斯托克斯公式
?10.7
一.斯托克斯公式
定理1 设为光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的下向,,,,
与的侧符合右手规则。P(x,y,z),Q((x,y,z),R((x,y,z)在包含2在内的一个空间区域内具有一阶,
连续编导数,则有
,R,Q,p,R,Q,P(,)dydz,(,)dzdx,(,)dxdy,Pdx,Qdy,Rdz ,,,,,y,z,z,x,x,y,
为了便于记忆,利用行列式记号将斯托克斯公式写成:
dydzdzdxdxdy
,,,= Pdx,Qdy,Rdz,,,,,x,y,z,
PQR
cos,cos,cos,
,,,或ds=Pdx,Qdy,Rdz ,,,,,x,y,z,
PQR
如果是xoy面上的一块平面闭区域,斯托克斯公式就变成格林公式 ,
例1. 利用斯托克斯公式计算曲线积分zdx,xdy,ydz其中为平面x+y+z=1被三个,,,
坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合
右手规则
解:zdx,xdy,ydz ,,
dydzdzdxdxdy
,,, = ,,,x,y,z,
PQR
= dydz,dzdx,dxdy,,,
13= dxdy3,3,,,,22Dxy
222222例2. 计算I=(y,z)dx,(z,x)dy,(x,y)dz ,,
3是用平面截立方体:的
面所得的截痕,0,x,1,0,y,1,0,z,1x,y,z,,2
若从OX轴的正向看去,取逆时针方向 其中
13,解: ,,n,,,,1,1,1,cos,cos,cos,33
333
333
3,,, I=ds= ,,4(x,y,z)ds,,,,xyz3,,,22
222222yzzxxy,,,
433 = ,1,1,1ds,,32Dxy
19 = ,6,(Dxy),,6(1,2,),,82二.环流量与旋度
1. 环流量:APdx,Qdy,Rdz=Ads叫做向量场沿有向闭曲线的环流量。,,,t,,
其中A为向量在的切线向量上的投影 A,A,t,Pcos,,Qcos,,Rcosv,t
2. 旋度:记作rotA
,,,,R,Q,P,R,Q,Prot(,)i,(,)j,(,)kA= ,y,z,z,x,x,y
,,,ijk
,,,=
,x,y,z
PQR
例 求A= (2z,3y)i,(3x,z)j,(y,2x)k
,,,ijk
,,,,,,解: rotA,2i,4j,6k= ,x,y,z
2z,3y3x,zy,2x
课堂练习:P224 1、(1)(2)2、(2)3、(1)4、(2) 课后作业:P224 1、(3)(4)2、(3)3、(2)4、(1)6