三重积分的应用

微积分III(H)三重积分的应用指导老师：苏德矿小组成员：李颖聪周晓旭李翘楚陈乃铭俞智超谢煜彬姚世豪王亮熙三重积分的应用微积分III(H)论文小组成员：李颖聪周晓旭李翘楚陈乃铭俞智超谢煜彬姚世豪王亮熙在微积分III学习的过程中，我们注意到，三重积分的概念并不是直接定义的，而是由体密度的概念引出的。由此给出了三重积分的定义：如果当有界闭区域中各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分。不直接给出三重积分的定义，而是用实际的例子引出其概念，可见三重积分较为抽象，不借助实际应用较难理解。同时也体现了三重积分的应用的重要性。在此我们浅析几个三重积分的实际应用。一、求立体的重心首先我们要区分，质心和重心在概念上其实并不相同。质心是与物体(质点系)质量分布有关的一个点。若假想该质点系的总质量集中于该点，则其对于坐标轴的矩等于该系各质点质量对同一坐标轴矩之和。重心，是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定。物体的重心，不一定在物体上。但是我们在处理计算的过程中一般是用同样的方法，并不加以区分。设一立体在空间占据区域T,那么立体的体积为V二dxdydzT设■一(x,y,z)(X,y,z)・T是立体在点(x,y,z)的密度，其中T是它所占据的空间区域，那么该立体的质量为M：in!(x,y,z)dxdydzT立体重心的坐标公式为：111xdxdydzT111ydxdydzT111zdxdydzT其中x，y，z是区域T的几何重心的坐标。例：求平面乂二0,"0,^1,"3,%，2^3所围之棱柱的重心坐标。解：先求棱柱的体积3-zV二dxdydz二0dx；dy0dzT=3dx'^^dy二0(3_x)dx=(3x-1x2)2=92现在求重心的坐标3TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark14"\o"CurrentDocument"_22土xiiixdxdydz=0xdx；dy02dz=1HYPERLINK\l"bookmark16"\o"CurrentDocument"9/9-2238y=9Jydxdydz=9°dx“ydy。2dz=2T?3_x_223」i“9严dxdy论訂两匈02迤二二、求刚体转动惯量的量转动惯量是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)度，用字母i或j表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。Jl。设:：二R3或二二R2的密度函数「-■'P连续，求该物体关于L轴的转动惯量2设点P至L的距离为PPL，于是JL==PPLd。.。■Q2设点p至l的距离为ppl，于是jLppLJpd1.若门R3(「|是空间曲线或曲面或立体)当L是z轴时，Jz=J(x2+y2p(P^=J(x2+y2P(x,y,z)d0.当L是x轴时，Jx=J(y2+z2^(Pd。=J(y2+z2P(x,y,zdo.当L是y轴时，Jy=J(z2+x24(P肿=J(z2+x2N(x,y,z)d0.0仁例如：用不同方法求：计算半径为R,质量为M的均匀球体绕任一直径的转动惯量球体的密度为：p=M/(4/3nRA2)，它最方法一:如图1所示，任意选取一个体积元dV=dxdydz,则该体积元可以近似为一个质点到z轴的距离为r,绕z轴的转动惯量为dI=rA2dm=「人2pdV=p贰2+yA2)dxdydz后求所有的微分元对z轴的转动惯量di的和，即进行积分计算，就是问的解：方法二:如图2所示，可以把任意选取的一个半径为r、厚度为dr的薄球壳近似成球壳(球壳是没有厚度的，薄球壳是有厚度的，尽管它的厚度趋于0)，则它绕z轴的转动惯量为：22y丁，、d/=rdm-TrP4^严dr最后积分计算得j:r1⑷r2dr=方法三：如图3所示，可以把任意选取的一个半径为r、高度为dz的薄圆台柱近似成薄圆盘则它绕z轴的转动惯量为：d/=^r2dnj=rpnr2dz积分得：1=J七的W■二VdzJa25三重积分计算远比一元积分麻烦，所以在分析物理问题时，往往可以充分利用对称性,选取恰当的一元微元，使积分计算简单•例如:按线段长乘以线元来取面元，面积乘以线元来取体积元•刚体转动惯量在刚体力学中有着广泛的应用，若物体的密度均匀形状规则，转动惯量可以分为圆柱体对柱体轴线的，细圆环对任意切线，实球体对任意直径的等。用微积分去解决就比较容易，把各个复杂的轨迹分成尽量小的几个部分，例如轨迹可以把它分割成无限个小的可以看成直线的一段，算出一段的距离，然后在积在一起，这样就比较简单，使问题更加的容易理解和算出。F面为各图形的转动惯量:PiX\E.询Annylar>pyfbid^r[Ofnng)about穷in前raxisj(心Soiidoyfinchsr(□r对袒町日bo<4cvlirid^rAxis何Solki^lin^(wdisk)aboutognlir刊打瞪丽阳rAiES(r)TWnrodBbo制axisfirougAtenter丄Iolengthend丄IplengWiAM*l»SO阳SptMHT*afeom.*叩彌rrwl尉r-jWK1AX®:⑷TtunstphenssisbeffStKMT盘呼diameter(r)HoopaboutallydiarnetsrAXi$aboui1翁毎throughcenter求立体对质点的引力对于力F=Fxi+Fyj+Fzk而言，利用微元法可以求出空间有界闭形体1■1,对一质点P0引力。其值需分解到3个坐标方向来加以计算，计算公式如下：Fx=5H『）dFy=叽犖户也Fz仙"沁卩沖而在具体的题目之中，则可以通过观察，结合对称性原则，可能确定某一或某两方向的分力为0，则最终只需要计算不为0的分力值即可。在具体的题目中，有界闭形体门要根据具体题目进行选择，从而采用相应的积分，具体的积分计算则按照点函数积分方法计算，在此不再赘述；另外，需要注意的一点小技巧是，若是解题过程需要建系的，则最好将原点建在Po点处，以简便运算。1.均匀球壳对球壳外质点的引力计算计算质量为ml距离球壳中心为r处的质点，在质量为m2的球壳的引力场中的引力势能。如图一所示，在球面上取一面元ds.该面兀的质量为：其中为球壳的面密度。根据引力势能的定义，质点ml在球壳质元dm的引力场中的引力势能为：GmidmGmicrR2sin日dU11⑴ririR,r和r1组成三角形，由余弦定理可得：ffi2R・r和訂组成的三角解222rR-2Rcos(2)对(2)式求全微分得：2rd「=2rRsinvdv故sinrd八妙(3)rR将(3)代入(1)有：dU「GmRdMr质点ml在整个球壳m2引力场中总的引力势能为:U=dU12対GmrrRdr,drn由于；「4R二m2为球壳的质量故引力势能为u=-。^匹r根据对称性考虑，ml所受m2的引力只有沿z方向的分量。所以，质量为ml的质点所受到球壳m2的引力为：Gmim2F2kr根据所求的，就证明了球壳对外部质点的作用就好像它的全部质量集中在球壳中心一样。2.球体对球内任意一点的万有引力的强度不妨假设有一半径为R，密度为p的均匀球体，球体内有一质量为m的质点B(当然这是理想情况，它离球心的距离为r。以球心为坐标原点0,为z轴的方向，建立空间直角坐标系，来求球体对质点B的万有引力F。根据对称性容易知道，Fx=Fy=O。对于Fz，仍然利用空间直角坐标下的三重积分来求：...GmP(r-z)...GmP(z-r)Fx3dxdydzgdxdydzT[x2y2(z-r)2]''2[x2y2(z-r)2]'wGmP(r—z)』」，...3dxdydz-1[x2y2(z-r)2]2二Gmjr-z)dz..3-rD222~2[xy(Z-r)]■r2?.-z二Gm'.(r「z)dzd-.斗00222二r2_2诂GmJ(「z)[丄亡r一z12=2「Gm：[Rr2(R6r~3[，2(z-r)2]'；212]dzRr-2rz3-r2)^r22.AR-T221.2*R_r2(Rr)2r6r223R-■r—(Rr)]2r同理:22=2「:Gmqr-R-12(R26r(R_r)]Gm"V3dxdydz12[x2y2(z—r)2]2TOC\o"1-5"\h\z322222R_r2213R-rHYPERLINK\l"bookmark48"\o"CurrentDocument"-r)2亠2,R-r2(R_r)_22r26r22r2所以F屮GmP(r—z)Fx311[x2y2(z—r)2]。=2二Gm叮2rA(R—r)36rM'm二G2r其中M'为以原点O为圆心，轴的负方向。再根据万有引力场强度的概念,点A所产生的万有引力场强度dxdydzGm：(r_z)^xdydz划x2+y2+(z—r)2F13R2—r2R2-r22(Rr)3—(Rr)厂(R-r)]6r2r2rOB的长为半径的球面所包围的球体的质量，Fz的方向为z很容易求出质量为M的均匀球体在球体内任意一，其中，0为球心，M'为以原点O为圆心，OB的长为半径的球面所包围的球体的质量。结合球体在球面任意一点所产生的万有引力场的强度可以知道，内径为r、外径为R的球壳在位于内球面上任意一点所产生的万有引力场的强度为零。有了以上的结论，再来考虑内径为r、外径为R的球壳D在球壳内空心点处C的万有引力场的强度g,以球心为坐标原点O,为z轴的方向，建立空间直角坐标系。不妨假设球壳空心处填满有与球壳D同种材料的物质，设的长为y,而D1为内径为y,外径为r的球壳，D2为内径为丫，外径为R的球壳。那么根据上面的结论，D1、D2在C点所产生的万有引力场强度均为零，所以球壳D在C点所产生的万有引力场强度g=0。