排列组合、二项式定理与概率及统计

主讲人：黄冈中学高级教师　汤彩仙一、复习策略　　排列与组合是高中数学中从到方法都比较独特的一个组成局部，是进一步学习概率论的根底知识，该局部内容，不管其思想方法和解都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复〞或“遗漏〞的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题．　　二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的根底知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．　　概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好根底，做好铺垫．学习中要注意根本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．　　纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占１２分左右．　　排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考察有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：(１)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(２)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(３)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔４〕某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法〞；〔５〕某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法〞；　　在求解排列与组合应用问题时，应注意：　　(１)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；　　(２)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；　　(３)分析题目条件，防止“选取〞时重复和遗漏；　　(４)列出式子计算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题　　解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素〔或特殊位置〕，再考虑其他元素〔或位置〕；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例１、〔０８安徽理１２〕１２名同学合影，站成了前排４人后排８人．现摄影师要从后排８人中抽２人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是〔　〕　　　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．解：　　从后排８人中选２人共种选法，这２人插入前排４人中且保证前排人的顺序不变，那么先从４人中的５个空挡插入一人，有５种插法；余下的一人那么要插入前排５人的空挡，有６种插法，故为；综上知选C．例２、〔０８湖北理６〕将５名志愿者分配到３个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的种数为〔　〕　　　A．５４０　　　　B．３００　　　　C．１８０　　　　　D．１５０解：　　将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，所以共有种方案，故D正确．例３、四棱锥的８条棱代表８种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的４个仓库存放这８种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为〔　〕A．９６　　　　　B．４８　　　　C．２４　　　　　D．０解：　　由题意分析，如图，先把标号为１，２，３，４号化工产品分别放入①②③④４个仓库内共有种放法；再把标号为５，６，７，８号化工产品对应按要求平安存放：７放入①，８放入②，５放入③，６放入④；或者６放入①，７放入②，８放入③，５放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．应选B．例４、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：　　连成两条异面直线需要４个点，因此在正方体８个顶点中任取４个点有种取法．每４个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件得去掉.因为在６个外表和６个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的４点可构成四面体，而每个四面体有３对异面直线，故共有对．解法二：　　一个正方体共有１２条棱、１２条面对角线、４条体对角线，计２８条，任取两条有种情况，除去其中共面的情况：〔１〕６个外表，每个面上有６条线共面，共有条；〔２〕６个体对角面，每个面上也有６条线共面，共有条；〔３〕从同一顶点出发有３条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=１７４对．题型二：求展开式中的系数例５、〔０８广东理１０〕〔是正整数〕的展开式中，的系数小于１２０，那么__________．解：　　按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取１．例６、假设多项式，那么a９等于〔　〕　　　A．９　　　　B．１０　　　　C．－９　　　　　D．－１０解：　　　　=　　∴．例７、展开式中第６项与第７项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：　　，依题意有，∴n=８．那么展开式中二项式系数最大的项为．　　设第r＋１项系数的绝对值最大，那么有　　．　　那么系数绝对值最大项为．例８、求证：．证：〔法一〕倒序相加：设①　　又∵　　　②　　∵，∴，　　由①＋②得：，∴，　　即．　　〔法二〕：左边各组合数的通项为，　　∴．　　〔法三〕：题型三：求复杂事件的概率例９、〔０８福建理５〕某一批花生种子，如果每１粒发芽的概率为，那么播下４粒种子恰有２粒发芽的概率是〔　〕　　　A．　　　　B．　　　C．　　　　D．解：由．例１０、甲、乙两个围棋队各５名队员按事先排好的顺序进展擂台赛，双方１号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员２号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进展下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，那么甲方有４名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？解：　　根据比赛规那么可知，一共比赛了９场，并且最后一场是甲方的５号队员战胜乙方的５号队员，而甲方的前４名队员在前８场比赛中被淘汰，也就是在８次独立重复试验中该事件恰好发生４次的概率，可得，又第９场甲方的５号队员战胜乙方的５号队员的概率为，所以所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例１１、某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.假设该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．〔例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为　　〔１〕请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；　　〔２〕假设记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：　　〔１〕记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P１为=１－[１－P〔AC〕][１－P〔CD〕][１－P〔DB〕]=１－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P２为１－P〔〔小于〕．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P３为１－P〔〔小于〕．　　显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．　　〔２〕路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为０，１，２，３．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例１２、如下图，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比方，甲在处时可以沿、、三个方向移动，概率都是；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率都是，小蚂蚁每秒钟移动的距离为１个单位．　　(Ⅰ)假设甲、乙两只小蚂蚁都移动１秒钟，那么它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？　　(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动３秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：　　(Ⅰ)甲蚂蚁移动１秒可以有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C１C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C１C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；　　甲蚂蚁移动１秒可以有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，那么乙应走，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，所以距离为的概率为．　　(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动３秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、所以其概率为，所以三秒后距离期望值为．例１３、〔０８湖北理１７〕袋中有２０个大小一样的球，其中记上０号的有１０个，记上n号的有n个〔n=１，２，３，４〕.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．　　〔Ⅰ〕求ξ的分布列，期望和方差；　　〔Ⅱ〕假设η=aξ－b，Eη=１，Dη=１１，试求a，b的值．解：〔１〕的分布列为：０１２３４所以．　　〔２〕由，得，即，又，所以当时，由，得；当时，由，得．　　，或，即为所求．题型五：统计知识例１４、〔０８广东〕某校共有学生２０００名，各年级男、女生人数如下表．在全校学生中随机抽取１名，抽到二年级女生的概率是０.１９．现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔　〕　二年级三年级女生３７３男生３７７３７０A．２４　　　　　B．１８　　　　　C．１６　　　　　　D．１２解：　　依题意我们知道二年级的女生有３８０人，那么三年级的学生的人数应该是５００，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例１５、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．成绩在９０分以上〔含９０分〕的学生有１２名．　　〔Ⅰ〕试问此次参赛学生总数约为多少人？　　〔Ⅱ〕假设该校方案奖励竞赛成绩排在前５０名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的〔局部〕正态分布表．０１２３４５６７８９０.９８３４解：　　〔Ⅰ〕设参赛学生的分数为，因为～N(７０，１００)，由条件知，　　P(≥９０)＝１－P〔<９０〕＝１－F(９０)＝１－　　　　　　＝１－(２)＝１－０.９７７２＝０.０２２８．　　这说明成绩在９０分以上〔含９０分〕的学生人数约占全体参赛人数的２.２８%，因此，参赛总人数约为≈５２６〔人〕．　　〔Ⅱ〕假定设奖的分数线为x分，那么　　P(≥x)＝１－P〔