2010-7-30 理学院施三支
第7章
布朗运动
7.1 基本概念与性质
7.2 Gauss过程
7.3 布朗运动的鞅性质
7.4 布朗运动的Markov性
7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律
7.6 布朗运动的几种变化
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7.1 基本概念与性质
定义7.1.1 随机过程 }0),({ ttX 如果满足
0)0().1( X
则称{ )(tX , 0t }为布朗运动,也称维纳过程。常记为 )(tB , 0t
或 )(tW , 0t 。
(2). { )(tX , 0t }有独立的平稳增量
(3). 对每个 0t , )(tX 服从正态分布 ),0( 2tN
如果 1 ,称之为标准布朗运动,如果 1 ,则 }0,/)({ ttX
为标准布朗运动。不失一般性,只考虑标准布朗运动的情形。
注:
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性质7.1.1 布朗运动 }0),({ ttB 具有如下性质:
(1). 增量具有正态性。即 ),0(~)()( stNsBtB , ts
如果没有假定 0)0( B ,即 xB )0( ,称之为始于 x的布朗运动,
记为 )(tBx ,显然 )()( 0 tBxtBx 。
注:
(2). 增量是独立的。即 )()( sBtB 与 )(uB 独立,这里 tsu
(3). 路径的连续性。 0),( ttB 是 t的连续
。
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设 }0),({ ttX 是随机过程,如果它的有限维分布时
空间平移不变的,即
注:
}0)0(|)(,,)(,)({ 2211 XxtXxtXxtXP nn
})0(|)(,,)(,)({ 2211 xXxxtXxxtXxxtXP nn
设 0),( ttB 是标准布朗运动,计算 }0)2({ BP ,
}2,1,0,0)({ ttBP 。
例7.1.1
则称此过程为空间齐次的。
布朗运动过程具有空间齐次性。
定义7.1.2
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7.2 高斯过程
定义7.2.1
有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。
设 ),(~ 211 NX , ),(~ 222 NY 相互独立,则
),(~ NYX 。其中 ),( 211 ,
222121
2
1
2
1
引理7.2.1
)(tB 是布朗运动,求:(1) )4()3()2()1( BBBB 的
分 布 ; (2) )1()
4
3()
2
1()
4
1( BBBB 的 分 布 ; (3)
}
3
2)({
1
0
dttBP 。
例7.2.1
布朗运动过程是均值为 0)( tm ,协方差函数为
),min(),( stts 的高斯过程。
定理7.2.1
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7.3 布朗运动的鞅性质
设 )(tB 是布朗运动,则
(1) )(tB 是鞅;
(2) ttB 2))(( 是鞅;;
(3) 对任何实数 u, }
2
)(exp{
2
tutuB 是鞅。
定理7.3.1
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7.4 布朗运动的马尔科夫性
定义7.4.1
设 0),( ttX 是一个连续随机过程,如果对任何 0, st ,有
..)},(|)({}|)({ satXystXPFystXP t
则称为Markov过程。这里 }0),({ tuuXFt
布朗运动过程是马尔科夫过程。 定理7.4.1
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7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律
记 xT 为布朗运动首次击中 x的时刻,即 })(:0inf{ xtBtTx ,我们
可以计算出
从而 1}{lim}{ tTPTP xtx ,但是
0 0 20 222}{ dtdyedttTPET
tx y
xx
0 22
2
0 0
2 2
22
2 1
2
2
2
2 dye
y
xdtdye y
yxy
10 2
212 1
2
2 dy
y
ex
0x 时 tx yx dyextBPtTP 2222})({2}{
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则 xT 为几乎必然有限的,但是有无穷的期望。直观地看,布朗运
动以概率 1击中 x,但它的平均时间是无穷的。
同样 0x 时 tx yx dyetTP 2222}{
故有
0,0
0,
2
||
)(
22
3 2
u
ueuxuf
u
x
Tx
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记 )(tM 为布朗运动在[0,t]中达到的最大值,即 )(max)(
0
sBtM
ts
,我
们可以计算出当 0x ,有
tx yx dyetTPxtMP 2222}{})({
记 )(tm 为布朗运动在[0,t]中达到的最小值,即 )(min)(
0
sBtm
ts ,我们
可以计算出当 0x ,有
tx yx dyetTPxtmP 2222}{})({
设 )}({ tBx 为始于 x的布朗运动,则 )}({ tBx 在 ),0( t
中至少有一个零点的概率为 t ux dueux 0 22
3 2
2
||
。
定理7.5.1
如果时间 使得 0)( B ,则称 为布朗运动的零点。
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设 }0),({ ttB y 是布朗运动,则
b
abatBP y arcsin2}),()({ 中没有零点在 。
定理7.5.3
)(tB y 在区间 ),( ba 中至少有一个零点的概率为
b
aarccos2 。
定理7.5.2
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7.6 布朗运动的几种变化
一、布朗桥
设 0),( ttB 是一个布朗运动,令
)1()()(* tBtBtB , 10 t
则称随机过程 }10),({ ** ttBB 为布朗桥(Brown Bridge)
定义7.6.1
注:
0)(* tEB )1()()( ** tstBsEB
布朗桥是高斯过程。且对任何 ,有10 ts
由定义可知, 0)1()0( ** BB
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二、有吸收值的布朗运动
设 }0),({ ttB 是一个布朗运动, xT 为 )(tB 首次击中 x的时刻,令
x
x
Ttx
TttX
tZ
,
),(
)(
则 }0),({ ttZ 是击中 x 后,永远停留在那里的布朗运动,即带有
吸收值 x的布朗运动。
注:
x t
y
dye
t
xtZP 2
2
2
2})({
0),( ttZ 的分布:离散部分和连续部分分别是
y xy t
u
due
t
ytZP
2
2
2
2
2})({
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三、在原点反射的布朗运动
设 }0),({ ttB 是一个布朗运动,令 0|,)(|)( ttBtY 则称
}0),({ ttY 是在原点反射的布朗运动。
注: 0),( ttY 的分布
01
2
2})({ 2
2
yduetytYP
y
t
u
,
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四、几何布朗运动
设 }0),({ ttB 是一个布朗运动,令 0,)( )( tetX tB 则称
}0),({ ttX 为几何布朗运动。
注: 0),( ttX 的均值函数和方差函数分别为
2)( tetEX tt eetXVar 2))((
设某人拥有某种股票的交割时刻为 T,交割价格为 K的欧式看涨期
权,即他具有在时刻 T固定的价格 K购买一股这种股票的权利。假
定这种股票目前的价格为 y,并按几何布朗运动变化,计算拥有这
个期权的平均价值。
例7.6.1 (股票期权的价值)
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五、有漂移的布朗运动
设 }0),({ ttB 是一个标准布朗运动, ttBtX )()( , 我
们称 }0),({ ttX 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注:
ba
aabP }{ 之前上升布朗运动在下降
利用有漂移的布朗运动 0),( ttX 可以算出
作业:1. P142 1,2,4
2. 写本章小结
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