自然数

，这种方法叫做辗转相除法。 性质5若 b∣a,则[a,b]=a. 性质6若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm. 性质7若n∣a, n∣b,则 . 4、 数的整除性 定义3　对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba 5、 数的整除性的性质 性质1 若a∣b，b∣c，则a∣c 性质2 若c∣a，c∣b，则c∣(a±b) 性质3 若b∣a, n为整数，则b∣na 6、 同余 定义4 设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作 a≡b(mod m) 7、 同余的性质 性质1 如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m) 性质2 如果a≡b(mod m)，那么对任意整数k有ka≡kb(mod m) 性质3 如果a≡b(mod m)，那么对任意正整数k有ak≡bk(mod m) 性质4如果a≡b(mod m)，d是a，b的公约数，那么 2、 例题精讲 例1 设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225. 如果m和n的最大公约数为15，求m+n的值 (第11届“希望杯”初一) 解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a，n=15b，且(a,b)=1 因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15 因为 a,b是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6 从而m+n=15(a+b)=15 7=105 评注：1、遇到这类问题常设m=15a，n=15b，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。 2、思考一下，如果将m和n的最大公约数为15，改成m和n的最小公倍数为45，问题如何解决？ 例2　有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？ 分析：将问题转化为最小公倍数来解决。 解　设这堆苹果最少有x个，依题意得 　 由此可见，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍数 因为　[2,3,4,5,6]=60，所以x-1=60，即x=61 答：这堆苹果最少有61个。 例3　自然数a1，a2，a3，…，a9，a10的和1001等于，设d为a1，a2，a3，…，a9，a10的最大公约数，试求d的最大值。 解　由于d为a1，a2，a3，…，a9，a10的最大公约数，所以和a1+a2+a3+…+a9+a10＝1001能被d整除，即d是1001＝7 11 13的约数。 因为d(ak，所以ak≥d，k＝1，2，3，…，10　　从而1001＝a1+a2+a3+…+a9+a10≥10d 所以　 　由d能整除1001得，d仅可能取值1，7，11，13，77，91。 因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182 其中每一个数都能被91整除，所以d能达到最大值91 例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数码，从0001到9999号，如果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购物券为幸运券，如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题) 证明：显然，9999的购物券为幸运券，除这张外，若号码为n的购物券为幸运券，则号码为m=9999-n的购物券也为幸运券。由于9999是奇数，所以m，n的奇偶性不同，即m≠n，由于m+n=9999，相加时不出现进位。就是说，除号码为9999的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为9999，从而可知所有的幸运券的号码之和为9999的倍数。由101∣9999，所以所有幸运券的号码之和能被101整除。 评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。 例5 在1，2，3，…，1995这1995个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a)能整除1995 a (第五届华杯赛决赛试题) 分析： 分子、分母都含有a，对a的讨论带来不便，因此可以将 化成 ，这样只有分母中含有a，就容易对a进行讨论。 解 因为(1995+a)能整除1995 a，所以 是整数，从而 是整数 因为1995 1995=32 52 72 192，所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。注意到1≤a≤1995，所以 1995<1995+a≤3990 如果1995+a 不被19整除，那么它的值只能是以下两种： 3 52 72=3675，32 5 72=2205 如果1995+a 能被19整除，但不被192整除，那么它的值只能是以下两种： 3 72 19=2793，52 7 19=3325 如果1995+a 能被192整除，那么它的值只能是以下两种： 7 192=252 7，32 192=3249 于是满足条件的a有6个，即从上面6个值中分别减去1995，得到 1680、210、798、1330、532、1254 评注：本题通过对 的适当变形，便于对a的讨论。讨论时通过将1995 1995分解质因数，然后将因数1995+a通过检验的方法定出。这种方法在解决数的整除问题中经常使用。 例6 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？(第四届华杯赛复赛试题) 解 显然11≡1(mod 3)，33≡0(mod 3)，66≡0(mod 3)，99≡0(mod 3) 又 22=4≡1(mod 3)，44≡14≡1(mod 3)，55≡25≡(-1)5≡(-1)(mod 3)， 77≡17≡1(mod 3)，88≡(-1)8≡1(mod 3) ∴11+22+33+44+55+66+77+88+99≡1+1+0+1-1+0+1+1+0≡4≡1(mod 3) 即所求余数是1 评注：用同余式求余数非常方便。 例7 已知： ，问a除以13，所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题) 分析：将a用十进制示成 ，1991除以13，所得余数是显然的，主要研究 除以13的余数规律。 解 mod 13，103≡(-3)3=-27≡-1， 1+104+108≡1-10+102=91≡0，1991≡2 ∴a≡ ≡ =-18≡8，即a除以13，所得余数是8 例8 n是正偶数，a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同；b1,b2,…,bn除以n，所得的余数也互不相同。证明a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。 证明 ∵n是正偶数，所以n-1为奇数，∴ 不是n的倍数， ∵a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同，所以这n个余数恰好是0，1，…，n-1.从而a1+a2+…+an≡0+1+…+(n-1)= 0(mod n) 同样b1+b2+…+bn≡ 0(mod n) 但 (a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)= (a1+a2+…+an)+( b1+b2+…+bn) ≡ EMBED Equation.3 ≡0(mod n) 所以a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。 例9 十进制中，44444444的数字和为A，A的数字和为B，B的数字和为C，求C 分析：由于10≡1(mod 9)，所以对整数a0，a1，a2，…，an有 它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余。 根据上述结论有 C≡B≡A≡44444444(mod 9).所以只要估计出C的大小，就不难确定C 解：4444≡7 (mod 9)，而73≡(-2)3=-8≡1(mod 9)， 所以 44444444≡74444=73(1481+1≡7(mod 9)， 所以 C≡B≡A≡44444444≡7(mod 9)， 另一方面，44444444<(105)4444=1022220，所以44444444的位数不多于22220 从而A<9(22220=199980，即A至多是6位数。所以B<9(6=54 在1到53的整数中，数字和最大的是49，所以C≤4+9=13 在小于13的自然数中，只有7模9同余于7，所以C=7 评注：本题用了十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余这个结论。根据这个结论逐步估计出C的大小，然后定出C。 3、 巩固练习 选择题 1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( ) A、56 B、78 C、84 D、96 2、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大　公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（　　） 　 A、30 B、31 C、32 D、33 3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( ) A、33 B、34 C、35 D、37 4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( ) A、24 B、12 C、6 D、0 5、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( ) A、25 B、26 C、27 D、28 6、设n为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n的最小值是( ) A、4 B、8 C、16 D、32 填空题 7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是 8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有 组 9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是 10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是 11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是 12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是 解答题 13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。 14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。 15、五位数 能被12整除，它的最末两位数字所成的数 能被6整除，求出这个五位数。 16、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9 求证：4∣(a+b+c+d) 17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？ 18、求2400被11除，所得的余数。 19、证明31980+41981被5整除。 20、x i=1或 -1(i=1，2，…，1990)，证明 _1065355137.unknown _1065356741.unknown _1065425743.unknown _1067521007.unknown _1067521560.unknown _1067523864.unknown _1067520787.unknown _1065362444.unknown _1065366762.unknown _1065375839.unknown _1065366685.unknown _1065362083.unknown _1065357777.unknown _1065356436.unknown _1065356700.unknown _1065356202.unknown _1064929664.unknown _1064929837.unknown _1064929891.unknown _1064757418.unknown _1064757964.unknown _1064757541.unknown _1064594209.unknown _1064593561.unknown