对求最值问题方法的探讨
蒙胜明 (山东省韶关市仁化中学512000)
最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中经常
遇到的’类特殊的数学问题,所谓“多、快、好、省”就属于这一
类问题。在中学课本中虽然这一类问题没单独列出章节专门讲授,
可是它却与中学数学中众多的知识和方法紧密相关。比如:二次函
数、不等式、函数的有界性等有关知识和方法的运用。所以,最大
值和最小值问题就在高考数学的考查中占有了比较重要的地位。另
外,最大值和最小值问题的另一个显著特点是它的广泛的应用性和
实用性。很多实际问题的解决可以归结为一个数学上的最大值或最
小值问题...
蒙胜明 (山东省韶关市仁化中学512000)
最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中经常
遇到的’类特殊的数学问题,所谓“多、快、好、省”就属于这一
类问题。在中学课本中虽然这一类问题没单独列出章节专门讲授,
可是它却与中学数学中众多的知识和
紧密相关。比如:二次函
数、不等式、
的有界性等有关知识和方法的运用。所以,最大
值和最小值问题就在高考数学的考查中占有了比较重要的地位。另
外,最大值和最小值问题的另一个显著特点是它的广泛的应用性和
实用性。很多实际问题的解决可以归结为一个数学上的最大值或最
小值问题的求解,这类实际问题的求解,将有利于学生把实际问题
抽象成数学问题的训练,有利于分析问题和解决问题能力的培养,
有利于数学应用意识的形成。从近几年的高考“在考查知识的同
时,逐步加强r对能力的考查”的趋势看,高考将注重检查考生对
所学课程内容能够融会贯通所达到的程度。从这一角度看,最大值
最小值应用问题在高考数学试卷中仍是一个热点。
因此,我们应该总结一下最大、最小值问题的题解方法和技
巧。现根据不同的题型,分别介绍以下:
一、利用三角函数的有界性求最值
若xER,那么lsinxI≤1,lCOSXl≤1。这是三角函数的有界
性,它是二角函数的一个重要性质。在求解数学问题时有着十分广
泛的应用,特别是在求最值问题时能发挥的作用更大。
例h已知sina+sinp+siny=2,
求u-sin2叶sin2p+sin2丫+2sin叶sinp+sin丫的最大值。
分析:在这道题中,变量多,关系式复杂,运用常规的方法解
题有些困难,但我们口丁以考虑从三角函数的有界性出发,沟通已知
与未知之间的内在联系。
解:根据正弦函数的有界性得:
(sina-1)(卜sinB)≤O
RPsina+sinB-lR
0
由于y---4X--X3=X(4一x2)得:
产x2(4一f)2-妻·2x2(4-x2)(4-】【2)
≤三[兰£±丝=!!±丝二12]。:三.旦:坐
2。 3 。227 27
当且仅当2xz:4一x2,即x=竽时,yz的最小值为孕,因为
j 二,
.,C
Oo。所以y的最大值为三竺竺。
9
从上例不难看出,用平均值定理求最值时,一定要注意定理
的使用条件。否则,尽管技巧用得自然,也一样不能得出正确的结
果。
三、用圆求最值
在圆中,有不少的问题与最值有关系。如,同圆中有最大的
弦,弦心距有最大值和最小值;面积‘一定的平面图形中,圆的周长
最短;两端点在圆周上,且平分该圆面积的各线中直线最短;弦的
同侧各点对同弦的视角中,圆周角大于圆内角,这些是我们用圆求
最值的主要依据。
例3:已知两线l,m满足12+m2=k2(k>O,k为定值)试求1+m的
最大值。
分析:因为12+m2=k2,
且k>O为定值,故可作△ABC,使AB=k,AC=I,BC=m,则
么C=90。,因而本题的实质,就是要在AB(k)为斜边的直角三角形
中,求两直角边之和的最大值。
解:作半圆AB使AB=k(如图)在AB上任
取一点C,则Rt△ABC中,Re2+BC2=k2=12+in2,
则延长Ac至P使CP--CB,则么13=45。。
所以点P的轨迹是以AB为弦,内接角为
45。的弓形弧,即以AB的中心C为圆心,c’A
为半径的弓形弧APB,延长AC’,交APB于
Q,lItlc’O=C’B,于是
(1+m)。,=AC’+BC7=AO=42k.
这是因为在OC’(C’A)中,直径AQ大于任意弦AP。
分析:先将问题化归为“在斜边一定的直角三角形中,求两
直角边和的最大值。”再利用“在确定的弓形弧中直径是最大的
弦。”这是因为两者都是以点的轨迹为基础。
四、利用点到直线的距离公式求最值
在求解某些最值问题时,应用点到直线的距离公式,可使抽象
问题直观化,并能简化解题过程,提高解题速度。
l
例4:已知f(u)《+au+(b一2),其中”=工+二(xER,x≠O)若
万方数据
a、b是可使方程f(x)卸至少有一个实根的实数,求a?十b2的最小值。
解:‘..u-x+二 ...Iul≥2.
所以a,b是使u2+au+b一2=0,至少有~绝对值大于等于2的实根
的实数,视u2+au+b一2=0为一直线1的方程,a2+b2的几何意义为直线l
上的点(a,b)到坐标点o(o,o)距离的平方,因为点到直线的距离
是该点与直线上的点之间的距离的最小值,故
厕铸I=等1=而一南1疗三45√u2+ √“2+、~2+
当u2:4时,取到最小值,i故a2+62≥·污一去)2=詈,
从而(a2柑)rain=;
五、利用判别式法求最值
把函数的关系式化为关于X的二次方程,由于方程有实数解,
故判别式大于或等于零。利用A>10求得函数Y的值域,常用形如
y=甜+b±.f-磊+dx+一l,y=石嘉石+√孺及y=磊ax丐X+而bx+c的
函数。
例5:求函数Y=靠一2-4-,/9-2x的最值。
解:...Y:√i忑+√函的定义域是[2,昙]将原式两边平
方并整理得:_l,2+工一7=24-2x2+13x一18
再平方,并整理得:
9x2—2(33一Y2协+04—14y2+121)=0(1)
‘?x∈R,...△>10,
即【2(33一y2)】2—360,一14y2+121)=x6y2(15-2y2)≥0
显然,函数Y不可能为零及负值。
...ocy≤孚
将y:掣代入上述方程(1)求得x:i17,此时工∈【2’争,故知
当工:!三时,函数y取得最大值为掣。
O 2
注意:利用此法时,曾将原式两边同时平方,原函数的定义域
和值域有可能发生变化,因此需要检查最值对应的值是否在原函数
的定义域内。
六、利用微积分求最值
定理: (最大值,最小值定理)若函数f在闭区间[a,b]上连
续,则f在[a,b]上存在最大值与最小值。
这个定理给出了最大值和最小值存在的充分条件。最大
(小)值一定是极大(小)值,反之则不一定,所以求函数f在区
间I上的最大(小)值,可以先求出f在区间I上的极值点,从而再从
极值点中确定函数的最大(小)值。
综上所述,若函数f在区间I上存在最大(小)值,则求最大值
(小)值的办法是:求出f在I上所有的稳定点,不可导点及区间端
点(指属于I的),比较这些点的函数值,或根据题意作出判断。
例6:从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的
正方形,然后按虚线把四边折起来做成一个无盖盒子,问要截去多
大的小方块,方使盒子的容量最大?
分析:这是一道关于生产实践和科学实践的题目,如果我们单
纯从代数思想或几何思想的角度去考虑它,是相对比较难入手的,
但若我们能转化思想角度应用微积分来
么题目也就可以迎刃而解了。
解: 用x示戳去小正方形的边长
子的容积为:
、,=】【(a-2x)2 x∈[0,兰]
二
现求x的值使v取得最大值,为此求
的导数:
—d-v=(a-2x)2+x·2(a_2x)卜2)
ax
=a2_4ax+4x2+(2ax一4x2)(-2)
=a2-8ax+12x2
=(a-2x)(a--6x)
令宰=(a-2x)(a-6x)=o.
4X
得到函数①在[o,号]上的稳定点x:詈、詈,这样易见x:詈是
使v取得最大值的点,也就是说当正方形的四个角各剪去一块边长
为i的小正方形,能做成一个容积最大的盒子。
上面对求最大、最小值的一些方法和技巧作了一些归纳和整
理。方法和技巧着重于灵活运用,在解题过程中,我们要进一步探
索规律,总结方法,从而迅速、准确地解决不同类的命题,不断提
高分析问题和解决问题能力。
参考文献
1.郑英元,毛羽辉.《数学分析》(.).宋国栋编高等教育出版社.
2.《高中代数》(下册).人民教育出版社.
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万方数据
对求最值问题方法的探讨
作者: 蒙胜明
作者单位: 山东省韶关市仁化中学,512000
刊名: 学周刊B版
英文刊名: LEARNING WEEK
年,卷(期): 2010(9)
参考文献(2条)
1.高中代数
2.郑英元;毛羽辉;宋国栋 数学分析
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xzk-b201009217.aspx
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