怎样审题-数学教学中的审题策略数学教学中的审题策略
数学教学中的审题策略
〔关键词〕审题策略;审题方法;提高能力;教学
审题即审清题意,通常它包含三个环节,即解题前对已知与未知事项的初步分析与观察(通常意义下的审题),解题过程中对题意的进一步分析(反顾),以及解题后的检验与反思。其具体内容是:已知什么?隐含什么?需作什么?注意什么?等等。
在数学教学中,教师通过分析题设与所求或结论之间的数学关系──逻辑关系、数量关系、空间位置关系等方面入手,使学生掌握审题方法,从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
具体而言,我们可从如下几方面进行审题的教学。...
数学教学中的审
策略
数学教学中的审题策略
〔关键词〕审题策略;审题方法;提高能力;教学
审题即审清题意,通常它包含三个环节,即解题前对已知与未知事项的初步
与观察(通常意义下的审题),解题过程中对题意的进一步分析(反顾),以及解题后的检验与反思。其具体内容是:已知什么?隐含什么?需作什么?注意什么?等等。
在数学教学中,教师通过分析题设与所求或结论之间的数学关系──逻辑关系、数量关系、空间位置关系等方面入手,使学生掌握审题方法,从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
具体而言,我们可从如下几方面进行审题的教学。
一、斟字酌句
逐字逐句,仔细地分析是审题的重要策略之一。在数学习题中,经常会出现一些容易看错的、或易被忽视的,或容易误解的字词,如果粗心麻痹,就会导致失误。因此,我们要善于“斟字酌句”,认真思考,弄清含义,为正确解题创造条件。
例1.一直线过点P
,并且在
轴和
轴上的截距相等,求它的方程。
分析:学生解此题时,容易忽视直线在
轴和
轴上的截距都为零,即直线过原点的情况。仔细分析本题应该分两种情况来解。
解:当直线过原点时,易求其方程为
;
当直线不过原点时,用直线方程的截距式,设所求方程为
,把已知点P
的坐标代入方程,得
。
此时所求方程为
,即
。
故所求直线方程为
和
.
二、抓住关键
许多题目都存在关键性的字词,抓住它们就会把握事物的本质属性,找到解题的突破口。
因此,审题时,除了熟悉问题的整体背景,注意各个部分之间的区别和联系外,要特别抓住关键字词展开思维。
例2.若二次方程
的两根为
的正弦与余弦,求点P
的轨迹方程。
分析:此题的关键是“方程的两根为
的正弦与余弦”,它包含着二层含义:一是方程有两实根,二是两实根的绝对值不大于1。由此确定此题的解题步骤──列条件,消
,求范围,得结果。
解:由根与系数的关系,得
,消去
得
.
因为
并且
,
,故知
,
。所以点P
的轨迹方程是
EMBED Equation.3 。
三、善于简化
有许多数学题,给出的已知条件或结论的形式比较复杂、繁琐。审题时,只要善于对已知或未知进行简化,就会化繁为简找到有效解决问题的方法和途径。
例3.设不等式
的解集为全体实数,求
的取值范围。
分析:题设不等式的系数比较复杂,可通过另设变元的方法,使此题解题过程简化。
解:设
,则
,
,
而原不等式化成
.
由题意知
,
解得
,即
,所以
,
从而解得
的取值范围是
.
四、寻求转换
审题时,思路不能只停留在原题上,而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题。其方法有:把具体问题转换成数学问题,把几何问题转换成代数问题,把代数问题转换成三角问题等等,不一而足。因此,我们在审题时,要注意分析题意,善于转换。
例4.已知
、
、
EMBED Equation.3 ,且
,
求证:
.
分析:由题设条件,联想到长方体的性质,经过构造几何模型,转换三角不等式问题为代数不等式来证明。
证明:构造长方体ABCD-A1B1C1D1,设其长、宽、高分别为a、b、c,一条对角线与各面所成的分别角为
、
、
,显然,
、
、
满足题设条件。易知
,
,
。由不等式
EMBED Equation.3 得
五、深入挖掘
有的数学题条件并不显易。或寓于概念,或存于性质,或含于图中,审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件。因为,这些隐含条件是突破难点、解决问题的关键所在。
例5.设复数
和
满足关系式
,其中
是不等于零的复数,证明:
(1)
;
(2)
。
分析:此题难度较大,直接推导证明不易。若在审题时,注意到题设的潜在条件“
必为正实数”,并由入手证明,就容易解决多了。
证明:设
,
,则
。欲证(2),只须证
.
考虑到
的幅角也为
,故只须证
为正实数。事实上,由已知
.
所以(2)得证。
同时,也证明了
,即
.
亦即
.此即为(1)。
六、利用图形
数形结合也是审题的一种重要方法。一旦题目与数轴、单位圆、图像、几何图形等存在联系,就可通过画图利用其直观性和几何性来帮助分析、思考,甚至根据图形直接找出
。
因此,我们要养成利用图形的直观性来分析问题的思维习惯。
例6.已知两复数集合
,
,求
(1)当
时,画出集合
的图形;
(2)当
时,求实数
的值;
(3)当
时,求实数
的取值范围。
分析:此题直接用代数的方法求解,则过程复杂且易出错。而根据复数的几何意义,用数形结合的方法,则问题迎刃而解。
解:(1)集合
表示以
为圆心,2为半径的圆及其内部的点集。
表示将圆向原点收缩为原来的一半,再逆时针旋转
,即为以点
为圆心,1 为半径的圆及其内部的点集。
(2)
,即
,
时,随着b的变化,
所表示的圆在X轴上方左右移动,只有当圆心移动到
时,小圆在大圆的内部,此时
。
(3)当
时,两圆相离,如图两圆心间的距离
,
,故
或
。
七、注视未知
审题时,注重从目标去分析思考,以获取有关信息,指导解题。因为抓住了目标,思维与推理也就具有了目的性和针对性。所以,注视未知,从目标出发,也是审题的一个重要方法。
例7.已知
为锐角,且
求
的值。
分析:由
的构成特点,本题的化简变形,不宜按常规对
的三角函数都采用降次的作法,而需把已知表达式中的含
的三角函数升次,含
的三角函数降次,即凑出
和
的表达式出来。
解:由(1),得
由(2),得
,得
,
因为
为锐角,所以
,故知
.
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