与圆锥曲线有关定点、定值、最值、范围问题总结

与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题总结PAGE/NUMPAGES与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题总结常考问题15与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题(建议用时：50分钟)x2y21．(2013·济南模拟)若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1，2)B．(1，2]C．(1，5)D．(1，5]b解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝3x与双曲线无交点，a则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以10)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，5B两点，则|AF|的值等于()．|BF|A．5B．4C．3D．2解析设A(x1，1，B(x2，2，且12，易知直线AB的方程为y＝－y)y)x>x3x325p232p，代入抛物线方程y＝2px，可得x1＋x2＝3p，x1x2＝4，可得x1＝2p，p3pp2p|AF|x1＋22＋2x＝6，可得|BF|＝x2＋p＝p＋p＝3.262答案C．抛物线22x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x－y＝1相交于A，B两点，633若△ABF为等边三角形，则p＝________．由题意知Bppx2y2解析，－2，代入方程3－3＝1得p＝6.3答案6x2y27．(2013·镇江模拟)已知点F是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要π的方程为＝－，∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线ABx4c2b4b2b2代入双曲线方程得y＝a2，取点A－c，a，则|AF|＝a，|EF|＝a＋c，只要πb22222|AF|<|EF|就能使∠AEF<4，即a1，故10)，则2＝1，所以抛物线C的方程为x＝4y.(2)设A(x1，y1)，2，y2，直线AB的方程为y＝＋B(x)kx1.y＝kx＋1，由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，x2＝4y所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2＝42＋1.|k又y＝y1，且y＝－，x1xx2解得点M的横坐标xM＝2x1＝2x12＝8.x－yx14－1x11x1－48同理点N的横坐标xN＝4－x2.所以|MN|＝2|xM－xN|88＝24－x1－4－x2＝82x1－x2x1x2－4（x1＋x2）＋162k2＋1＝，|4k－3|t＋3令4k－3＝t，t≠0，则k＝4.256当t>0时，|MN|＝22t2＋t＋1>22.当t<0时，|MN|＝225＋3282.＋16≥t5255综上所述，当t＝－25，即k＝－4时，338|MN|取到最小值52.11．(2013·郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．x2y2解(1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，2b2由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得a＝3.又a2－b2＝1，得a＝2，b＝3.x2y2故椭圆方程为4＋3＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，设△F1MN的内切圆的半径R，1则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝2(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．1S△F1MN＝2|F1F2||y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，x＝my＋1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，由x2y24＋3＝1，－3m＋6m2＋1－3m－6m2＋1得y1＝3m2＋4，y2＝3m2＋4，m2＋1则S△F1MN＝y1－y2＝3m2＋4，令t＝m2＋1，则t≥1，则SF1MN＝12m2＋112t123m2＋4＝3t2＋1＝1.△3t＋t11令f(t)＝3t＋t，则f′(t)＝3－t2，当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，12有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤4＝3，当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，3∴Rmax＝4.9这时所求内切圆面积的最大值为16π.9故△F1MN内切圆面积的最大值为16π，且此时直线l的方程为x＝1.