38ipho安全气囊
林明瑞
國立台灣師範大學物理系
E-mail:mjlin@phy03.phy.ntnu.edu.tw
奧林匹亞試題
■668■
物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
文/ 林明瑞
本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意,每期精選若干試題和解
答,以饗讀者。由於本期所選的試題和解答較長,僅刊登一道試題。
【本期試題評註】:國際物理奧林匹亞競賽的試題都是主辦國精心設計的作品,
研讀這些試題和解答,對物理定律的深入理解和應用,以及鍛鍊思考和分析的能
力,有很大的幫助。本期挑選 20...
林明瑞
國立台灣師範大學物理系
E-mail:mjlin@phy03.phy.ntnu.edu.tw
奧林匹亞試題
■668■
物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
文/ 林明瑞
本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意,每期精選若干試題和解
答,以饗讀者。由於本期所選的試題和解答較長,僅刊登一道試題。
【本期試題評註】:國際物理奧林匹亞競賽的試題都是主辦國精心設計的作品,
研讀這些試題和解答,對物理定律的深入理解和應用,以及鍛鍊思考和分析的能
力,有很大的幫助。本期挑選 2007 年第 38 屆國際物理奧林匹亞競賽(伊朗主辦)
的一道理論題,討論汽車的安全氣囊的啟動問題,涵蓋了力學和電學原理的應用。
汽汽 車車 的的 安安 全全 氣氣 囊囊
在本問題中,我們處理設計汽車加速度感測儀的簡化模型,其目的在當汽車發生碰撞時,用於啟動
安全氣囊。我們希望能建構一套機電系統,當此機電系統的減速度超過某一極限時,使得系統中與電有
關的參數之一 (例如電路中某一點之電壓)超過一個門檻值,就會啟動安全氣囊。
【註】:在本問題中,重力可以忽略。
k
d
圖 1
奧林匹亞試題
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物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
1. 如圖 1 所示的一具平行板電容器,每一片電極板的面積皆為 A,兩平行板的間距為 d,且此間距遠小於平行
板的尺寸。已知兩平行板之一由一條彈力常數為 k 的彈簧與牆壁相連,另一平行板則固定不動。當兩平行
板之間相距 d 時,彈簧既不被壓縮也不被伸長,亦即彈簧處於不受力的狀態。假設介於兩平行板之間的空
氣的介電係數等於真空的介電係數 0ε ,則在兩平行板相距 d 時,電容器的電容為 dAC /00 ε= 。今將電荷
量 Q+ 與 Q− 分別置於兩平行板上後,使系統達到力學平衡狀態。
1.1 計算兩平行板相互作用的電力 EF 。
1.2 設 x 為連接彈簧的平行板的位移,求 x 值。
1.3 求在平衡狀態時,電容器兩平行板之間的電位差 V(以 Q、A、d、和 k 表示之)。
1.4
設 C 為電容器的電容,定義為平行板之電荷量和電位差的比值。求 0/ CC (以 Q、A、d、
和 k 表示之)。
1.5 求儲存於此系統的總能量 U (以 Q、A、d、和 k 表示之)。
如圖 2 所示,一質量 M 連接到一質量可忽略的導電平板,又連接到兩條彈力係數皆為 k 的彈簧。該導電平板可
以在另外兩片固定的導電平板之間自由的往復移動。所有的導電平板皆相似並有相同的面積 A,故這三片平板
構成兩個電容器。 如圖 2 所示,兩片固定平板分別連接到電位 V 與 V− 上,而居中的導電平板則經由一雙投
開關與地相連。假設連接中間可動導電平板的電線,不會影響該平板的運動,且在運動時,這三片導電平板一
直維持彼此平行。 當整個系統未減速時,可動導電平板分別和每一片固定平板之間的距離皆為 d,d 遠小於平
行板的尺寸,且可動導電平板的厚度可忽略不計。
2.
可動導電
平板
a
固定導電
平板 固定導電平板
V
α β
SC
V
M
kk
圖 2
奧林匹亞試題
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物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
若開關接通α 狀態,居中的可動導電平板經一導線直接與地相連,則
2.1 求每一電容器的電荷量,以 x 之函數表示之。
2.2 求可動導電平板所受的總電力 EF ,以 x 之函數表示之。
2.3 假設 xd >> ,並且與 2d 項相比, 2x 項可被忽略,試簡化前一小題的
。
2.4
求作用在可動導電平板上的總力(電力和彈簧力之和),以 xkeff− 表示,並寫出 effk 的數學
式。
2.5 將電容器系統與汽車所作運動的等加速度 a,以 x 之函數表示之。
3. 現在假設開關接通β 狀態,居中的可動導電平板經由一電容器與地相連,此電容器的電容為 SC ,
且在起始時不帶電。若可動導電平板偏離兩固定平板之間中點的位移為 x ,則
3.1 將電容器 SC 兩極板之間的電位差 SV ,以 x 之函數表示之。
3.2 再次假設 xd >> ,並且與 2d 項相比, 2x 項可被忽略,試簡化前一小題的答案。
4. 在此部分的問題,我們將藉著調整參數,使得安全氣囊在正常煞車減速時,不會被啟動;只有當汽車
發生碰撞時,安全氣囊能以夠快的速度啟動,以避免司機的頭撞到擋風玻璃或方向盤。如同第 2 題所
得到的結果,作用在可動導電平板上的電力和彈簧力的總力,可以一個等效彈力係數為 effk 的彈簧表
示。因此整個電容系統和汽車做等加速度 a 的行為,與一個質量為 M 和彈力常數為 effk 構成的彈簧
系統,受到定值加速度 a 影響下的行為相似。這個定值加速度在本題中就是汽車的加速度。
【註】:就此部分的問題而言,之前所做「電容器系統與汽車一起做等加速運動時,電容系統各部分處於
平衡狀態,且相對於汽車為靜止」的假設,不再成立。
假設摩擦力可忽略,並使用下列參數的數值:
cm0.1=d , 22 m105.2 −×=A , N/m102.4 3×=k , 22120 /NmC1085.8 −×=ε , V12=V ,
kg15.0=M :
4.1
使用這些數據,求出 2.3 小題中電力與彈簧力的比值,並証明與彈簧力相較,電力可以忽
略。
雖然我們沒有計算當開關接通 β 狀態時,作用在可動導電平板上的電力,但是在此狀態下,利用類似
的方式,可以證明電力依然很小,可被忽略。
奧林匹亞試題
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物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
4.2
如果汽車在等速度運動中,因突然煞車而產生一等加速度 a,則可動導電平板的最大位移
為何?(以適當參數的符號表示之)
假設開關接通β 狀態,且該系統已被設計為當電容器 SC 兩極板之間的電位差,達到 V 15.0=SV 時,
安全氣囊立即被啟動。但我們要求安全氣囊在正常煞車狀況下(即汽車之加速度小於重力加速度
2m/s 8.9=g ),不被啟動,但當加速度超過重力加速度時,則被啟動。
4.3 為達上述目的, SC 值應為多少?
我們在此想要確認安全氣囊被啟動之速度,是否夠快而能防止司機的頭撞到擋風玻璃或方向盤?
此處假設碰撞發生後,碰撞造成了汽車的減速度值為 g,但司機的頭部則以等速率繼續向前運動。
4.4
自行估計司機頭部與方向盤之間的距離,求出自發生碰撞開始起算,司機頭部撞到方向盤
所需的時間 t1。
4.5
求出自發生碰撞開始起算,安全氣囊啟動所需的時間 t2,並與 t1 比較。假設氣囊一經啟動
後立即張開,則安全氣囊的啟動是否及時?
解:
首先將高斯定律應用在單一帶電板上,可得兩平行帶電板之間的電場強度為
0ε
σ=E (1)
式中帶電板的表面電荷密度
A
Q=σ ,Q 為板上的電量,A 為其面積。由於該電場是由兩帶電板所構成,
故單一帶電板對此電場的貢獻為 E
2
1 ,因此兩平行板相互作用的電力為
A
QEQFE
0
2
22
1
ε== (2)
利用虎克定律,可得彈簧的恢復力為
kxFm −= (3)
當系統達成平衡時,其所受的合力為零,即 0=+ Em FF
vv
,得
Ak
Qx
0
2
2ε= (4)
因電場強度為定值,故在平衡狀態時,電容器兩平行板之間的電位差
)( xdEV −=
代入(1)和(4)兩式,可得
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
Akd
Q
A
Qd
Ak
Qd
A
QV
0
2
00
2
0 2
1
2 εεεε (5)
奧林匹亞試題
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物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
(1.1) 在平衡狀態時,電容器的電容值為
V
QC = ,利用(5)式,可得
1
0
2
0 2
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
Akd
Q
C
C
ε (6)
(1.2) 儲存在彈簧內的彈性位能為 2
2
1 kxUm = ;儲存在電容器內的電能為 C
QU E 2
2
= ,
故儲存在系統內的總能量為 Em UUU += 。利用(4)和(5)兩式,可得
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
Akd
Q
A
dQ
Akd
Q
A
dQ
Ak
QkU
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
4
1
22
1
222
1
εεεεε (7)
(2.1) 參看右圖,當可動導電平板偏離兩固定平板間之中點的
位移為 x 時,每一電容器的儲存電量分別為
xd
AVVCQ −==
0
11
ε
(8)
xd
AVVCQ +==
0
22
ε
(9)
(2.2) 利用(2)式,可得可動導電平板所受的總電力為
−=−=′
0
2
2
0
2
1
21 22 A
Q
A
QFFF EEE εε (10)
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−−= 22
2
0
)(
1
)(
1
2 xdxd
AVε
(2.3) 題設 xd >> ,將(10)式對 x 展開,僅保留至 x 的一次方項,可得
x
d
AVFE 3
2
02ε=′ (11)
(2.4) 由於兩彈簧的連接方式相當於並聯,故其力常數等於 2k,作用於質量 M 的彈性力為
kxFm 2−=′ (12)
利用(11)和(12)兩式,可得可動導電平板所受的總力為
xkx
d
AVkx
d
AVkxFFF effEm −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=+−=′+′=′ 3
2
0
3
2
0 222 εε ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⇒ 3
2
02
d
AVkkeff
ε
(13)
(2.5) 利用牛頓第二運動定律 MaF =′ 和(13)式,可得電容器系統與汽車所作運動的等加速度 a 為
V V
α β
SC
M
kk
C2 C1
x
奧林匹亞試題
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物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
V V
α β
SC
M
kk
C2 C1
x
x
d
AVk
M
a ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= 3
2
02 ε (14)
(3.1) 參看右圖,假設各電容電極板的帶電情形如圖所示,
利用克希何夫定則,可得兩個電路迴路和電荷量的方
程式如下:
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−−
=−−
=+−
0
0
0
21
1
1
2
2
s
s
s
s
s
QQQ
C
Q
C
QV
C
Q
C
QV
(15)
注意
s
s
s C
QV = ,由上式可解得
22
0
22
0
2
2
xd
AdC
xd
Ax
VV
s
s
−+
−= ε
ε
(16)
(3.2) 題設 xd >> ,(16)可近似為
AdCd
AxVV
s
s
0
2
0
2
2
ε
ε
+≈ (17)
由(11)和(12)兩式,可得電力與彈簧力的比值為
3
2
0
kd
AV
F
F
m
E ε=′
′
(18)
代入已知的數據,得
9323
2212
106.7
)100.1(102.4
12105.21085.8 −
−
−−
×=×××
××××=′
′
m
E
F
F
由上式可知電力和彈性力相比,電力可忽略。
(4.1) 由前題的結果可知作用於可動導電平板的力,主要來自於彈性力 kxFm 2−=′ ,
故當達成平衡狀態時,可動導電平板的位移為
k
Max
2
=
可動導電平板的最大位移為上值的兩倍,這情況就如同繫於鉛直懸掛的彈簧下端
的一個重物,自由下落的情形一樣,即
k
Maxx == 2max (19)
奧林匹亞試題
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物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月
當加速度等於重力加速度時,可動導電平板的最大位移為
k
Mgx =max (20)
由(17)式可得
AdCd
AxVV
s
s
0
2
max0
2
2
ε
ε
+≈ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −≈⇒ 12 max0
dV
Vx
d
AC
s
s
ε
(21)
代入已知數據,可得
m105.3
102.4
8.915.0 4
3max
−×=×
×=x
μF100.8F1008
1
100.115.0
105.312
100.1
105.21085.82
511
2
4
2
212
−−
−
−
−
−−
×=×=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −××
××
×
××××≈
.
Cs
設司機頭部與方向盤之間的距離為 l ,其值約為 0.4m~1.0m。當加速度運動剛開始時,
司機頭部相對於汽車的速度為零,故在 t1 時間內,司機頭部相對於方向盤的位移為
s5.0~3.02
2
1
1
2
1 ==⇒= gtgt
ll
安全氣囊啟動所需的時間 2t ,等於彈簧簡諧運動的半週期,即 22
Tt = 。該彈簧系統的振盪週期為
s026.0
102.42
15.02
2
2 3 =××== ππ k
MT
s013.02 =⇒ t
因為 21 tt > ,所以安全氣囊可以及時啟動。
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