数学模型课件1mm
数学模型
第一章: 数学模型的概念
1.数学模型与现实世界的关系
2.怎样建立数学模型
3.数学模型的分类
1.E.A.本德的提法:数学模型是“关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、
简化的数学结构”,总之,数学模型是一种抽象的模拟,它用数学符号、数
学式子、程序、图形等刻划客观事物的本质属性与内在联系,是现实世界的
简化而又本质的描述。
2.一个实例:用开普勒三定律和牛顿第二定律推导万有引力定律(牛顿在力学
上的重要贡献之一)。
(一)开普勒三定律就是:
(1) 行星轨道是一个椭圆,...
数学模型
第一章: 数学模型的概念
1.数学模型与现实世界的关系
2.怎样建立数学模型
3.数学模型的分类
1.E.A.本德的提法:数学模型是“关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、
简化的数学结构”,总之,数学模型是一种抽象的模拟,它用数学符号、数
学式子、程序、图形等刻划客观事物的本质属性与内在联系,是现实世界的
简化而又本质的描述。
2.一个实例:用开普勒三定律和牛顿第二定律推导万有引力定律(牛顿在力学
上的重要贡献之一)。
(一)开普勒三定律就是:
(1) 行星轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆的一个焦点上。
(2) 行星在单位时间内扫过的面积不变。
(3) 行星运动周期的平方正比于椭圆长轴的三次方,比例系数不随行星
而改变。
(二) 牛顿第二定律: rf &&µ 这表示太阳和行星间的作用力 f 与加速度 r&&
的方向一致,与 r&&的大小成正比。
(三)万有引力定律: 太阳与行星间作用力的方向是太阳和行星连线方
向,指向太阳;大小与太阳-行星间的距离的平方成反比,比例系数是绝对常
数。
由(一)和(二):得 qq && 22121 rrrA =××=
A:常数 ,
dt
dq
q =&
引入单位向量:
ïî
ï
í
ì
+-=
+=
jiu
jiu r
qq
qq
q cossin
sincos
得 rurr ×=
sin cosru i j uqq q q q q
¢
= - × × + × × = ×
uur r r uur& & &
cos sin ru i j uq q q q q q
¢
= - × × - × × = - ×
uur r r uur& & &
而行星运动得速度和加速度
qq ururururr rrr ××+×=
¢
×+×=
¢ &&&
qqqq urrurrr r ×++×-=
²
)2()( 2 &&&&&&&
Q 2
2
r
A
=q&
\ 3
4
r
rA &&& -=q
Þ 02 =+× qq &&&& rr
\ rurrr ×-=
²
)( 2q&&& 说明 r ¢¢ // r
现将椭圆方程改写成:
ïî
ï
í
ì
-=-=
+
=
)1(,)1(
cos1
2222 eabeap
e
pr
q ,其中 a,b为椭圆的两个半轴,e为离心率
qqq
q
qqqq
q
q
q
q sin2sin2sinsin
cos1)cos1(
cos 2
2
2 p
Ae
p
eA
p
er
p
e
e
p
e
per ==××=×÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
= &&&&&
)(22cos12cos2 rp
pr
A
p
A
p
eA
p
Aer -=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=×=
qqq
qqq
&&&&&&
将q&用 2
2
r
A
=q& 替换,得 )()2()(22 3
2
2 rppr
Arp
r
A
pr
Ar -=-××=&&
计算 2
2
3
2
2
2
3
22
23
2
2 )2()2()2()2(2)()2(
pr
A
r
A
pr
A
r
A
r
Arrp
pr
Arr -=--=÷
ø
ö
ç
è
æ--=- q&&&
Þ rupr
Ar r&&r ×-= 2
2)2( 可知作用力与 2r 成反比。
现在证明
p
A 2)2(
是一个与哪一颗行星无关,是绝对常数。
由(一)(2):记行星运行周期为 T ,则 pabTA =
(3): 32 aKT ×= , K是绝对常数。
考察
( )
K
a
baKa
ba
paK
ab
p
T
ab
p
A 2
2
2
3
222
3
2
2
2 ppp
p
=
××
=
××
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 是一个绝对常数。
万有引力得到证明。
建模的一般步骤:
(1). 模型准备;
(2).模型假设;
(3).模型建立;
(4).模型求解;
(5).模型分析;
(6)..模型检验(若模型不合理,则转 2,调整假设);
(7). 模型应用。
观察力和想象力的培养:
例 1:某人平时下班总是乘坐下午 5:30分的火车回去。他的儿子准时在车站
接他。有一天,此人乘 5:00的火车回去,提前半小时下车然后步行回去。路
上,他遇到了开车来接他的儿子,因此比平时早 10分钟到家。问:此人一共步
行了多少时间?
z:到站时间; t:汽车耗时; x:步行时间
î
í
ì
-=-++-
=+
10530 utxz
utz
Þ 25=x
3. 模型分类:
1.认识程度:
白箱 (如:力学、电路理论,研究对象的优化
和控制问题);
灰箱 (化工、水文、地质、交通、经济,尚不完全清楚);
黑箱 (生态、生理、医学、社会等领域中一些机理(指数量关系方面)更
不清楚的现象)
2.按照变量的情况
离散 ,连续 ; 或 确定,随机 ; 或 线性,非线性 ;或 单变量,多变量
3.按照时间变化对模型的影响
静态,动态; 或 参数定常,参数时变
4.按照精密程度
集中参数-系统的输入能立刻到达系统内各点(常微分方程);
分布参数-系统的输入要经过一段时间才能传播到系统内各点(偏微分方
程)
5.按照研究方法和对象的数学方法特征
初等模型、优化模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型
6.按照研究对象的实际领域
人口模型、交通模型、生态模型、生理模型、经济模型、社会模型
第二章 初等模型
第一节.稳定的椅子(4个一样长的脚)
注:4个脚一样长的方桌一定能放平稳
假设:(1)椅子的四条腿一样长,四脚的连线成正方形
(2)地面是数学上的连续曲面
记 A、C两脚与地面距离之和为 )(qg
B、D两脚与地面距离之和为 )(qf
不妨设 0)0( =g 。我们注意到,椅子在任何位置,总有三只脚可以着地,即
对任意q, )(qf 和 )(qg 中总有一个为零,则稳定的椅子可归结为下面的数学问
题:
假设 )(qf 和 )(qg 是q的连续函数, 0)0( =g , 0)0( >f ,且对任意q,
0)()( =× qq gf 。求证:存在 0q ,使 0)()( 00 == qq gf 。
将椅子转动 o90 ,对角线互换,由 0)0( =g 和 0)0( >f ,可得
0)
2
( =pf 和 0)
2
( >pg .
令 )()()( qqq gfh -= ,则 0)0( >h , 0)
2
(
0)。事实上,无
论 r多么大,( rxy = 的意义即乙方弹头数为甲方的 r倍 )。由于乙方的
打击不可能摧毁甲方的所有弹头,设甲方每枚弹头的幸存率为 )0)(( >rp ,
Þ甲方只需不少于 })(min{ 0xrxpxxr ³= 存在,即可认为自己时安全的,
故 rxy = 必与 )( yfx = 相交而进入甲方的安全区,同理, rxy = 也与
)(xgy = 相交而进入乙方的安全区。
从草图上可以看出:(1) 乙方提高弹头数,可导致甲方亦提高弹头数;
(2)提高甲的幸存率 )0)(( >rp ,可减少甲的弹头数及乙的弹头数。
可以预料,核军备竞赛将进一步升级。
第三节. 量纲分析
量纲:一种表示不同物理特性的量,人们称之为“量纲”,常常记为 ][× 。
其中基本的量纲通常是质量(M),长度(L)和时间(T),其余物理量的量纲
可以用基本量纲来表示。如速度的量纲是 1-LT ,加速度的量纲是 2-LT ,从而力
的量纲是 2-MLT 。
量纲分析:根据当度量量纲的基本单位改变时,物理公式本身并不改变,
等号的两端必须保持量纲的一致,同时要求两端量纲的单位也保持一致。
量纲齐次:当量纲的各项具有相同量纲时,这个方程被称为是“量纲齐
次”的。物理定律中出现的各项必须具有相同的量纲。
例 1:万有引力定律中,出现的量纲量有:G, 1 2,m m ,r和 F。
考察
edcba FrmmG 21=p
p 的量纲: ( ) ( ) )(232231 eaedaaecbedcba TLMMLTLMMTLM +-++-++--- =
欲使p 为无量纲,Û
ï
î
ï
í
ì
=+
=++
=-++
0
03
0
ea
eda
aecb
0
10001
11003
10111
=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é-
e
d
c
b
a
(*)
行满,所以秩 r=3,所以解空间二维。
取 ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
0
1
b
a
,Þ [ ] [ ]TTedcba 1,2,2,0,1,,,, --= ;
取 ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
1
0
b
a
,Þ [ ] [ ]TTedcba 0,0,1,1,0,,,, -= ;
得
2
1
22
2
2
1 , m
m
Fr
Gm
== pp .
由于(*)式的任一解均可用基线性表示,而 G, 1 2,m m ,r和 F的一切无量
纲乘积均可用 1p 与 2p 的乘积和商来表示。
万有引力定律: 0121 =-pp 。
定理(Buckingham p定理):方程当且仅当可以表示为 0),,( 21 =Lppf 时,它
才是量纲齐次的,其中 f是某一函数, L,, 21 pp 为问题包含的变量与常数的无
量纲积。
例 2:(理想单摆周期)考察一个质量集中于距离支点为 l的质点上的无
阻尼单摆,其运动为某周期 t的左右摆动。试分析 t与其它变量之间的关系。
解:包含的量有: ,),(),(),(),( 2 qLlLTgMmTt -
考察 edcba ltgm qp = ,量纲为 dcdba TLM 2-+ ,e可任取。
欲使p 为无量纲的量,令
0
0
2 0
a
b d
c b
=ì
ï + =í
ï - =î
, 0
0120
1010
0001
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
d
c
b
a
取 ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
0
1
e
b
,Þ [ ] [ ]TTedcba 0,1,2,1,0,,,, -=
取 ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
1
0
e
b
,Þ [ ] [ ]TTedcba 1,0,0,0,0,,,, =
qpp == 2
2
1 ,l
gt
由p定理,存在 f,使 0),( 21 =ppf ,或 )( 21 pp h= ,即 )(
2
qh
l
gt
= ,
g
lkaswrite
g
lht )()( qq=Þ .
可以证明,当q很小时, pq 2)( »k ,即 g
lt p2= 。
量纲分析的一般步骤如下:
I. 将与问题有关的有量纲的物理量(变量和常数)记做 1 2, , , nx x xL 。按照物
理意义确定这个问题的基本量纲,记做 1 2[ ],[ ], ,[ ]mX X XL 。
II. 记 p
a =Õ
=
n
i
i
ix
1
,这是物理量之间的关系式,其中 ia 待定,p 为无量纲
量,将 ix 的量纲用基本量纲表示为:
[ ]
1
( 1, 2, )
ijm
i j
j
x X i n
b
=
é ù= =ë ûÕ L (*)
利用已有的物理知识定出 ijb 。
III. 利用(*)式得到Ⅱ式的量纲表达式:
1 1
[ ]
n
i
im ij
jj
X
a
b
p
=
Õ
=
æ öé ùÕ =ç ÷ë ûè ø
即 ( )1 1 [ ]
m
j
n ij i
ji
X
b a
p
=
×
Õ
=
é ùÕ =ë û
1
0
1
1
[ ] [ ]
m
j
n
mij i
i
j j
j
X X
b a
p=
×å
Þ =
=
Õ é ù= =Õ ë û
IV. 解线性方程组
),,2,1(,0
1
mj
n
i
iij L==å
=
ab
02
1
21
22212
12111
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
nnmmm
n
n
a
a
a
bbb
bbb
bbb
M
L
LL
L
L
;
若方程组秩为 r,则有 n-r个基本解,记做
( )( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , ( 1, 2, , )
Ts s s s
n s n ra a a a= = -L L ;
于是得到, nxxx ,,, 21 L 之间的 n-r个关系式:
( )
1
( 1, 2, )i
n
s
i s
i
x s n ra p
=
= = -Õ L ,其中 sp 是无量纲的量。
第四节. 比例方法
例 1.四足动物的身材. 问题:四足动物的躯干(不包括头、尾)的长度和
它的比重有什么关系?
实际意义:比如:一个在生猪收购站或屠宰场工作的人,往往希望能从生
猪的身长估计它的重量。
根据弹性理论知: 2
3
sd
fl
µd
又Q 2
3
2
4
,
d
l
ld
lslmmf µÞµÞµµ dd ;
~~ 动物的相对下垂度
进化
l
d
®常数,
23 dl µ\
又Q 2, dsslf µµ
44 klflf =Þµ\ ,由统计数据定出 k,即得 f与 l之间得关系式。
例 2. 雨中行走问题: 走多快才能少淋雨呢?
解: 用 )0,0,(u 表示人的速度, ( )zyx vvv ,, 表示雨速, l表示行走的距离,则行走
的时间为 u
l
。假定人体为长方体,则前、侧、顶的面积之比为 TL ::1 ,
则单位时间淋雨量为:
( ) ( ) TvLvvuTLvvvu zyxzyx ×+×+-=×--- ,,10,0,
总淋雨量为:
( )avuu
luR x +-=)( , 其中 0>×+×= TvLva zy
数学问题,已知 avl x ,, ,求 u为何值时, ( )R u 最小?
分两种情况讨论:
(1) 0>xv 时
;
当 avx > 时,Þ取 xvu = 使 ( )R u 取最小值, minR\
xv
la
= ;
当 xv a< 时, 无最值;
当 xv a= 时,
ïî
ï
í
ì
>
£-
=
)(
)(2
)(
aul
aul
u
al
uR ,故当u a³ 时 ( )R u 达最小.
(12) 0> avx 时,应取 xvu = 可以使前后不淋雨,则淋雨量最小;其它
情况下都应使 u尽可能地大。
第五节. 最短路径与最速的几个问题
1. 最短路径问题
例 1 .今有一个半径为 1公里的圆形湖,湖心在连接 A,B两点的线段上。
有一个步行者想从 A处步行到 B处去,除不能涉水过湖外,他不受其他限制,
问怎样的路径对他来说是最近的。
假设:路径是空间中的连续曲线。
猜测:过 A作圆的切线 AE,切圆于 E点,过 B作圆的切线 BF,切圆于 F
点。最短路径为由曲线 AE、弧 EF和线段 FB组成的连续曲线(隐含着平面中
两点间的最短路径为连接两点的线段)。
现证之:不妨设此人从湖的“上”方通过而到达 B处,显然,由射线
EA,弧 EF和射线 FB围成的平面区域是平面中的凸集,不难得到,最短路径
不能经过此凸集外的任意一点。否则,设其过凸集外的某点M,则由分离定
理,必存在一直线 H,将M与凸集严格分离开来。
由路径 是连续曲线,故必在路径中有一段包含M的弧 21MMM 与凸集分
离。这样,弧 21MM 比弧 21MMM 短,从而证得 AE,弧 EF,FB为最短路线。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
,
( )
,
x
x x
x
x x
l v al v u a l u v
u uR u
l a vl u v a l u v
u u
+ì
- + = - £ïï= í
-ï - + = + >ïî
结论:若可行区域得边界是光滑曲面,则最短路径必由下列弧组成,(1) 空间中
的自然最短曲线,或者(2) 可行区域的边界弧。而且组成最短路径的各
段弧在连接点处必定相切。
例 2.一辆汽车停于 A处并垂直于 AB方向,此汽车可转的最小圆半径为
R,求不倒车而由 A到 B的最短路。
解:(情况 1)若 RAB 2> ,最短路线由弧 AC和切线 BC组成;
(情况 2)若 RAB 2< ,则最短路线必居于(a)、(b)两曲线之中。可以证
明,(b)中的曲线弧 ACB更短。
2.最速方案问题
例 3.将一辆急待修理的汽车由静止(A点)开始沿一直线方向推至相隔
s米的修理处(B点),设阻力不计,请给出推车人能使车快速到达修理处的方
案。
解: 这种问题不易控制 v(速度)及 s(位移),但可以控制 a(加速度);设
1 2( ) 0, ( ) 0, ;v A v B f f f= = - £ £
m
fa
m
f 21 ££-Þ 。
第六节. 状态转移问题
问题 1 (人、狗、鸡、米过河问题). 人、狗、鸡、米均要过河,船需要人划,另
外,至多还能载一物,而当人不在时,狗要吃鸡,鸡要吃米,问人、
狗、鸡、米怎样过河?
解:过河状态为 1,未过为 0;则有 10个可取状态:(1,1,1,1,), (1,1,1,0), (1,1,0,1),
(1,0,1,1), (1,0,1,0), (0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,0,1);
运算向量:(1,0,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0);
定义加法: 0+0=0, 1+0=0+1=1, 1+1=0;
问题转化为 :对(1,1,1,1) 如何进行奇数次的运算,使之化为 (0,0,0,0)。
方法 1: 编写程序(包含有多个条件和判断语句)用计算机计算,但此方
法较烦,可能会出现重复;
方法 2:(图论方法)用简单的计算,给出可取状态“人在此岸”与“人
在对岸”之间的对应关系,可得两个等优的解:
一条是(1,1,1,1)→(0,1,0,1) →(1,1,0,1) →(0,0,0,1) →(1,0,1,1) →
(0,0,1,0) →(1,0,1,0) →(0,0,0,0);
另一条是 (1,1,1,1)→(0,1,0,1) →(1,1,0,1) →(0,1,0,0) →(1,1,1,0) →
(0,0,1,0) →(1,0,1,0) →(0,0,0,0).
问题 2 ( 夫妻过河问题). 有三对夫妻要过河,船最多能载两人,由于封建意识
严重,要求任一女子不能在丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起。如何安
排三对夫妻过河?(阿拉伯早期的一道趣味数学题)
一:把问题化为状态转移问题
用向量(H,W)表示有 H个男子,W个女子在南岸,其中 3,0 ££ WH ,
共有 10 个可取状态:(0,0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(3,0)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(1,1)
和(2,2)。
运算向量为 ( ),)1(,)1( nm jj -- 其中 2,1,0, =nm 且 L3,2,1,21 =£+£ jnm
在以上假设下,问题可转化为:
求由状态(3,3)经奇数次可取运算转移到(0,0)的转移过程。
步骤如下:
j=1
( )
( )
( )
( )
( )
LL
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
´
´
®
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
×-×-
×-×-
×-×-
×-×-
×-×-
+
)3,1(
)3,2(
)2,2(
)1,3(
)2,3(
0)1(,2)1(
0)1(,1)1(
1)1(,1)1(
2)1(,0)1(
1)1(,0)1(
)3,3(
11
11
11
11
11
二: 用图解法求解
运动规则为:
(1) 第奇数次需向左或下运动 1~2格
(2) 第偶数次需向右或上运动 1~2格
(3) 每次运动必须落在可取状态,即点“o”上
Ex:有三名商人各带一名仆人,现需过河,小船过河能载三人,商人已获得仆
人的阴谋,在河的另一岸,只要仆人数超过商人数,仆人会将商人杀死并窃取
货物。安排如何乘船的权利掌握在商人手中,试为商人制定一个安全过河方
案。
第七节. 铺瓷砖问题
要用 40块方形瓷砖铺设如图 7.1所示图形的地面,但当时商店只有长方形
瓷砖,每块大小等于方形的两块。一人买了 20块方形瓷砖,试试看铺地面,结
果弄来弄去始终无法完整铺好。
黑格 21
白格 19
用 19块长方形,而 2个黑格无法用一块长方形盖住,必须断一为二。
这种方法称为“奇偶校验”,即是如果两个数都是奇数或偶数,则称具有
相同的奇偶性。如果一个数是奇数,另一个数是偶数,则称具有相反的奇偶
性。
在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有相同的奇偶性,异色的两个格子具
有相反的奇偶性。长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格。因此
19块长方形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性
时,才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有具有相同
的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方形瓷砖,这就从理论上证明了用 20块长
方形瓷砖铺好图 7.1所示的地面是不可能的。
欧氏证明 2是无理数就用了“奇偶校验”;在物理学中也有着重要的证
明,如 1957年美籍华人杨振宁和李政道推翻著名的“宇称守恒定律”,以其卓
越的成就而获得诺贝尔奖金,其中就用了奇偶校验方法。
第三章 微分方程模型
第一节 发射卫星为什么用三级火箭
火箭是一个复杂的系统,为了使问题简单明了,我们只从动力系统及整体
结构上分析,并假定引擎是足够强大的。
1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星
(1) 卫星能在轨道上运动的最低速度
2
2 gRKR
mKmg =Þ×=
2
2
2
2 ÷ø
ö
ç
è
æ=
××
=
×
=\
r
Rmg
r
mRg
r
mKF 向心力
使卫星作匀速圆周运动,故 r
mvF
2
=
从而, r
gRv =
现设 81.9=g 米/秒 2
离地面高度(公里) 100 200 400 600 800 1000
v 7.86 7.80 7.69 7.58 7.47 7.37(公里/秒)
(2) 火箭推进力及速度的分析
假设:火箭重力及空气阻力均不计
考虑: ( )2)()()( tOtdt
dmtmttm D+D×=-D+
记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u(常数),由动量守恒定理:
[ ]utvtOt
dt
dmttvttm
utvtmttvttmtvtm
-×úû
ù
êë
é D+D×-D+×D+=
-×D-D+D+=
)()()()(
))(()()()()()(
2
)()()( 2tOt
dt
dmtmttm D+D+=D+
)()()()()()(
2tOt
dt
dmttvttvtmttvttm D+DD++D+=D+D+\
[ ] )()()()()()()( 2tOutvt
dt
dmt
dt
dmttvttvtmtvtm D+-×÷
ø
ö
ç
è
æ D-DD++D+=Þ
[ ] [ ] )()()()()()( 2tOutvt
dt
dmt
dt
dmttvtvttvtm D+-×D+DD+-=-D+
两边同除 tD ,并令 0®Dt ,得:
dt
dmu
dt
dvm
dt
dmutv
dt
dm
dt
dmtv
dt
dvm
-=Þ
-×÷
ø
ö
ç
è
æ+-= )()(
由此解得, ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
)(
ln)( 00 tm
muvtv , 0m 是火箭初始质量。
提高 u,或提高
)(
0
tm
m
之比,® )(tv
(3) 目前技术条件下一级火箭末速度得上限
火箭-卫星系统得质量分成三部分:
I. pm (有效负载,如卫星)
II. Fm (燃料质量)
III. sm (结构质量-如外壳、燃料容器及推进器)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
sp mm
muv 0ln
一般来说,结构质量 sm 在 Fs mm + 中应占有一定得比例,在现有技术
下,要使燃料仓与发动机得质量和小于所载燃料的
8
1
或
10
1
是很难做到的。
设 )()( 0 psFs mmmmm -=+= ll
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
=Þ
pmm
muv
)1(
ln
0
0
ll
对于给定的 u值,当 0=pm 时,火箭所能达到的速度为 ÷
ø
ö
ç
è
æ=
l
1lnuv 。
已知目前火箭燃料的 skmu /3= ,如果取 1.0=l ,则 skmv /7» .
又 vQ 末
r
gR= ,取 kmrkmRsmg 70006006400,6400,/81.9 2 =+=== ,
skmv /6.7»Þ
而由前面推出卫星要进入圆形轨道,火箭末速度应为 skm /6.7 ,(是在假
定忽略空气阻力、重力,不携带任何东西的情况下),由此得出,如上的
单级火箭是不能用于发射卫星的。
缺陷:在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底,但当燃料耗尽时,发
动机加速的仅仅是一个空的燃料仓。因此,有待改进火箭的设计。
改进:不断丢弃无用部分。
t
dt
dm
D×- l 表示丢弃的结构质量, tdt
dm
D×-- )1( l 表示燃烧掉的燃料喷
出的气体质量。
理想连续丢弃:
建模:由动量守恒定律,
)()1()()()()()( uvt
dt
dmtvt
dt
dmttvttmtvtm -×D--×D-D+D+= ll
¯= )()()()(
2tOt
dt
dmttvttvtm D+DD++D+×
整理,并令 0®Dt ,得
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=Þ--=
)(
ln)1()()1( 0
tm
mutv
dt
dmu
dt
dvm ll
vÞ 末 ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
pm
mu 0ln)1( l
考虑空气阻力、重力,理想要达到: v 末=10.5km/s, 而不是 7.6km/s.
如果取 50,/3,1.0
0 =Þ==
pm
mskmul ,即 1(t)重的卫星需要造一个 50(t)重
的火箭。
(4) 理想过程的实际化: 连续丢弃用逐级丢弃近似
令 im =第 I级质量(燃料+结构), iml 为结构质量, im)1( l- 为燃料质
量。假设 u一样,以分析三级为例: pmmmmm +++= 3210
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+++
=
321
0
1 ln mmmm
muv
p l
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
++
+=
32
32
12 ln mmm
mmm
uvv
p
p
l
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
+=
3
3
23 ln mm
mm
uvv
p
p
l
ï
î
ï
í
ì
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+++
=
+++=
Þ
3
3
32
32
321
03
3210
ln
mm
mm
mmm
mmm
mmmm
m
u
v
mmmmm
p
p
p
p
p
p
lll
选取 321 ,, mmm 使 pm 最大。
令 ,,, 33
3
32
2
32
0
1
p
p
p
p
p m
mm
a
mm
mmm
a
mmm
ma
+
=
+
++
=
++
=
(*)式则变为: 3 31 2
1 2 3
ln
1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
v aa a
u a a al l l
æ öæ öæ ö
= ç ÷ç ÷ç ÷+ - + - + -è øè øè ø
由于 321 ,, aaa 是对称的,故当 321 aaa == 时, 1 2 3a a a× × 取最小值,即 pm 最大,
令
÷
ø
öç
è
æ
=
-+÷
÷
ø
ö
çç
è
æ
-+
=Þ=== u
v
e
a
a
a
a
u
vaaaa 3
3
321 )1(1
,
)1(1
ln
ll
,
记
3
03 1, ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=Þ=
÷
ø
ö
ç
è
æ-
l
l
pm
mep
p
u
v
设 v=10.5km/s,u=3km/s, 77,1.0 0 »Þ=
pm
m
l .
二级,n级同理:
级数(n) 1 2 3 4 5 … ¥
质量(t) - 149 77 65 60 … 50
§2 传染病传播的数学模型
生物医学中的数学模型 :(1)传染病传播的数学模型
(2)疾病的数学模型
人们将传染病的统计数据进行处理和分析,发现在某以民族或地区,某种传染
病传播时,每次所涉及的人数大体上是一常数,这一现象如何解释呢?
分析:传染病传播涉及的因素:人口多少;易受传染的人有多少;传染率
的大小;排除率的大小,人员的迁入或迁出;潜伏期。
先考虑最简单的情形:
模型一: 假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数是常数 K;
(2)一人得病后,经久不愈,人在传染期间不会死亡。
记 )(ti 表示 t时刻病人数, 0K 表示每个病人单位时间内传染得人数,
0)0( ii = ,即最初有 0i 个传染病人。则在 tD 时间内增加的病人数为
ttiKtitti D×=-D+ )()()( 0
ïî
ï
í
ì
=
×=
Þ
0
0
)0(
)()(
ii
tiK
dt
tdi
其解为 tKeiti 00)( ×=
表明:传染病的传播是按指数函数增加的。初期吻合较好,但
¥®¥® )(, tit ,这是不符合实际的,假设(1)有问题。
模型二:用 )(),( tsti 表示 t时刻传染病人数和未被传染人数, 0)0( ii = ;
假设(1),每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正
比,即 )(0 tKsK = ;
假设(2),一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。
假设(3),总人数为 n,即 ntits =+ )()(
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=+
×=
Þ
0
0
)0(
)()(
)()(
ii
ntits
tiK
dt
tdi
,得
inKe
i
n
nti
××-
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+
=
11
)(
0
.
可以用来预报传染较快得疾病前期传染病高峰到来的时间
2
0
0
2
11
1
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
××-
××-
tnK
tnK
e
i
n
e
i
nkn
dt
di
此函数称为传染病曲线,它表示传染病人增加率与时间的关系。
令 0
)(
2
2
=
dt
tid
,得极大点为 nK
i
n
t
×
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=
1ln
0
1 .
由此可见,当 nK , 时, ¯1t ,即传染病高峰来得快,这与实际情况吻合;该
公式对于防治传染病是有益处的;但当 +¥®t 时, nti ®)( ,这是不符合实际
的,问题出在假设(2),即假设了人得病后经久不愈。
模型三:把居民分成三类
第一类:是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。用 I(t)表示 t
时刻第一类人数;
第二类:是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的,用 S(t)
表示 t时刻第二类人数;
第三类:包括患病死去的人,病愈后具有长期免疫力的人,以及在病愈并
出现长期免疫力以前被隔离起来的人。用 R(t)表示。
假设疾病传染服从下列法则:
(1) 人口总数保持固定水平 N;
(2) dt
tdS )(
正比于 )(),( tStI ;
(3) )()( tRtI ® 的速率正比于 )(tI 。
dS r S I
dt
dI r S I rI
dt
dR r I
dt
ì = - × ×ï
ï
ïÞ = × × -í
ï
ï = ×ïî
r:排除率,r:传染率
)(),(,0)( tStI
dt
RISd
=
++
解出, R亦解出。
=++Þ RIS 常数
,ln)(
0
00 S
SSSIsI r+-+=Þ 其中
r
r
=r ,
ï
î
ï
í
ì
<>
==
><
+-=¢
r
r
r
r
S
S
S
S
sI
,0
,0
,0
1)(
0)(,)0( 0 >=-¥= IsII
,¥$\ S 使 000)( SSSI <<= ¥¥
从 ¯Þ+¥® )(,0 tSt ,
如 r<0S ,则 ¥®¯ StStI )(,0)( ,所以这种情况疾病会很快被消灭。
如 rr ®> )(,0 tSS 时,则 ),()( +¥® ttI 且 r=S 时, )(tI 达到最大值。
这说明仅当传染病开始时健康者人数超过 r的情况下,传染病才会蔓延, r
是一个阀值(俗称门槛)。通常 0I 很小,可近似认为 0S n» ,在总人数 n不变
的情况下,提高门槛 r的值,无疑是对制止传染病蔓延有利于使 r提高,现使
¯ rr , ,即提高医疗水平和健康水平。
当 r<)(tS 时, ¯)(tI 。
下面估计在一次传染病的流行过程中,被传染的总人数 ¥-= SSxx 0: .
0 0
0
( ) ln SI t I S S
S
r= + - +Q
0 0
0
( ) 0 ln 0SI S I S S
S
r ¥¥ ¥= Þ + - + =
0IQ 很小, 0ln 0
0
»+-Þ ¥
¥ SS
S
S
r
0ln
0
»+Þ ¥
S
Sx r
而 01ln
0
0 »÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-+\-=¥ S
xxxSS r
利用对数函数的泰勒展开式,(因 0
S
x
<1),
0
2
1
2
0
2
0
»÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+×+-\ L
S
x
S
xx r
0
2
1 2
00
»÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ ×
--Þ
S
x
S
x rr
r
r 00 )(2 SSx -»Þ
记 dr +=0S ,
当 rd << 时, d2»x
生物数学家 Kermack 和Mekendrick在 1927年证明了
定理(传染病学中的阈值定理) . 设 0 ,S r d= + 且假设
d
r
同 1相比是小
量。 并设最初传染人数 0I 很小,则最终患病人数为 2d 。
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