aha = a ×
=
此时为S?ABC的变形?,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形? S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 ,2abcosC 对其进行证明。
证明:要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式
分析:考虑运用S?ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式:若?A+?B+?C =180?那么
tg ? tg + tg ? tg + tg ? tg = 1
证明:如图,tg = ?
tg = ?
tg = ?
根据恒等式,得:
+ + =
???代入,得:
?r2(x+y+z) = xyz ?
如图可知:a,b,c = (x+z),(x+y),(z+y) = 2x
?x = 同理:y = z =
代入 ?,得: r 2 ? =
两边同乘以 ,得:
r 2 ? =
两边开方,得: r ? =
左边r ? = r?p= S?ABC 右边为海伦公式变形?,故得证。
证五:半角定理
半角定理:tg =
tg =
tg =
证明:根据tg = = ?r = × y ?
同理r = × z ? r = × x ?
?×?×?,得: r3 = ×xyz
?由证一,x = = ,c = p,c
y = = ,a = p,a
z = = ,b = p,b
? r3 = ? r =
?S?ABC = r?p = 故得证。
三、 海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的
四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长DA,CB交于点E。
设EA = e EB = f
??1+?2 =180? ?2+?3 =180?
??1 =?3 ??EAB,?ECD
? = = =
解得: e = ? f = ?
由于S四边形ABCD = S?EAB
将?,?跟b = 代入公式变形?,得:
?S四边形ABCD =
所以,海伦公式的推广得证。
四、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
求:四边形可能为等腰梯形。
解:设BC = x
由海伦公式的推广,得:
(4,x)(2,x)2 =27
x4,12x2,16x,27 = 0
x2(x2—1),11x(x,1),27(x,1) = 0
(x,1)(x3,x2,11x,27) = 0
x = 1或x3,x2,11x,27 = 0
当x = 1时,AD = BC = 1
? 四边形可能为等腰梯形。