二元函数极值的矩阵求法

2004年第 3期 第 6卷 (总第 25期 ) 淮南师范学 院学报 JOURNAL OF HUAINAN NORMAL UNIVERSITY No．3，2004 General No．25．Vo1．6 二 元 函 数 极 值 的 矩 阵 求 法 李远华 (淮南师范学院 数 学 系，安徽 淮南 232001) [摘 要] 利用正(负)定矩 阵研 究二元及 多元 函数极值 的存 在条件 ，并给 出求法。 [关键 词] 矩阵 ；函数 ；极 值 [中图分类号]0174．1 [文献标识码 ]A [文章编 号]1009—9530(2004)O3—0001一O2 函数 的极值一直是 数学研究 的重要 内容 之一，由于 它的应 用广 泛 ，加 之 函数 本 身变化 纷 繁，所 以人 们对 其方法 的研究 较多。像 不等式法 、导数 法等，本 文试 图利 用矩 阵对 二元 函数 的极值 进行讨论 ，并给 出 二元 及多元 函数极值 的求法 。 首先我 们 引 入 正 定 矩 阵 及 其 相 关 观 念。设 P 是 一 个 数 域 。系 数 在 P 中 的 二 次 齐 次 多 项 式 f(zlz2⋯z )=nllz{+2al2zlz2+⋯ +2nl， lz +a22z；+⋯ +2n2， 2z +⋯ +n ， ：称为数域P中 的 n元二次 型，简称 二次型。为方便起见 简记为 f(zl，z2，⋯z )= X Ax，其 中 X = (zl，z2，⋯z )，A = (n )， 、 分别从 1取到 n，我们 把 A 称 为二次 型f(zl，z2，⋯z )的系数 矩阵。 定 义 1：如果对于任意 一组不全 为零的实数 cl， 2，⋯c 都有 f(cl， 2，⋯c )> 0，称 实二 次型 f(zl， z2，⋯z )为 正定 的，如 果对于任意 一组不全 为零的实数 cl， 2，⋯c 都有f(cl， 2，⋯c )<0，称 实二次 型 厂(zl，z2，⋯z )为负定 的。 定义 2：如 果二次型 f(zl，z2，⋯z )= X Ax 为正定 的，称实对 称矩 阵称 A 为 正定 的 ；如果二 次型 f(zl，z2，⋯z )= X Ax 为 负定 的，称 实对称矩 阵称 A 为负定 的。 类似地 可 以定义半 正定 、半 负定 、不定二 次型和矩 阵⋯ ，1 ，' ⋯ L、 定义3：设A是一个n级矩阵，A的主子式A ’：’ ：J称为A的忌阶顺序主子式，忌=1，2，⋯n。 、 1 · · ⋯ R ／ 结论 1：实对 称矩 阵 A 正定 的充分必要条 件 A 的所有顺序 主子式全大 于零。【 定义 4：设 F(X)= F(z， )有 3阶连续偏 导数 ，Xo= (zo， o)，如 果 F(X)在 Xo处的一 阶偏导 数 全为零 ，则称 X 是 F(X)的一个稳定点 。 定义 5：xo是 F(x)的一个稳定 点，称 H = ( (xo))是 F(x)在 xo处的何塞 (Hesse)矩阵。 定理 2：设 xo= (zo， o)是 F(x)= F(z， )的一个 稳定 点，H = ( (xo))是 F(x)在 口处 的 何塞 (Hesse)矩阵。如果 H 是正定 的，则 F(x)在 xo处 达到极小值 ；如 果 H是 负定 的，则 F(x)在 x0处 达到极大值 ；如果 H 是不定 的，则 F(x)在 x。处既不是 极大值，也不是极 小值。 证 明：因为 xo= (zo， o)是 F(x)= F(z， )的一个稳定 点，所 以 F(x)在 xo处可展 开成泰勒级 数。即 F(zo+h， o+忌)= F(zo， o)+ {．}lF (X0，Yo)+kF y(XO，Yo))+ [．}l F (zo， o)+2hkF (zo， o)+忌 (zo， o)]+R 1 = F(zo， o)+寺(ah +2bhk+ck )+R， 其 中 n = (zo， o)，b = ( o)，c= ( o) R = Eh’F ．Ⅲ( )+3h 忌 ( )+3hk (z)+忌’ ( )] · [收稿日期]z003—12—17 [作者简介】李远华(1957一)，男，安徽省凤台人，淮南师范学院数学系副教授，研究方向为代数几何。 维普资讯 http://www.cqvip.com 2 淮南师范 学院学报 第 6卷 = (SC0+ Oh，Yo+ Oh)，0 < ￡，< 1 如果 l h l、l志l足够小 ，则 l R l< l ah +2bhk+ck l，从 而 F(x0+h， 0+志)一F(x0， 0)将 与 口^ +2bhk+ 同号， 达式 ．厂(h，志)= ah +2bhk+ 是 h，志的实 二次型 ，因此 ，如果 这个 二 次型是正定 的，则对 于足够小 的 l h l、l志l，且(h，志)≠ (0，0)，有 F(z0+h， 0+志)一F(x0， 0)> 0，这说 明 F(x， )在 X0= ( 0， 0)处达到极 小值 ；类似地，如果这个 二次型 ，(h，志)= ah +2bhk+ 是负定 的，F (z， )在 x0= (z0， 0)处 达到极 小值 ；如果这个二 次型 厂(h，志)= ah +2bhk+ 是 不 定 的，F (z， )在 x0= (z0+ 0)处既不是 极大值 ，也不是极 小值。 根据 以上叙述求 函数极值 可按下面步 骤进行 ： ① 求稳定 点 ；② 判 断在稳定 点处何塞矩 阵 的正定性 ；③ 根据何 塞矩 阵的正定 性判 断稳 定点 是否 为 极值点 ；④ 若极值存在 求 出相应 极值点处 的极值。 例 1：求 F( ， )= z + 一4xy+4x+1的极值 解：F =2 一4y+4，F =2y一4x，令F =F =0可求稳定(专，号)， (专，号)= (专，号)=2 (专，号)= (寺，号)=一4 矩阵(三4—24)正定；所以F(号，号)=弩为其极小值。 例 2：求 F(z， )= z 一 +3x +3 一9x的极值 解 ：F = 3x +6x一9，F = 6y一3y 稳定点 (1，0)，(1，2)，(一3，0)，(一3，2)， (1，0)= 12， (1，0)= 6， (1，0)= (1，0)= 0， ，1，’ N、 矩阵{二。， J正定，所以F(1，0)=一5为其极小值。 同理可求 ，F(一3，2)= 31为其极 大值 ；而(1，2)，(一3，0)处 的何塞矩 阵不定 ，所 以(1，2)，(一3，0) 为其鞍点。 例 3：某厂生 产两种产 品，价格分 别为 Pl=4，P2=8，产量分 别为 Ql，Q2，成本 函数为 C(Ql，Q2)= Qi+2Ql Q2+3Q；+2，问该厂应如何生产才能使所得利润最大? 解 ：该 厂收入 函数 R(Ql，Q2)= 4Ql+8Q 2，，于是利润 函数为 L(Ql，Q2)=4Ql+8Q2一Qi一2QlQ2—3Q；一2，利用一阶偏导数等于零可求稳定点为(1，1)， L(Ql，Q2)在 (1，1)处 的何 塞(Hesse)矩 阵负定，所 以 L(1，1)= 4为其 极大值 。 定义 4、定义 5、定理 2可推广 到 n元 函数的情形 ，于是 我们有 定义 4 ：设 F(x)= F(zl，X2⋯z )有 3阶连续偏导 数，a= (al，a2，⋯a )，如果 F(x)在 a处的一 阶偏 导数全为零 ，则称 a是 F(x)的一个稳定 点。 定义 5 ：a是 F(x)的一个稳 定点 ，称 H = ( (口))是 F(x)在 a处 的何 塞 (Hesse)矩 阵。 定理 2 ：设 口 是 F(x)的一个稳定 点，H = (F~scix，(口))是 F(X)在 a处 的何塞 (Hesse)矩 阵，如果 H 是 正定的，则 F(x)在 口处 达到 极小值 ；如果 H 是 负定的，则 F(x)在处达到极 大值 ；如果 H 是 不定 的，则 F(x)在 a处既不是 极大值，也不是极 小值。 [参 考 文 献 ] [1]北京大学数学系几何代数教研室．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1988 [2]丘维声．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2002 [3]同济大学数学教研室．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1996 维普资讯 http://www.cqvip.com