[word格式] p-Laplace算子方程三点边值问题单调正解的存在性

[word格式] p-Laplace算子方程三点边值问题单调正解的存在性 p-Laplace算子方程三点边值问题单调正解 的存在性 第45卷第1期 2007年1月 吉林大学(理学版) JOURNALOFJILINUNIVERSITY(SCIENCEEDITION) VD1.45No.1 Jan2007 P-Laplace算子方程三点边值问题 单调正解的存在性 刘锡平,贾梅,葛渭高 (1.上海理工大学理学院,上海200093;2.北京理工大学应用数学系,北京100081) 摘要:利用锥拉伸与锥压缩不动点定理,研究一类具p-Laplace算子的二阶微分方程的三点边 值问题单调正解的存在性,给出了单调正解存在的充分条件,并确定了解曲线的凹凸性. 关键词:p-Laplace算子;三点边值问题;锥拉伸与锥压缩不动点定理;单调正解 中图分类号:O175.8文献标识码:A文章编号:1671-5489 【2007)01-0049-07 ExistenceofMonotonePositiveSolutionstoaTypeof Three--pointBoundaryValueProblemwithP--LaplacianOperator ping,JIAMei,GEWei—gao LIUXi— (1.CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China; 2.DepartmentofAppliedMathematics,BeijingInstituteofTechnology,Belling100081,China) Abstract:Thispaperdealswiththeexistenceofmonotonepositivesolutionstoatypeofthreepointboundary valueproblemsofnonlinearsecond—orderdifferentialequationswithP—L aplacianoperator.Onthebasisofthe fixedpointtheoremoncone.sufficientconditionsf0rtheexistenceofmonotonepositivesolutionsaregivento theboundaryvalueproblemswithhomogeneousandnonhomogeneousboundaryconditions,respectively,and theconvexityofsolutioncurvesisdecided. Keywords:P—Laplacianoperator;three—pointboundaryvalueproblem;th efixedpointtheoremoncone; monotonepositivesolutions 1引言 具p-Laplace算子的微分方程在工程领域应用广泛,因此,关于其边值 问题的研究引起了人们的广 泛关注.文献[1]利用不动点定理研究了两点边值问题 f[(Y,)]+q(tY)=0,0<t<1, ty(O)=Y(1)=0; f[P(y,)]+q(,)Y)=0,0<t<1; ty(0)=Y(1)=0 多个正解的存在性.文献[2]利用Mawhin连续定理研究了具有偏差变元的p-Laplace算子的微分方程 [((t))]+t,(t))(t)+卢(t)g(x(t一(t)))=e(t) 收稿日期:2006~3-09. 作者简介:刘锡平(1962一),男,汉族,硕士,教授,从事应用微分方程理论的研究,E-mail:xipingliu@163.corn. 基金项目:国家自然科学基金(批准号:10371006)和上海市教委自然科学基金(批准号:05EZ52). 吉林大学(理学版)第45卷 周期解的存在性.文献[3]研究了Neuman型m一点边值问题 r[(„)]『-t,,),0<t<l; {m一2【 (0)=0,0(x(1))=?a~e(x(基)) 解的存在性. 但目前对具p-Laplace算子微分方程的边值问题单调正解存在性的 研究尚未见文献报道.在现有 讨论正解存在性的文献中,边界条件也大都不涉及对区间内部点处导数的约束. 本文利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理[6],研究一类具P—Laplace算子微分方程的三点 边值问题: f[((f))]f(t,(f)),0<?<(1.1) tx(0)=ax(1),()=k 单调正解的存在性,得出了新的结论.这里()=l,P>l,显然为定义在R上的严格单调 增的奇算子,有逆算子=,其中P,q满足1/,+1/q=1. 引理1.1(锥拉伸与锥压缩不动点定理)[6-s]设是一个Banach空间,是上的锥,.,为 中的有界开集,并且0E/-/.cc.设:n(\)为全连续算子,如果下列条件之一成 立,则在KN(\/2.)中至少存在一个不动点: (1)对EKf3m.,lITulI?IlulI;对EKf3,0TulI?llul1. (2)对Enm.,0ll?0ulI;对EKf3a,Ill?0l1. 通过计算,容易证明下面的引理: 引理1.2设YEc[o,1],0t>0,a?l,则边值问题 『[((t))]=Y(t),0<t<l, tx(0)=ax(1),()=k 具有惟一形式解: )=(),?ds+())dr+(),?ds())dr?fE[0?1]. 为讨论方便,记: 条件c.:设,Ec([0,1]×[0,+?),R),=(f),=(f)关于tE[0,1]— ?U一 一 致成立,并且,Ec[o,1]. 2单调递增正解的存在性 设0<ot<l,kI>0,下面讨论边值问题(1.1)单调递增正解的存在性和解曲线的凹凸性.首先讨论 当k>0时非齐次边界条件下边值问题(1.1)的单调递增正解的存在性. 由于在某些领域(如生物工程)遇到的问题中常常要求函数,是非负的,为此,这里首先研究当非 线性项t,)I>0,(t,)E[0,1]×[0,+?)时的情况,得到了边值问题(1.1)存在下凸的单调递增正 解的结论. 定理2.1设条件Cl成立,常数0<ot<l,k>0,E(0,1),函数,?0.当(t,)E[0,]× [0,+?)时,有0?,(,,u)?,且满足:IE[in. f ,I]{Ifo(,)I}>A:=(),0< {I(f)l}<肛:=(1一a),则边值问题(1.1)至少存在一个单调递增的正解,并且该解在 tE[0,1]上是下凸的. 证明:设X=C[0,1],令l=野, {l(t)l},则是一个Banach空间.取={EX:(t)? 0tIIx0,tE[0,1]},则是上的锥. 定义映射丁:K.-+,对任意EK, 第1期刘锡平,等:p-Laplace算子方程三点边值问题单调正解的存在性5l ()(t)=(s,(s))(1s+(.i}))dr+(s,(s))ds+(.i}))dr,t?[o,1]. 显然Ec[o,1],且()(t)=(Js,(s))ds+(.i})),tE[o,1]? 由于0,所以当tE[,1]时,有 ()(t)=(Js,(s))ds+(.i}))?.i}>o, 又因为(t,)E[.,]×[.,+?),.<t,)?,所以,当tE[.,]时, (.i})一Js,(s))ds?(.i})一s,(s))(1s?(.i})一ds=0,(.i})一ls,(s))ds?(.i})一上s,(s))(1s?(.i})一上s=, 于是 (),(t)((s))ds+(.i}))=((.i})一(s))ds)?o, 故(Tx)(t)在t?[0,1]上单调递增. 由()(t)的单调性得llrxll=()(1),且()(t)?()(O)=a()(1)=allTxll,则T是K到 K的自映射. 结合引理1.2可知,边值问题(1.1)存在单调递增正解等价于映射T在K上有不动点. 下面讨论映射T的不动点的存在性. 由于li=(t)>A,所以存在r.>o,使得当0<?r.时,有t,)?A,.?一一 定义X中的有界开集1”2.={?:lIxll<r.},则对任意?KN01”2.,tE[O,1],有,~llxll?(t)? lIxll=r.,于是 f(t,(t))?A(t)?AlIxll,_.. 注意到t?[o,]时,Js,(s))(1s+(.i})>o,于是 Ilrxll=()(1)=II((s))ds+.i}))dr= l l a[;((s))ds+(.i}))dr+((s))ds+.i}))dr】? i_(厂(s,(s))(1s+(.i}))dr?(厂(s,(s))(1s)dr? IIIIds)dr=)llII=Ilxl1. 因为lira +?=(t)<,所以存在I2>o,使得当?I2时,o?,(t,)<一.现取 r2>max,r2 , 丽k),并定义中的有界开集={E:llII<r2}.对任意x~Kf”lO,有 I2<otr2=alIxll?(t)?lIxll=r2,于是对任意tE[0,1], f(t,(t))?(t)?ll一, 并且IIr2?而k?丽k,即.i}?()Ilxll?同时(.i})?缸II. 因为(Tx)(t)在t?,1]是单调递增的,所以 Ilrxll=()(1)=r(s,(s))(1s+(.i}))dr= l l a[;((.i})一Js,(s))ds)dr+I(J,())ds+(.i}))dr】? 52吉林大学(理学版)第45卷 i_【%(,())dr+(【/r(s,(s))(1s+())dr】? r【增+(s,(s))+())dr】?r【蟮+((1一)llII+缸llII)dr】= II?[鲰()IIxII+(1)IIxII]=)IIxII=IIxII? 由力.,的定义知,0?力.c.c.容易证明在n(\力.)上是全连续的. 根据引理1.1中的(2),可得在上有不动点,即边值问题(1.1)至少存在一个正解,该解在 t?[0,1]上单调递增.由于 (((t)))=((t))”(t)=t,(t))?0,t?[0,1], 且:((t))I>0,所以”(t)I>0,t?[0,1],解曲线=(t)在t?[0,1]上是下凸的. 下面讨论当=0时齐次边界条件下的边值问题: f[((t))]=t,(t)),0<t<l,,,?1, tx(O)=(1),()=0 单调递增正解的存在性. 条件C2:设函数?C([0,1]×[0,+?),R),并且当(s,M)?[0,]×[0,+?) 时,s,M)?0; 当(s,M)?[,1]×[0,+?)时,s,M)I>0. 定理2.2设条件C.,C成立,0<a<l,且满足下列条件之一,则边值问题(2.1)至少存在一个 单调递增的正解,解曲线在t?[0,]上是上凸的;在t?[,1]上是下凸的: (1)0<sup]{Ifo(t)I}<A.:=( inft)l>I(); 二 (1一)+ 1,存在F8.,]c(0,1),使得 (2)0<su . p ,.]{l(t)l}<:(_=);存在[6-,]c(0,1),使得 . ‰t)I>I()? 证明:与定理2.1的证明相同,定义Banaeh空间X=cro,1],XI-_~j锥K={?X:x(t)?~llxlI, t?[0,1]},映射:,注意到=0,则 ()=(?)ds)dr+(?)ds)dr,t?ro,1]. 显然对任意?,有Tx?Cro,1],且(rx)(t)=(fs,(s))(1s),由条件(c)得, (Tx)(t)?0,则函数(Tx)(t)关于t?[0,1]单调递增,所以对任意t?[0,1],有 ()(t)?()(0)=(s,(s))(1s)dr=a()(1)=allll, 故Tx?K,则::—于是边值问题(2.1)存在单调递增正解等价于映射在K内有不动点. 下面证明当条件(1)成立时有不动点. IN~lim+ = (t),0<sup _] {I(t)I}<A.,因此存在r.>0,使得当0<?r.时,有 It,)I<A.,,t?[0,1]. 定义X中的有界开集力.={?:IIxlI<r.},当?KCla力.时,对任意t?[0,1],有0?(t)? l=r..与定理2.1的证明类似可得 IIll?lIxl1. 由于=(t),且t?[.,]时,I(t)I>.>0.所以存在r2>r.>0,使得当 第1期刘锡平,等:p-Laplace算子方程三点边值问题单调正解的存在性53 (f,)E[6.,62]×[r2,+?)时,有If,I?.xp一>0. 定义中的有界开集={E:II<). x(t)>~llxlI=r2,于是,当tE[6.,6:]时,有 对任意EKnat~,有II=,当fE[0,1]时, It,(t))I?-(t)?-IIx,? 由条件cz,对任意E[0,+?),有,)=0,而]I(f)I>/x->0?于是[6-,6z]c(0,) 或[6.,6:]c(,1)之一成立. 当[6.,6:]c(0,)成立时, Ilrxll=()(1)=II(?))dr= 【(?ds)?I())ds)dr】? (I?)I)dr? (IIII)dr= 鲁)11II=Ilxll; 当[6.,]c(,1)时,类似地有 Ilrxll=()(1)=i_Il(Js,(s)))dr?i_r(s,(s)))dr? (IIIIds)Ilxl1. 由.和的定义知,0E.c.cCX,并且容易证明T在Kf3(\.)上是全连续的. 根据引理1.1中的(1),可得在K上有不动点,即边值问题(2.1)至少存在一个正解,并且该解 是单调递增的. 由于()在E(一?,+?)上可导,且当v#O时,()>0,而且(0)=0,所以边值问题 (1.2)的解曲线=(t)满足: (((f))=((f))”(f)=f(t,(f)), 结合条件c:,当tE[0,]时,t,x(t))?0,则”(t)?0,解曲线=(t)是上凸的;当tE[,1]时, t,(t))>10,则(t)>10,解曲线=(t)是下凸的. 利用引理1.1中的(2)类似地可证明在定理2.2中条件(2)成立时结论也成立. 事实上,由定理2.1和定理2.2的条件可以看出,存在区间[.,:]c[0,1], 使得当tE[.,:] 时,~pe(x(f))=f,(f))?0,所以方程不存在定常解(f)=c,tE[0,1].因此,这里得到的是边值 问题(1.1)和(2.1)的非定常单调解的存在件. 3单调递减正解的存在性 下面研究当a>1并且k?0时的情况.这里得到的是边值问题(1.1)和(2.1)单调递减正解存在 的充分条件. 首先,讨论当k<0时的情况. 定理3.1设条件C.成立,常数a>1,k<0,E(0,1),函数,?0,当(t,u)E[,1]×[0,+?) 时,有0?t,u)?二,且满足: IE[ in ... f ]{Ifo(f)l}>A=(),0<嚣]{I(f)l}< = (),则边值问题(1.1)至少存在一个单调递减的正解,并且该解在fE[0,1]上是下凸的. 吉林大学(理学版)第45卷 证明:设Banach空间=c[o,1],定义上的锥={E:(f)?吉II,fE[0,1]},则与定 理2.1的证明类似地可证. 其次,讨论k=0时的情况. 条件C,:设函数EC([0,1]×[0,+?),R),并且当(s,)E[0,]X[0,+?) 时,s,)I>0; 当(s,)E[,1]×[0,+?)时,s,)?0. 定理3.2设条件C,C成立,Ot>1,且满足下列条件之一,则边值问题(2.1)至少存在一个单调 递减的正解,并且该解在tE[0,]上是上凸的;在tE[,1]上是下凸的:? (1)0<su U..p_{Ifo(t)I}<A:=();存在[6]c(0,1),使得 inf 赴t)l>I=(); (2)0<su U..p_{l(t)I}<:=();存在[6,]c(0,1),使得 留l(t)I>A::=()? 证明:设Banach空间=c[o,1],令={E:(f)?吉II,f?[0,1]},则为上的锥. 考虑映射:K_-+, ()=(?)(1sdr+(?)dsdr,t?[0?1], 则()(f)=(s,(s))(1s)?0,()(f)在f?[,1]上单调递减.~llTxll=()(0),由 于(Tx)(t)?()(1)=_=_1()(0)=一1llTxll,所以T(K)cK..... 与定理2.1的证明类似,易证存在1-1={E:lIxll<r},使得当EKnal-I时,有 llTxll?lIxl1. 由于璺犁=(f),且当fE[6,82]时,l(f)I>>0,所以存在r2>r>0, 使得当 (f,)?[,]×[r2,+?)时,有lf,)l?>0. 定义X中的有界开集={?:lIxll<otr2}.对任意EKna,有lIxll=,并且当tE[0,1] 时,(f)?llII=r2.因此当fE[,6:]时,有 lf,(f))l?(f)?/A,=丁1IIllp,. 与定理2.2类似可证,当EKna时,有llll?lIxl1. 于是由引理1.1中的(2),可得边值问题(2.1)至少存在一个正解的结论.由于(t)?0, tE[0,1],故该解是单调递增的,又由于 (((t)))((t))”(t)=t,(t)){:: 而((t))?0,所以该解=(,)在t?[0,]上,有”(,)I>0,是上凸的;在t?[,1]上,有 “(t)?0,是下凸的. 类似地可证明在条件(2)成立时结论也成立. 4例子 下面考虑一个简单的实例.设常数0<<1,k>0,且 .麓]If0(t)I=to, . I(t)I=. ttu?,]If.(t)I=r(1一)? 因此,边值问题(1.1)满足定理2.1的条件,此时边值问题(1.1)至少存在一个单调递增的正解,并且 该解在[0,1]上是下凸的. 参考文献 [1]LUHai-shen,0?ReganDonal,ZHONGCheng-kui.MultiplePositiveSol utionsfortheOne.dimensinalSingular p-Laplacian[J].AppliedMathematicsandComputation,2002,133:407-422. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] CHEUNGWing-sum,BENJing-li.OntheExistenceofPeriodic. SolutionsforP-LaplacianGeneratizedLienardEquation [J].NonlinearAnalysis,2005,60:65-75. Garcid-HuidobmM,GuptaCP.ManaseviehR.Anm.PointBoundaryValueProblemofNeumannTypefora P-LaplacianLikeOperator[J].NonlinearAnalysis,2004,56:1071.1089. Ben-NaoumAK,DeCosterC.Onthep-LaplacianSeparatedBoundaryValueProblem[J].DifferentialandIntegral Equations,1997,10(6):1093-1112. WEGNShi-you,GAOHai-yin,ZHANGXiao-ying.eta1.ExistencePrinciplesforSingularBoundaryValueProblemsof One-dimensionp-Laplacian[J].JournalofJilinUniversity(ScienceEdition),2006,44(3):351-356.(翁世有. 高海音,张晓颖,等.一维P-Laplacian奇异边值问题的存在性原则[J]. 吉林大学(理学版),2006,44(3): 351-356.) 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