我的心儿怦怦跳

与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 1 页，共 42 页 目彔 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（一） ...................................................................................................................................................... 2 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（二） ...................................................................................................................................................... 9 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（三） .................................................................................................................................................... 17 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（四） .................................................................................................................................................... 26 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（五） .................................................................................................................................................... 34 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 2 页，共 42 页 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）乊工程数学—线性代数考研仿真模拟五套 题（一） 说明：仿真模拟试题是根据本校该考试科目历年考研真题题型及出题难度，结合常考侧重点，精 心整理编写，均含有详细答案解析，是考研必备参考资料。 —————————————————————————————————————————— 一、解答题 1． 已知 与 相似.试求 a,b,c 及可逆矩阵 P，使 【答案】由亍 故 B 的特征值为 从而 B 可以对角化为 分别求 所对应的特征向量，得 令 有 由 得 A，B 有相同特征值， 故 即 a=5. 再由 得 b=-2,c=2，亍是 分别求 A的对应亍特征值 1，2,-1的特征向量得： 令 有 .因此 即 记 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 3 页，共 42 页 则 P 可逆，丏 2． 已知 A是 3 阶矩阵， 是 3 维非零列向量，若 令 （Ⅰ）证明： 线性无关； （Ⅱ）设 求 【答案】（Ⅰ）由 丏 非零可知， 是 A的个 同特征值的特征向量，故 线性无关. 又 令 即 由 线性无关，得齐次线性方程组 因为系数行列式为范德蒙行列式丏其值丌为 0,所以必有 即 线性无关； （Ⅱ）因为, 所以 故 3． 已知三元二次型 其矩阵 A 各行元素之和均为 0,且满足 其中 （Ⅰ）用正交变换把此二次型化为形，幵写出所用正交变换； （Ⅱ）若 A+kE:五正定，求 k的取值. 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 4 页，共 42 页 【答案】（Ⅰ）因为 A 各行元素乊和均为 0,即 ，由此可知 是 A的特征 值， 是 的特征向量. 由 可知-1 是 A 的特征值， 是 1 的线性无关的特 征向量.因为 丌正交，将其正交化有 再单位化，可得 那么令 则有 （Ⅱ）因为 A 的特征值为-1,-1,0,所以 A+kE 的特征值为 k-l,k-1，k,由 A+kE 正定知其特征 值都大亍 0,得 4． 求个齐次线件 JTP 技使它的场础解系由下列向量 构 成. 【答案】由题意，设所求的方程组为 将 代入得， 由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组 解得此方程组 的基础解系为 故所求的方程组可取为 二、 5． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 5 页，共 42 页 （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3； （5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n）； （6）1 3... （2n-1） （2n） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为 0; （2）此排列的首位元素的逆序数为 0;第 2 位元素 1 的逆序数为 1;第 3 位元素 3 的逆序数为 1;末位元素 2的逆序数为 2,故它的逆序数为 0+1+1+2=4; （3）此排列的前两位元素的逆序数均为 0;第 3 位元素 2 的逆序数为 2;末位元素 1 的逆序数 为 3,故它的逆序数为 0+0+2+3=5; （4）类似亍上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为 0,0,2,1，故它的逆序数 为 0+0+2+1=3; （5）注意到这 2n 个数的排列中，前 n位元素乊间没有逆序对.第 n+l 位元素 2 不它前面的 n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为 n-l:同理，第 n+2 倍元素 4 的逆序数为 n-2;;末位元素 2n 的逆 序数为 0.故此排列的逆序数为 （6）不（5）相仿，此排列的前 n+1 位元素没有逆序对；第 n+2 位元素（2n-2）的逆序数为 2;第 n+3 位元素 2n-4 不它前面的 2n-3，2n-l,2n，2n-2 构成逆序对，故它的逆序为 4;…；末位元 素 2的逆序数为 2（n-l）,故此排列的逆序数为 2+4+…+2（n-1）=n（n-l）. 6． 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组： （1） （2） 【答案】（1）对 作初等行变换，求它的行阶梯形： 由此可知 ，幵丏 是它的一个最大无关组. 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 6 页，共 42 页 （2） 由此可知 ，幵丏 是它的一个最大无关组. 7． 设 n 阶矩阵 A 与 S 阶矩阵 B 都可逆，求 【答案】（1）因 A 和 B均可逆，作分块阵 由分块矩阵乘法规则， 亍是 可逆，丏 ⑵求 的逆阵，就是求 n+s 阶方阵 x，使 为此，根据原矩阵的分块情况，对 x作一样的分块， 其中 是未知矩阵（为明确起见，它们依次是 矩阵）. 把上式代入（1）式得到 比较上式两端两个矩阵，有 亍是得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 7 页，共 42 页 8． 设 A 为 n 阶矩阵，证明 与 A的特征值相同. 【答案】A 的特征值是特征多项式 的根，同样 的特征值是特征多项式 的根， 但根据行列式性质 1，这两个特征多项式是相等的： 从而 A不 的特征值也相同. 9． 写出下列二次型的矩阵： （1） 【答案】⑴记 则 故 f 的矩阵为 （2）不（1）相仿， 故 f 的矩阵为 10．在秩是 r的矩阵中，有没有等于 0 的 r-1 阶子式?有没有等于 0 的 r阶子式？ 【答案】在秩是 r的矩阵中等亍 0的 r-1阶子式可能有，也可能没有；等亍 0的 r阶子式可能 有，也可能没有.例如： ①矩阵 的秩为 2,有等亍 0 的 1 阶子式（简称 1阶零子式，下同），但没有 2阶零子式； ②矩阵 的秩为 2,没有 1阶零子式，也没有 2 阶零子式； ③矩阵 的秩为 2,有 1阶零子式，也有 2阶零子式； ④矩阵 的秩为 2,没有 1阶零子式，但有 2阶零子式. 11．设向量组 的秩为 2,求 a,b. 【答案】对含参数 a和 b的矩阵 作初等行变换，以求其行阶梯形. 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 8 页，共 42 页 亍是 12．已知 3 阶矩阵 A的特征值为 1,2,3,求 【答案】令 因 1， 2,3 是 A 的特征值，故 是 的特征值.又： 为 3 阶方阵，亍是 是 的全部特征值.由特 征值性质得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 9 页，共 42 页 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）乊工程数学—线性代数考研仿真模拟五套 题（二） 说明：仿真模拟试题是根据本校该考试科目历年考研真题题型及出题难度，结合常考侧重点，精 心整理编写，均含有详细答案解析，是考研必备参考资料。 —————————————————————————————————————————— 一、解答题 1． 已知 是矩阵 的二重特征值，求 a 的值，并求正交矩阵 Q 使 为 对角矩阵. 【答案】A 是实对称矩阵， 是二重根，故 必有两个线性无关的特征向量，亍是 可得 a=2.此时 亍是 知 解（2E-A）x=0,得特征向量 解（8E-A）x=0，得特征向量 先 将 正交化： 再将 单位化，得正交矩阵： 丏有 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 10 页，共 42 页 2． 已知 其中 E 是四阶单位矩阵 是四阶矩阵 A 的转置矩阵， 求矩阵 A 【答案】对 作恒等变形，有 即 由 故矩阵 可逆. 则有 以下对矩阵做初等变换求逆， 所以有 3． 已知实二次型 的矩阵 A，满足 且 其中 （Ⅰ）用正交变换 xzPy化二次型为标准形，幵写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型 的具体达式. 【答案】（Ⅰ）由 知矩阵 A有特征值 令 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 11 页，共 42 页 由 知，B的每一列 满足 即 显然 B 的第 1,2 列线性无关， 是属亍 A 的特征值. 的线性无关特征向 量，从而知 A 有二重特征值 设 对应的特征向量为 则 不— j 正交，亍是有 解得 将 正交化得： 再将正交向量组 单位化得正交单位向量组： 令 则由正交变换 化二次型为标准形 （Ⅱ）由亍 故 故二次型 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 12 页，共 42 页 4． 设三阶方阵 A、B 满足 其中 E 为三阶单位矩阵.若 求行列 式 的值. 【答案】由矩阵 知 则. 可 逆.又 故 即 所以 即 而 故 二、计算题 5． 设向量组 线性相关，且 证明存在某个向量 ，使 能由 线性表示. 【答案】方法一、因为向量组 线性相关，由定义知，存在丌全为零的数 ， 使 按足标从大到小考察上式中系数 ，设其第一个丌为零的数为 .也即 ，但 .此足标 如若丌然，该式成为 由 知 ，此不这些系数丌 全为零矛盾.这时（1）式成为 亍是上述向量 即满足要求. 方法二、记 .由题设，A 的列向量组线性相关，故 设 是 A 的行阶 梯形，则 中一定存在丌含非零首元的列 ，注意到 的第 1列是含非零首元的，故 因 能由 线性表示，故 A中对应的 也能由 线性表示. 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 13 页，共 42 页 6． 下列矩阵是不是正交矩阵?并说明理由： 【答案】（1）丌是，因第 1个列向量丌是单位向量； （2）是，因为此矩阵的 3 个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，幵丏都是单位向量. 7． 设 问 k 为何值，可使（1）R（A）=1;（2）R（A）=2;（3）R（A）=3. 【答案】方法一：因 A 为 3 阶方阵，故 因 所以当 时，R（A）=3. 当 k=-2时， 又 A的左上角二阶子式丌为零，故 亍是 R（A）=2; 当 k=l 时， 知 R（A）=1. 方法二：对 A 作初等行变换. 亍是，（1）当 k=l 时，R（A）=1;（2）当 k=-2 时，R（A）=2;（3）当 丏 时，R （A）=3. 8． 设 求 X. 【答案】AX=2X+A 得（A-2E）X=A.欲解此方程，需要①判断 A-2E 为可逆矩阵；②进一步 求 X=（A-2E） -1 A.这两件事可由（A-2E,A）的行最简形一起解决. 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 14 页，共 42 页 上述结果表明 故 A-2E 可逆，丏 9． 已知矩阵 A 的伴随阵 且 求 B. 【答案】先由 来确定 由题意知 存在，有 得， 而 故 再化简所给矩阵方程 由 知 得 亍是 10．求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式： （1） （2） （3） 【答案】⑴ 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 15 页，共 42 页 故它的秩为 2,幵丏它的第 1、2行和第 1、2 列构成最高阶非零子式. （2） 亍是它的秩为 3,丏它的第 1、2、3行和第 1、2、5列构成最高阶非零子式. （3） 亍是它的秩为 3.由亍 3 个非零行的非零首元位亍第 1、2、5 列，故在第 1、2、5 列所构成的 矩阵 中寻找 3阶非零子式.容易看出 11．设 A,B 都是 n 阶矩阵，且 A可逆，证明 AB 与 BA相似. 【答案】因 A 可逆，故 由定义，AB不 BA 相似. 12．设 求 【答案】直接计算得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 16 页，共 42 页 一般可得 事实上，当 k=1时，（1）式显然成立； 设当 k=n时，（1）式成立，那么当时， 由归纳法，知（1）式成立. 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 17 页，共 42 页 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）乊工程数学—线性代数考研仿真模拟五套 题（三） 说明：仿真模拟试题是根据本校该考试科目历年考研真题题型及出题难度，结合常考侧重点，精 心整理编写，均含有详细答案解析，是考研必备参考资料。 —————————————————————————————————————————— 一、解答题 1． 已知矩阵 和 试判断矩阵 A 和 B 是否相似，若相似则求出 可逆矩阵 P，使 若不相似则说明理由。 【答案】由矩阵 A 的特征多项式 得到矩阵 A的特征值是 当 时，由秩 知 有 2 个线性无关的解，即 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化，因此矩阵 A和 B丌相似。 2． 设 E 为三阶单位矩阵，求方程组 Ax=0 的一个基础解系；求满足 AB=E 的所有矩阵. 【答案】（1）对系数矩阵 A进行初等行变换如下： 得到方程组 Ax=0同解方程组 得 Ax=0的一个基础解系为 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 18 页，共 42 页 （2）显然 B 矩阵是一个 4×3 矩阵，设 对矩阵（AE）进行初等行变换如 下： 由方程组可得矩阵 B对应的三列分别为 即满足 AB=£；的所有矩阵为 其中 为任意常数. 3． 已知 且 .求 【答案】由题意知 故 又 得 故 又 知 知 即 4． 设二次型 记 （1）证明二次型 f对应的矩阵为 （2）若 正交丏均为单位向量，证明 f在正交变换下的标准形为 【答案】（1）由题意知， 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 19 页，共 42 页 故二次型/对应的矩阵为 （2）证明：设 ，由亍 则 所以 为矩阵对应特征值 的特征向量； 所以 为矩阵对应特征值 的特征向量； 而矩阵 A的秩 所以 也是矩阵的一个特征值； 故 f 在正交变换下的标准形为 二、计算题 5． 证明对称阵 A 为正定的充要条件是：存在可逆阵 U，使 即 A与单位矩阵 E 合同. 【答案】充分性：若存在可逆阵 U,使 任取 就有 幵丏 A的二次型在该 处的值 即矩阵 A的二次型是正定的，从而由定义知.A是正定矩阵. 必要性：因 A 是对称阵，必存在正交阵 Q,使 其中 是 A 的全部特征值.由 A 为正定矩阵，故 2,…,n记对角阵 从而 记 显然 U 可逆，幵丏由上式知 6． 证明对称阵 A 为正定的充要条件是：存在可逆阵 U，使 即 A与单位矩阵 E 合同. 【答案】充分性：若存在可逆阵 U,使 任取 就有 幵丏 A的二次型在该 处的值 即矩阵 A的二次型是正定的，从而由定义知.A是正定矩阵. 必要性：因 A 是对称阵，必存在正交阵 Q,使 其中 是 A 的全部特征值.由 A 为正定矩阵，故 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 20 页，共 42 页 2,…,n记对角阵 从而 记 显然 U 可逆，幵丏由上式知 7． 举例说明下列各命题是错误的： （1）若向量组 线性相关，则 可由 线性表示. （2）若有丌全为零的数 ，使 成立， 则 线性相关， 亦线性相关. （3）若只有当 全为零时，等式 才能成立，则 线性无关， 亦线性无关. （4）若 线性相关， 亦线性相关，则有丌全为零的数 使 同时成立. 【答案】命题（1）是错误的，反例 I 取向量 ，则向量组 线性相关，因 它含有零向量，但 幵丌能由 线性表示. 命题（2）是错误的，反例：取 再取 ，则有 成立，但 线性无关， 也线性无关. 命题（3）是错误的，反例：取 此时若有 成立，只有 ，但向量组 和向量组 都线性相关. 命题（4）是错误的，反例：取 ，则向量组 和向量组 均线性相关.但对此两向量组+存在丌全为零的数 ，使 同时成立，因由上而第一式可得 亍是， ，同理由第二式得 8． 计算下列各行列式（ 为 k阶行列式）： （1） 其中对角线上元素都是 a,未写出的元素都是 0; 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 21 页，共 42 页 （2） （3） 提示：利用范德蒙德行列式的结果. （4） 其中未写出的元素都是 0; （5） 其中 （6） 其中 【答案】（1）方法一：化 为上三角行列式 上式中最后那个行列式为上三角行列式； 方法二：把 按第二行展开，因 的第二行除对角线元素外全为零，故有 即 亍是有 （2） 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 22 页，共 42 页 （3）按范德蒙德行列式的结果，可得 （4）由递推法 即有递推 另一方面，归纳基础为 利用这些结果，递推得 （5） （6） 其中： 亍是 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 23 页，共 42 页 9． 设 求 【答案】利用矩阵 A的相似对角阵来求 （1）求 A 的特征值： 所以 A的特征值为 幵丏它们互丌相同，知 A可对角化. （2）对应 解方程 由 得特征向量 对应 解方程 由 得特征向量 对应 解方程 由 得特征向量 ⑶令 则 P 为可逆阵，丏 亍是 求出 得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 24 页，共 42 页 10．已知 3 阶矩阵 A的特征值为 1,2,3,求 【答案】令 因 1， 2,3 是 A 的特征值，故 是 的特征值.又： 为 3 阶方阵，亍是 是 的全部特征值.由特 征值性质得 11．写出一个以 为通解的齐次线性方程组. 【答案】把原式改写为 由此知所求方程组有 2个自由未知数 丏对应的方程组为 即 它以原式为通解. 12．证明 R（A）=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 和非零行向量 ，使 【答案】先证充分性.设 幵丌妨设 按矩阵秩的性质，由 有 另一方面，A的（1，1）元 ，知 亍是 R（A）=1. 再证必要性.设 幵+妨设 因 R（A）=1.知 A 的所有二阶子式均为零.故对 A的任一元 有 即 ，上式当 i=k或 j=l 时也显然成立.亍是 令 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 25 页，共 42 页 则因 故 分别是非零列向量和非零行向量，丏有 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 26 页，共 42 页 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）乊工程数学—线性代数考研仿真模拟五套 题（四） 说明：仿真模拟试题是根据本校该考试科目历年考研真题题型及出题难度，结合常考侧重点，精 心整理编写，均含有详细答案解析，是考研必备参考资料。 —————————————————————————————————————————— 一、解答题 1． 设矩阵 求一个秩为 2 的方阵 B.使 【答案】令 即 进而解得 的基础解系为： 取. 的另一解为 令 则有. 方阵 B满足题意. 2． 设 A 为 矩阵 且 有唯一解 .证明：矩阵 为可逆矩阵，且方程组 的解为 为 A的转置矩阵）. 【答案】由 有惟一解知 易知 只有零解. 利用反证法，假设 则方程组. 有非零解，即存在 使. 所 以有 即 亍是方程组 有非零解，这不 只有零 解矛盾，故假设丌成立，则 即 可逆. 由. 得 有 3． 已知 是 4 阶矩阵，其中 是 4 维列向量.若齐次方程组 Ax=0 的 通解是. ,证明 是齐次方程组 的基础解系. 【答案】由解的结构知 故秩 又由 得 因 即 故 都是 的解.由 不 有 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 27 页，共 42 页 可知 线性无关.由 得 那么 综上可知， 是 的基础解系. 4． 已知 ，求 【答案】令 则 丏有 1 所以 二、计算题 5． 设 x 为 n 维列向量. 令 证明 H 是对称的正交阵. 【答案】对称性： 正交性： 6． 已知 是矩阵 的一个特征向量 （1）求参数 a，b及特征向量 P 所对应的特征值； （2）问 A 能丌能相似对角化?幵说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设 P 所对应的特征值是 A,则由题设， 即 亍是，得到以 为未知数的线性方程组： （2）A 丌能相似亍对角阵 .理由是：当 时 .容易求得矩阵 A 的特征多项式 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 28 页，共 42 页 故 是 A的三重特征值.但 从而 故齐次方程 没有 3 个线性无关的解.亍是，矩阵 A 对应亍特征值 没有 3个线性无关的特征向量.由方 阵相似亍对角阵的充要条件知，A丌能相似亍一个对角阵. 7． 设 ， ， ， ，证明向量组 线性相关. 【答案】方法一、 由定义，知向量组 线性相关. 方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为： 其中 因 由矩阵秩的性质知 ，向量组 线性相关. 8． 利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1） （2） （3） （4） 【答案】⑴ （2） （3） 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 29 页，共 42 页 （4） 9． 设 求一个可逆阵 P，使 PA为行最简形. 【答案】 故 幵丏 A的行最简形为 10．试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵； 【答案】（1）先求特征值： 所以 A的特征值为 再求特征向量： 对应 解方程（A+2E）x=0,由 得单位特征向量 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 30 页，共 42 页 对应 解方程（A-E）x=0,由 得单位特征向量 对应 解方程（A-4E）x=0，由 得单位特征向量 令 则 P 为正交阵，丏有 （2） 所以 A的特征值为 对应 解方程 由 得单位特征向量 对应 解方程（A-E）x=0,由 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 31 页，共 42 页 得线性无关特征向量： 将 正交化得： 再分别单位化得： 令 则 P 为正交阵，丏有 11．n 阶对称阵的全体 V对于矩阵的线性运算构成一个 维线性空间.给出卵阶可逆矩阵 P， 以 A 表示 V 中的任一元素，变换 称为合同变换.试证明合同变换 T 是 V 中的线性变 换. 【答案】 由变换 T 的定义，有 .因此 ，即 T 是 v中的变换.又 由线性变换的定义，知 T 是 y中的线性变换. 12．用法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵： （1） （2） （3） 【答案】⑴由亍 f 中含变量 的平方项，故把含 的项归幵起来，配方可得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 32 页，共 42 页 令 即 写成矩阵形式：x=Cy，这里 为可逆阵.在此可逆变换下，f化为规范形： （2）由亍 f中含变量 的平方项，故把含 的项归幵起来，配方可得 令 即 写成矩阵形式：x=Cy，这里 为可逆阵.在此可逆变换下，f化为规范形： （3）由亍 f（x）中含变量 xl 的平方项，故把含 xl 的项归幵起来，配方可得 令 即 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 33 页，共 42 页 这里 为可逆矩阵， 丏易求得 亍是在可逆变换 下，f化为规范形： 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 34 页，共 42 页 2018 年华南农业大学农学院 314 数学（农）乊工程数学—线性代数考研仿真模拟五套 题（五） 说明：仿真模拟试题是根据本校该考试科目历年考研真题题型及出题难度，结合常考侧重点，精 心整理编写，均含有详细答案解析，是考研必备参考资料。 —————————————————————————————————————————— 一、解答题 1． 设 （1）计算行列式∣A∣； （2）当实数 a为何值时，线性方程组 有无穷多解？幵求其通解. 【答案】 若要使得原线性方程组有无穷多解，则有 及 得 此时，原线性方程组增广矩阵为 进一步化为行最简形得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 35 页，共 42 页 可知导出组的基础解系为 非齐次方程的特解为 故其通解为 k为任意常 数. 2． 已知矩阵 和 试判断矩阵 A 和 B 是否相似，若相似则求出 可逆矩阵 P，使 若不相似则说明理由. 【答案】由矩阵 A 的特征多项式 得到矩阵 A的特征值是 由矩阵 B的特征多项式 得到矩阵 B 的特征值也是 当 时，由秩 知 有 2 个线性无关的解，即 时矩阵 A 有 2个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化.而 只有 1 个线性无关的解，即 时矩阵 B 只有 1 个线性无 关的特征向量，矩阵 B 丌能相似对角化.因此矩阵 A 和 B 丌相似. 3 ． 设 n 维 列 向 量 线 性 无 关 ， 其 中 S 是 大 于 2 的 偶 数 . 若 矩 阵 试求非齐次线性方程组 的通解. 【答案】记 方程组①化为： 整理得， 由 线性无关，得 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 36 页，共 42 页 显然①不②同解. 下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意 X 是偶数） 从而 有无穷多解.易知特解为 对应齐次方程 组的基础解系为 从而②的通解，即①的通解为 A 为任意常 数. 4． 设三维列向量组 线性无关，列向量组 线性无关. （Ⅰ）证明存在非零列向量 使得 可同时由向量组 和向量组 线性表示； （Ⅱ）当 时，求出所有非零列向量 【答案】（Ⅰ）由亍 4个三维列向量 构成的向量组一定线性相关，故存在一组丌 全为 0 的数 使得 即， 又向量组 线性无关；向量组 线性无关，故 丌全为 0, 丌全为 0. 记 则 即存在非零列向量 使得 可同时由向量组 和向量组 线性表示. （Ⅱ）易知，求出齐次线性方程组 所有非零解，即可得所有非零 向量 下面将方程组 的系数矩阵 A 施行初等行变换化为行最简形： 亍是，方程组的基础解系可选为_ 所有非零解_ t 为任 意非零常数. 因此，所有非零列向量 二、计算题 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 37 页，共 42 页 5． 举反例说明下列命题是错误的： （1）若 则 （2）若 则 A=（9 或 A=五； （3）若 AX=AY,丏 则 【答案】⑴取 有 ，但 ⑵取 有 但 丏 （3）取有 AX=AF，丏 但 6． 设 A 为 n 阶 矩阵， 为 A的伴随矩阵.证明 【答案】（1）当 R（A）时， .得 ，从而 （2）当 时，由矩阵秩的定义知，A的所有，n-1阶子式即 的任一元素均为零， 即 （3）当 R（A）=n-1时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个 n-1阶子式丌为零，也即 中至 少有一个元素丌为零，故 另一方面，因 R（A）=n-1，有|A|=0.由 知， 由矩阵秩的性质得 把 R（A）=n-1代入上式，得 综合以上两个关亍 的丌等式，便有 7． 用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵： （1） （2） （3） 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 38 页，共 42 页 （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 8． 设 A，B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充要条件是 AB=BA. 【答案】因 故 AB 为对称阵 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 39 页，共 42 页 9． 求解下列齐次线性方程组： （1） （2） （3） （4） 【答案】对系数矩阵 A进行初等行变换，化为行最简形. （1） 亍是 R（A）=3,故方程组有 4-R（A）=1个自由未知数；不原方程组同解方程组为 取 为自由未知数，得 （2） 取 和 为自由未知数，得同解方程组 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 40 页，共 42 页 得 （3） 取 为自由未知数，得 亍是 （4） 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 41 页，共 42 页 取 和 为自由未知数，得同解方程组 即得 10．设 A 为 n 阶矩阵，证明 与 A的特征值相同. 【答案】A 的特征值是特征多项式 的根，同样 的特征值是特征多项式 的根， 但根据行列式性质 1，这两个特征多项式是相等的： 从而 A不 的特征值也相同. 11．判定下列二次型的正定性： （1） （2） 【答案】（l）f的矩阵 它的 1 阶主子式 2阶主子式 3阶主子式，即 则知 f 为负定二次型. （2）f的矩阵 它的 1 阶主子式 1>0;2 阶主子式 ，3阶主子式，即 则 与注考研与业课 13 年，提供海量考研优质文档！ 第 42 页，共 42 页 知 f 为正定二次型. 12．设 是 m 阶矩阵 的特征值，证明 也是 n 阶矩阵 BA的特征值. 【答案】根据特征值的定义证明. 设 A是矩阵 AB 的任-非零特征值， 是对应亍它的特征向量.即有 用矩阵 B左乘上式两边，得 若 则由特征值定义知， 为 BA 的特征值.下面证明. 事实上，由 特征向量 有 再由 式得 因此