基本求导积分
f'(c) = 0
f'(x^n) = nx^(x-1)
f'(1/x) = -1/x^2
f'(?x) = 1/2?x
f'(?x) = 1/x
f'(?ax) = 1/x?a (a为底)
f'(a^x) = a^x * ?a
f'(e^x) = e^x
f'(sinx) = cosx
f'(cosx) = -sinx
f'(tanx) = (sec^2)x = 1/(cos^2)x f'(cotx) = -(csc^2)x = -1/(sin^2)x f'(secx) = cesx * tanx
f'(cscx) = -cscx * cotx
f'(arcsinx) = 1/?(1-x^2)
f'(arccosx) = -1/?(1-x^2)
f'(arctanx) = 1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'
证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,?y=c-c=0,lim?x?0?y/?x=0。 2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的第 1 页 共 13 页
一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
?y=a^(x+?x)-a^x=a^x(a^?x-1)
?y/?x=a^x(a^?x-1)/?x
如果直接令?x?0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β,a^?x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:?x=loga(1+β)。
?x-1)/?x,β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 所以(a^
显然,当?x?0时,β也是趋向于0的。而limβ?0(1+β)^1/β=e,所以limβ?01/loga(1+
β=1/logae=lna。 β)^1/
把这个结果代入lim?x?0?y/?x=lim?x?0a^x(a^?x-1)/?x后得到lim?x?0?y/?x=a^xlna。
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
?y=loga(x+?x)-logax=loga(x+?x)/x=loga[(1+?x/x)^x]/x
?y/?x=loga[(1+?x/x)^(x/?x)]/x
因为当?x?0时,?x/x趋向于0而x/?x趋向于?,所以lim?x?0loga(1+?x/x)^(x/?x),logae,所以有
lim?x?0?y/?x,logae/x。
可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
?y=sin(x+?x)-sinx=2cos(x+?x/2)sin(?x/2)
?y/?x=2cos(x+?x/2)sin(?x/2)/?x=cos(x+?x/2)sin(?x/2)/(?x/2) 所以lim?x?0?y/?x=lim?x?0cos(x+?x/2)•lim?x?0sin(?x/2)/(?x/2)=cosx 6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
第 2 页 共 13 页
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/?1-sin^2y=1/?1-x^2 10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/?1-cos^2y=-1/?1-x^2 11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复
合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
1(基本求导公式
nn,1,,,1,,,? (C),0(C为常数)? ;一般地,。 (x),nx(x),x,
1112,,,,(),,(x),特别地:,,,。 (x),1(x),2x2xx2x
xxxx,,? ;一般地,。 (a),alna (a,0,a,1)(e),e
11,,(lnx),(logx), (a,0,a,1)? ;一般地,。 axxlna
2(求导法则 ? 四则运算法则
第 3 页 共 13 页
,,,设f(x),g(x)均在点x可导,则有:(?); (f(x),g(x)),f(x),g(x)
,,,,,,特别(为常数); (?)C(f(x)g(x)),f(x)g(x),f(x)g(x)(Cf(x)),Cf(x)
,,,f(x)f(x)g(x),f(x)g(x)1()gx,,(?),特别。 (),, (g(x),0)(),,22g(x)gx()g(x)gx()
,,3(微分 函数在点x处的微分: yfx,()dyydxfxdx,,()4、 常用的不定积分公式
231xx,,,12xdx,x,C (,,,1),dx,x,c,xdx,,c,xdx,,,,,,123,(1) ; 4x3xdx,,c,4
xa1xxxdx,ln|x|,Cedx,e,Cadx,,C (a,0,a,1)(2) ; ; ; ,,,xlna
kf(x)dx,kf(x)dx(3)(为常数) k,,
5、定积分
bb fxdxFxFbFa()()|()(),,,a,a
bbb? [kf(x),kg(x)]dx,kf(x)dx,kg(x)dx1212,,,aaa
? 分部积分法
,,设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数u(x),v(x),则
bbb u(x)dv(x),u(x)v(x),v(x)du(x),,aaa
6、线性代数
特殊矩阵的概念
10?0,,
,,001001?0,,,,,,O,I,,,(1)、零矩阵 (2)、单位矩阵二阶 I,2,22,2n,,,,,,0001????,,,,,,00?1,,
a0?0,,1212,,,,?0a02,,,,a,a,A,1,3,5(3)、对角矩阵A,(4)、对称矩阵 ijji,,,,????,,2,57,,,,000an,,
第 4 页 共 13 页
aa?a?a00,,,,11121n1,,,,0a?a?0a02222n,,,,(5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 A,A,,,,,????????
,,,,000a000annn,,,,
aa?aaa?a,,,,11121n1121n1,,,,aa?aaa?a21222n1222n2T,,,,(6)、矩阵转置转置后 A,A,,,,,????????
,,,,aa?aaa?an1n2nn1n2nnn,,,,
abefa,eb,f,,,,,,6、矩阵运算 A,B,,,,,,,,,cdghc,gd,h,,,,,,
abefae,bgaf,bh,,,,,, AB,,,,,,,,cdghce,dgcf,dh,,,,,,
7、MATLAB软件计算
2x,,例6 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。 yy,ln(x,x,e)解:>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
x,例:试写出用MATLAB软件求函数的一阶导数的命令语句。 y,ln(x,e)y
>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x)+exp(x));
>>dy=diff(y)
231x例11 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。 edx,1x
解:>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y,1,2)
31xedx例 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。 ,x
解:>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y)
MATLAB软件的函数命令
表1 MATLAB软件中的函数命令
lnx函数 xaxxlgx log xex2
第 5 页 共 13 页
MATLAB x^a sqrt(x)exp(x)log(x)log10(x)log2(x)abs(x)
运算符号
运算符 + - * / ^
功能 加 减 乘 除 乘方
典型例题
,A调往销地B,B,B,B,运输平衡表(单位:吨)例1 设某物资要从产地A,A1231234和运价表(单位:百元/吨)如下表所示:
运输平衡表与运价表
销地 BB B B 供应量 BB B B 1 2341 234产地
A 7 3 11 3 11 1
A 4 1 9 2 8 2
A 9 7 4 10 5 3
需求量 3 6 5 6 20
(1)用最小元素法编制的初始调运
,
(2)检验上述初始调运方案是否最优,若非最优,求最优调运方案,并计算最低运输
总费用。
解:用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示:
运输平衡表与运价表
销地 B B B 供应量 BB B B B1 2341 234 产地
A 4 3 7 3 11 3 11 1
A 3 1 4 1 9 2 8 2
A 6 3 9 7 4 10 5 3
需求量 3 6 5 6 20
,,,,找空格对应的闭回路,计算检验数:,1,,1,,0,,,2 11222412
已出现负检验数,方案需要调整,调整量为1
调整后的第二个调运方案如下表:
运输平衡表与运价表
销地 BB B B 供应量 BB B B 1 2341 234产地
A 5 2 7 3 11 3 11 1
A 3 1 4 1 9 2 8 2
A 6 3 9 7 4 10 5 3
第 6 页 共 13 页
需求量 3 6 5 6 20
求第二个调运方案的检验数:,,,1 11
已出现负检验数,方案需要再调整,调整量为2
调整后的第三个调运方案如下表:
运输平衡表与运价表
销地 BB B B 供应量 BB B B 1 2341 234产地
A2 5 7 3 11 3 11 1
A 1 3 4 1 9 2 8 2
A 6 3 9 7 4 10 5 3
需求量 3 6 5 6 20
求第三个调运方案的检验数:
,,,2,,,1,,2,,1,,9,,12 ,,,221214233133
所有检验数非负,故第三个调运方案最优,最低运输总费用为:
2×3,5×3,1×1,3×8,6×4,3×5,85(百元)
例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产的甲、乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤;三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外,三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制,原材料每天只能供应180公斤,工时每天只有150台时。
1(试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。
2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
解:1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x件、x件和x件,显然x,x,x?0 123123
线性规划模型为
maxS,400x,250x,300x123
4x,4x,5x,180,123 ,6x,3x,6x,150,123
,x,x,x,0123,
(解上述线性规划问题的语句为: 2
>>clear;
>>C=-[400 250 300];
>>A=[4 4 5;6 3 6];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 第 7 页 共 13 页
2,1,,10,110,,,,,,T例3已知矩阵,求: A,,B,41,C,AB,C,,,,,,0121,2,,,,,,1,1,,
2,1,,10,110101121,,,,,,,,,,,,解: AB,C,41,,,,,,,,,,,,,,,,0121,26,10,26,3,,,,,,,,,,,,1,1,,
2 ,例4 设y,(1,x)lnx,求: y
21,x22,,,,(1,)ln,(1,)(ln),2ln,yxxxxxx解: x
xe,例5 设y,,求: y1,x
xxx,,(e)(1,x),e(1,x)xe,y,,解: 22(1,x)(1,x)例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元,每多生产1百台产品,总成本增加1万
2元,销售该产品百台的收入为(),4,0.5(万元)。当产量为多少时,利润最大,qRqqq
最大利润为多少,
解:产量为q百台的总成本函数为:C(q),q,2
2利润函数L(q),R(q),C(q),,0.5q,3q,2
令ML(q),,q,3,0 得唯一驻点 q,3(百台) 故当产量q,3百台时,利润最大,最大利润为
2L(3),,0.5×3,3×3,2,2.5(万元)
例8 某物流企业生产某种商品,其年销售量为1000000件,每批生产需准备费1000元,
而每件商品每年库存费为0.05元,如果该商品年销售率是均匀的,试求经济批量。
q1000000000C(q),,解:库存总成本函数 40q
11000000000,C(q),,,0令得定义域内的唯一驻点q,200000件。 240q
即经济批量为200000件。
1x(x,3e)dx例9 计算定积分: ,0
1115xx2(x,3e)dx,(x,3e),3e,解: |,0022
322例10 计算定积分: (x,)dx,1x
33212623解: (x,)dx,(x,2ln|x|),,2ln3|,11x33
教学补充说明
第 8 页 共 13 页
x 1. 对编程问题,要记住函数e,lnx,在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x),x
log(x),sqrt(x);
2 对积分问题,主要掌握积分性质及下列三个积分公式:
1aa,1(a?,1) dxx,x,c,1a,
xxedx,e,c ,
1 dx,ln|x|,c,x0 7. 记住两个函数值:e,1,ln1,0。
模拟试题
一、单项选择题:(每小题4分,共20分)
1. 若某物资的总供应量( C )总需求量,可增设一个虚销地,其需求量取总供应量
与总需求量的差额,并取各产地到该销地的单位运价为0,则可将该不平衡运输问题化为平
衡运输问题。
(A) 等于 (B) 小于
(C) 大于 (D) 不超过
2(某物流公司有三种化学原料A,A,A。每公斤原料A含B,B,B三种化学成分的1231123含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤;每公斤原料A含B,B,B的含量分别为0.12123公斤、0.3公斤和0.6公斤;每公斤原料A含B,B,B的含量分别为0.3公斤、0.4公斤3123
和0.3公斤。每公斤原料A,A,A的成本分别为500元、300元和400元。今需要B成分1231至少100公斤,B成分至少50公斤,B成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划23
模型,设原料A,A,A的用量分别为x公斤、x公斤和x公斤,则目标函数为( D )。 123123(A) maxS,500x,300x,400x (B) minS,100x,50x,80x 123 123(C) maxS,100x,50x,80x (D) minS,500x,300x,400x 123 123
1212,,,,3. 设,并且A,B,则x,( C )。 A,,B,,,,,4,x7x7,,,,
(A) 4 (B) 3
(C) 2 (D) 1
24(设运输某物品q吨的成本(单位:元)函数为C(q),q,50q,2000,则运输该物品
100吨时的平均成本为( A )元/吨。
(A) 170 (B) 250
(C) 1700 (D) 17000
5. 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q),则运输该物品从100吨到300吨时
的收入增加量为( D )。
300100(A) MR(q)dq,C(0) (B) MR(q)dq ,,100300
300MR(q)dq (D) MR(q)dq(C) ,,100
二、计算题:(每小题7分,共21分)
2,1,,10,110,,,,,,6(已知矩阵,求:,A,,B,41,C,ABC ,,,,,,0121,2,,,,,,1,1,,
第 9 页 共 13 页
2,1,,10,110101020,,,,,,,,,,,,解: AB,C,41,,,,,,,,,,,,,,,,0121,26,11,27,3,,,,,,,,,,,,1,1,,
lnx,y,7. 设,求: y31,x
31,x2,3xlnx33,,(lnx),(1,x),(lnx),(1,x)x,y,,解: 3232(1,x)(1,x)
1x38. 计算定积分: (x,2e)dx,0
1117xx34解: (2e)d(2e)2ex,x,x,,,|,0044
三、编程题:(每小题6分,共12分)
2x,,y,ln(x,x,e)9. 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。y解:>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
1xxedx10. 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。 ,0
解:>>clear;
>>syms x y;
>>y=x*exp(sqrt(x));
>>int(y,0,1)
四、应用题(第11、12题各14分,第13题19分,共47分)
11. 某物流企业生产某种商品,其年销售量为1000000件,每批生产需准备费1000元,而每件商品每年库存费为0.05元,如果该商品年销售率是均匀的,试求经济批量。
q1000000000C(q),,解: 库存总成本函数 40q
11000000000,令C(q),,,0得定义域内的惟一驻点q,200000件。 240q
即经济批量为200000件。
12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产的甲、乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤;三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外,三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制,原材料每天只能供应180公斤,工时每天只有150台时。试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型,并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
解:设生产甲、乙、丙三种产品分别为x件、x件和x件,显然x,x,x?0 123123
线性规划模型为
第 10 页 共 13 页
maxS,400x,250x,300x123
4x,4x,5x,180,123 ,6x,3x,6x,150,123,x,x,x,0123,
解上述线性规划问题的语句为:
>>clear;
>>C=-[400 250 300];
>>A=[4 4 5;6 3 6];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 线性规划习题
1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品,要用A,B,C三种不同的原料,从工艺资料知道:每生产一件产品甲,需用三种原料分别为1,1,0单位;生产一件产品乙,需用三种原料分别为1,2,1单位。每天原料供应的能力分别为6,8,3单位。又知,销售一件产品甲,企业可得利润3万元;销售一件产品乙,企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型,并用MATLAB软件计算(写出命令语句,并用MATLAB软件运行)。
xx解:设生产甲产品吨,乙产品吨。 12
线性规划模型为:
maxS,3x,4x 12
x,x,6,12,x,2x,8,12 ,x,32,
,x,x,012,
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为:
>> clear;
>> C=-[3 4];
>> A=[1 1;1 2;0 1];
>> B=[6;8;3];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
2. 某物流公司有三种化学产品A,A,A都含有三种化学成分B,B,B,每种产品成123123分含量及价格(元/斤)如下表,今需要B成分至少100斤,B成分至少50斤,B成分至少12380斤,试列出使总成本最小的线性规划模型。
相关情况表
每斤产品的成分含量 产品含量
成 分 AAA1 2 3 第 11 页 共 13 页
B0.7 0.1 0.3 1
B0.2 0.3 0.4 2
B0.1 0.6 0.3 2
产品价格(元/斤) 500 300 400
xA解:设生产A产品公斤, 生产产品x公斤, 生产产品公斤, Ax121233
minS,500x,300x,400x123
0.7x,0.1x,0.3x,100,123, 0.2x,0.3x,0.4x,50,123,0.1x,0.6x,0.3x,80123,
,x,x,x,0123,
3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子,产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元,每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟,在精加工中心需要20分钟;生产每张椅子在装配中心需要14分钟,在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟,精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型,并用MATLAB软件计算(写出命令语句,并用MATLAB软件运行出结果)
xx解:设生产桌子张,生产椅子张 12
max,12,10Sxx12
10x,14x,1000,12 ,20x,12x,880,12
,x,x,012,
MATLAB软件的命令语句为:
>> clear;
>> C=-[12 10];
>> A=[10 14; 20 12];
>> B=[1000;880];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品,这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工,这四种机床的可用工时分别为1500,1200,1800,1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时;每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元,乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。
xx解:设生产甲产品件,乙产品件。 12
线性规划模型为:
maxS,6x,8x 12
第 12 页 共 13 页
4x,3x,1500,12,2x,3x,120012, 5,1800x,1
,2x,14002,x,x,012,
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为:
>> clear;
>> C=-[6 8];
>> A=[4 3;2 3;5 0;0 2];
>> B=[1500;1200;1800;1400];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原料30吨,乙原料50吨。每吨A产品需要甲原料2吨;每吨B产品需要甲原料1吨,乙原料2吨;每吨C产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。
xxx解:设生产A产品吨,B产品吨,C产品吨。 132
线性规划模型为:
maxS,3x,2x,0.5x123
2x,x,30,12,2x,4x,50,23 ,
,
,x,x,x,0123,
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为:
>> clear;
>> C=-[3 2 0.5];
>> A=[2 1;2 4];
>> B=[30;50];
>> LB=[0;0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
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