第10章 电路方程的矩阵形式

第10章电路方程的矩阵形式重点割集及独立割集的确定方法；关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵及KCL、KVL的矩阵形式；3.回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式。10.1电路的图1.电路的图R4R1R3R2R5uS+_i抛开元件性质一个元件作为一条支路元件的串联及并联组合作为一条支路65432178543216有向图(1)电路的图的定义(Graph)G={支路，结点}电路的图是用以表示电路几何结构的图形。（2）连通图图G的任意两节点间至少有一条路径时称为连通图(从图中任一结点出发，沿着支路总能到达其余所有结点)，非连通图至少存在两个分离部分。(3)树(Tree)(1)连通（从一结点出发可以到达其他结点）(2)包含所有结点(3)不含闭合路径（有至少一个结点只关于一条支路的）树支：构成树的支路连支：不属于树的支路2）树支的数目是一定的：连支数：不是树树特点1）对应一个图有很多的树1-=nbt)(1--=-=nbbbbtlb为支路数，n为结点数回路(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路12345678253124578不是回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数特点1）对应一个图有很多的回路3）对于平面电路，网孔数为基本回路数基本回路(单连支回路)12345651231236支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数结论结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连支若将割集中的支路全部移去，将图G分为两个部分，但如果少移去其中的一条支路，图仍然是连通的。割集例判断3456是否为割集由树来确定独立割集的方法树单树支割集独立割集例1解：{3，4，5，6}不是割集。例解：以1，6，3为树支，则独立割集为：{1，4，5}，{2，4，6}，{2，3，5}由树来确定独立割集的方法独立割集（基本割集）：只含有一个树支的割集1.关联矩阵[A]描述结点n和支路b的关联矩阵ajk1支路k与结点j相关联，且支路k的参考方向背离结点j-1支路k与结点j相关联，且支路k的参考方向指向结点j0支路k与结点j无关联全结点关联矩阵【Aa】nb§15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1。矩阵中所有行的元素按列相加就得到一行全为零的元素。全结点关联矩阵【Aa】的特点：123456①②③④关联矩阵参考结点关联矩阵【A】有向拓扑图一一对应结论每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1。矩阵中所有行的元素按列相加就得到一行全为零的元素。全结点关联矩阵【Aa】的特点：123456①②③④关联矩阵参考结点关联矩阵【A】有向拓扑图一一对应结论给定关联矩阵【A】，试画出有向图。例关联矩阵表示的支路电流列向量、支路电压列向量、结点电压列向量之间的关系支路电流列向量:[A][i]=结论一：KCL的矩阵形式[A][i]=0以④为参考结点支路电压列向量:结点电压列向量:反映了支路电压与结点电压之间的关系描述支路b与回路l的关联矩阵bjk1支路k与回路j相关联，且支路k的参考方向与回路j参考方向相同-1支路k与回路j相关联，且支路k的参考方向与回路j参考方向相反0支路k与结点j无关联2.回路矩阵Bf树单连支回路独立回路由树来确定独立回路的方法基本回路矩阵[Bf]l*b其中l=b-(n-1)123456l1l2l3=[1lBt]以456为树确定基本回路矩阵列写基本回路矩阵[Bf]，规定：1、支路排列顺序为先连支后树支；2、回路的先后顺序与连支的先后顺序一致；且以该连支的参考方向作为回路的参考方向例结论一:矩阵形式的KVL：[B][u]=0[Bf][u]=123456l1l2l3=0支路电流列向量:反映了各支路电流与回路电流之间的关系3.基本割集矩阵Qf描述支路与割集的关联矩阵qjk1支路k与割集j相关联，且支路k的参考方向与割集j参考方向相同-1支路k与割集j相关联，且割集k的参考方向与回路j参考方向相反0支路k与割集j无关联树单树支割集独立割集由树来确定独立割集的方法基本割集矩阵[Qf](n-1)*b列写单树支割集规定：(1)先连支再树支；(2)割集的先后顺序与树支的先后顺序一致；(3)割集的参考方向与树支参考方向一致。123456C1C2C3=[Bl1t]结论一：广义KCL的矩阵形式[Qf][ib]=0支路电流列向量:[Qf][i]=123456C1C2C3设树支电压（或基本割集电压）ut=[u4u5u6]T反映了各支路电压与树支电压（割集电压）之间的关系§10.3结点电压方程的矩阵形式复合支路注意事项为独立电流源的电流为独立电压源的电压为元件的导纳（阻抗），它只能是电阻、电感、电容元件之一而不能是它们的组合为第k条支路电压、电流为第k条支路受控电流源电流流入端为正，流出端为负情况一：电路中无受控源对于第K条支路写成矩阵形式[支路导纳矩阵]其中[Y]=diag[Y1Y2……Yb]其中[Y]=diag[Y1Y2……Yb]两边同时左乘关联矩阵A[A][i]=0=0[Yn]称为结点导纳矩阵结点电压方程的矩阵形式按照系统的方法建立矩阵形式的结点电压方程。例解：电压源列向量电流源列向量支路导纳矩阵结点导纳矩阵标准结点电压方程矩阵形式支路电压方向与电压源方向相反取正，相同取负。电流源类似。情况二：电路含有受控源对于第K条支路写成矩阵形式vccs时Ykj=gkjcccs时Ykj=BYjk为受控源所在电路j为控制源所在电路电路及各支路参考方向如图所示，已知电源的角频率为ω，选择④为参考结点，试写出关联矩阵、独立电压源列向量、独立电流源列向量及支路导纳矩阵。例解：电压源列向量电流源列向量支路导纳矩阵§10.4回路电流方程的矩阵形式两边同时左乘回路矩阵[Bf]=0[Zl]称为回路阻抗矩阵回路电流方程的矩阵形式[B][u]=0电路及有向图如图所示，以支路4、5、6为树支，建立矩阵形式的回路电流方程。已知：例解：选择单连支回路作为独立回路，基本回路矩阵Bf为电压源列向量电流源列向量支路阻抗矩阵回路阻抗矩阵回路电流方程的矩阵形式为§10.5割集电压方程的矩阵形式两边同时左乘割集矩阵[Qf]=0[Yt]称为割集导纳矩阵割集电压方程的矩阵形式电路及各支路参考方向如图所示，电源的角频率ω，试建立矩阵形式的割集电压方程。例解：选择各支路的参考方向，画出有向图，选取支路1、2、3为树支，其他支路为连支，画出单树支割集及割集的参考方向如(b)所示。基本割集矩阵为电压源列向量电流源列向量由于电路中不包括互感和受控电源，因此支路导纳矩阵为一对角线阵割集导纳矩阵割集电压（树支电压）列向量回路电流方程的矩阵形式为矩阵形式割集电压方程