高三数学 圆锥曲线单元测试
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2008年北京卷)若点
到直线
的距离比它到点
的距离小1,则点
的轨迹为 ( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
2.若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合,则
的值为
( )
A.
B.
C.
D.
3.已知双曲线
,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离
之比等于
( )
A.
B.
C. 2
D.4
4.与
轴相切且和半圆
内切的动圆圆心的轨迹方程是
( )
A.
B.
C.
D.
5.直线
与曲线
的公共点的个数为
( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.如果方程
表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是
( )
A.
B.
C.
D.
7.(2008年江西文卷)已知
、
是椭圆的两个焦点,满足
的点
总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
8.双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍,则
( )
A.
B.
C.
D.
9.设过点
的直线分别与
轴的正半轴和
轴的正半轴交于
、
两点,点
与点
关于
轴对称,
为坐标原点,若
,且
,则
点的轨迹方程是
( )
A.
B.
C.
D.
10.抛物线
上的点到直线
距离的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.
11.已知抛物线
上一定点
和两动点
当
是,点
的横坐标的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
12.椭圆
上有
个不同的点:
,椭圆的右焦点为
,数列
是公差大于
的等差数列,则
的最大值为
( )
A.199
B.200
C.198
D.201
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.椭圆
的两个焦点为
,点
在椭圆上.如果线段
的中点在
轴上,那么
是
的______________倍.
14.如图把椭圆
的长轴AB分成8等
分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=
.
15.要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
16.已知两点
,给出下列直线方程:①
;②
;③
.则在直线上存在点
满足
的所有直线方程是_______.(只填序号)
三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字
,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.
如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为
,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以
轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分,降落点为
. 观测点
同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在
轴上方时,观测点
测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天
器发出变轨指令?
18.(本小题满分12分)(2008年上海卷)已知双曲线
,
为
上的任意点。
(1)求证:点
到双曲线
的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点
的坐标为
,求
的最小值;
19.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,离心率为
,一个焦点是
(
为大于0的常数).
(1)求椭圆的方程;
(2)设
是椭圆上一点,且过点
的直线
与
轴交于点
,若
,求直线
的斜率.
20.(本小题满分12分)已知点
分别是椭圆
长轴的左、右端点,点
是椭圆的右焦点.点
在椭圆上,且位于
轴的上方,
.
(1)求点
的坐标;
(2)设
椭圆长轴
上的一点,
到直线
的距离等于
,求椭圆上的点到点
的距离
的最小值.
21.(本小题满分12分)(2008年陕西卷)已知抛物线
:
,直线
交
于
两点,
是线段
的中点,过
作
轴的垂线交
于点
.
(Ⅰ)证明:抛物线
在点
处的切线与
平行;
(Ⅱ)是否存在实数
使
,若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分14分)设
,
为直角坐标平面内
轴正方向上的单位向量,若向量
,
,且
.
(1)求点
的轨迹
的方程;
(2)过点(0,3)作直线
与曲线
交于
两点,设
,是否存在这样的直线
,使得四边形
是矩形?若存在,求出直线
的方程;若不存在,试说明理由.
答案与解析
1.D . 把
到直线
向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线的定义。
2.D . 椭圆
的右焦点为(2,0),所以抛物线
的焦点为(2,0),则
,故选D.
3.答案选C 依题意可知
,
,故选C.
4.A 设动圆圆心为
,动圆与已知半圆相切的切点为
,点
到
轴的距离为
,则有
,而
,所以
,化简得
.
5.D.将
代入
得:
,显然该关于
的方程有两正解,即x有四解,所以交点有4 个,故选择答案D.
6.D.由题意知,
.若
,则双曲线的焦点在
轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在
轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若
,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方
,双曲线的焦点在
轴上,选择支D的方程符合题意.
7.C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又
,所以
8.A . 一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。
一下,因为等号后为常数“+”,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”,所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线,“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”:双曲线的
形式是或(),题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成。由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4.即,所以。选A.当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
9.D.由
及
分别在
轴的正半轴和
轴的正半轴上知,
EMBED Equation.DSMT4 ,
,由点
与点
关于
轴对称知,
,
=
,则
10.A .抛物线上任意一点(,)到直线的距离.因为,所以恒成立.从而有,.选A.
11.D .由题意知,设
,又因为
,由
知,
,即
,也就是
,因为
,所以上式化简得
,由基本不等式可得
或
.
12.D . 由题意知,要使所求的
最大,应使
最小,
最大,又
为椭圆的右焦点,设
的横坐标为
故由第二定义可得,
,其中
,所以当
时,
,当
时,
最大.由等差数列的通项公式可得,
,即
,又因为
,解得
.
13.7倍. 由已知椭圆的方程得
.由于焦点
关于
轴对称,所以
必垂直于
轴.所以
,所以
.
14.35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是
|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以应填35.
15.1米. 由题意知,设抛物线的方程为
,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以
.即抛物线方程为
.所以当
时,
,所以柱子的高度为1米.
16.②③. 由
可知点
在双曲线
的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为
,直线①过原点且斜率
,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在
轴上的截距为
故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率
,故与双曲线的右支有一个交点.
17.(1)设曲线方程为
,
由题意可知,
.
.
曲线方程为
.
(2)设变轨点为
,根据题意可知
得
,
或
(不合题意,舍去).
.
得
或
(不合题意,舍去).
EMBED Equation.3 点的坐标为
,
.
答:当观测点
测得
距离分别为
时,应向航天器发出变轨指令.
18.(1)设
是双曲线上任意一点,
该双曲的两条渐近线方程分别是
和
.
点
到两条渐近线的距离分别是
和
,
它们的乘积是
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
点
到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.
(2)设的坐标为
,则
EMBED Equation.DSMT4
,
当
时,
的最小值为
,
即
的最小值为
.
19.(1)设所求椭圆方程为:
.由已知得:
,所以
.故所求椭圆的方程为:
.
(2)设
,直线
,则点
.当
时,由于
.由定比分点坐标公式,得
,
.又点
在椭圆上,所以
,解得
.当
时,
,
.于是
,解得
.故直线
的斜率为0或
.
20.(1)由已知可得点
, 设点
,则
,
,由已知可得
.则
解得
.由于
,只能
于是
. 所以点P的坐标是
.
(2)直线
的方程是
.设点
,则
到直线
的距离是
. 于是
,又
,解得
. 椭圆上的点
到点
的距离
有
EMBED Equation.DSMT4 ,由于
,所以当
时,
取得最小值
.
21.解:解法一:(Ⅰ)如图,设
,
,
把
代入
得
,
由韦达定理得
,
,
EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 点的坐标为
.
设抛物线在点
处的切线
的方程为
,
将
代入上式得
,
直线
与抛物线
相切,
,
.
即
.
(Ⅱ)假设存在实数
,使
,则
,又
是
的中点,
.
由(Ⅰ)知
.
EMBED Equation.DSMT4 轴,
.
又
.
,解得
.
即存在
,使
.
解法二:(Ⅰ)如图,设
,把
代入
得
.由韦达定理得
.
EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 点的坐标为
.
,
,
抛物线在点
处的切线
的斜率为
,
.
(Ⅱ)假设存在实数
,使
.
由(Ⅰ)知
,则
,
,
,解得
.
即存在
,使
.
22.(1)由
,得
,设
则动点
满足
,所以点
在椭圆上,且椭圆的
.所以轨迹
的方程为
.
(2)设直线的斜率为
,则直线方程为
,联立方程组
消去
得:
,
恒成立,设
,则
.由
,所以四边形
为平行四边形.若存在直线
,使四边形
为矩形,则
,即
,解得
,所以直线
的方程为
,此时四边形
为矩形.
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
_1209191097.unknown
_1274775434.unknown
_1274776080.unknown
_1274968832.unknown
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