辽宁省丹东市2021届高三一模数学试题及答案

数学试题参考答案第1页（共8页）2021年丹东市高三总复习质量测试（一）数学试题参考答案一、选择题1．B2．A3．B4．D5．A6．C7．C8．A二、选择题9．ACD10．BC11．CD12．ABD三、填空题13．314．3π15．1416．90º，10或52四、解答题17．解：一：选条件①．设{an}的的公比为q，由题设可得1＋q＝－1，q＝－2．因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝0，所以Sn－Sn＋1＝Sn＋2－Sn．于是Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．…………（10分）方案二：选条件②．设{an}的的公比为q，由题设可得q3＝－27，q＝－3．因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝an＋1≠0，所以Sn－Sn＋1≠Sn＋2－Sn．于是Sn＋1，Sn，Sn＋2不能成等差数列．…………（10分）方案二：选条件③．由题设可得a6＋a7＝0，设{an}的的公比为q，则q＝－1．因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝－an＋1≠0，所以Sn－Sn＋1≠Sn＋2－Sn．于是Sn＋1，Sn，Sn＋2不能成等差数列．…………（10分）18．解：（1）由题设及正弦定理可得sinCcosA＋cosCsinA＋2sinBcosB＝0．所以sin(A＋C)＋2sinBcosB＝0．因为sin(A＋C)＝sinB≠0，所以cosB＝－12．因为0＜B＜π，于是B＝2π3．…………（4分）（2）因为5a＝3c，可设a＝3t，c＝5t．按秘密级事项管理数学试题参考答案第2页（共8页）因为△ABC的周长为15，所以b＝15－8t．因为cosB＝－12，由余弦定理可得b2＝(a＋c)2－ac．所以(15－8t)2＝(8t)2－15t2，解得t＝1，或t＝15．舍去t＝15，取t＝1，得a＝3，c＝5．因此△ABC的面积S＝12acsinB＝1534．…………（12分）19．解法1：（1）因为AD∥平面A1B1C1，平面ADC1与平面A1B1C1的交线为l，所以AD∥l．因为l⊥平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C．…………（4分）（2）可知AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D为BC的中点．因为AD⊂平面ABC，由（1）可知平面ABC⊥平面BB1C1C．…………（6分）以→DC，→DA，→DB1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系D－xyz．|→DC|＝1，因为∠B1BC＝60°，所以D(0，0，0)，C(1，0，0)，A(0，3，0)，C1(2，0，3)．所以→AC1＝(2，－3，3)，→DA＝(0，3，0)，→AC＝(1，－3，0)．设平面DAC1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n1·→AC1＝0，n1·→DA＝0．即2x1－3y1＋3z1＝0，3y1＝0．取n1＝(3，0，－2)．设平面AC1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·→AC1＝0，n2·→AC＝0．即2x2－3y2＋3z2＝0，x2－3y2＝0．取n2＝(3，1，－1)．因为|cos＜n1，n2＞|＝|n1·n2||n1||n2|＝357．因为二面角D－AC1－C为锐角，所以二面角D－AC1－C的余弦值为357．…………（12分）解法2：（1）同解法1．（2）可知AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D为BC的中点．…………（6分）CDABA1C1B1yxz数学试题参考答案第3页（共8页）因为AD⊥平面BB1C1C，所以平面ADC1平面BB1C1C，交线为DC1．过C在平面BB1C1C内作CE⊥DC1，垂足为E，则CE⊥平面ADC1．过E在平面ADC1内作EF⊥AC1，垂足为F，连结CF，则CF⊥AC1，所以∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角，F为AC1的中点．设BC＝2，因为∠B1BC＝60°，在△DB1C1中，DC1＝7．在△DCC1中，CE＝217．因为F为AC1的中点，所以CF＝62．在直角三角形CEF中，cos∠EFC＝357，即二面角D－AC1－C的余弦值为357．…………（12分）20．解：（1）因为C的离心率为52，所以a2＋b2a＝52，可得a＝2b．A2(a，0)，C的一条渐近线方程为x－2y＝0，由255＝a12＋(－2)2可得a＝2．所以b＝1，于是C的方程为x24－y2＝1．…………（6分）（2）设P(x0，y0)，则x024－y02＝1．设直线PA1，PA2斜率分别为k1，k2，因为A1(－2，0)，A2(2，0)，则k1k2＝y0x0＋2·y0x0－2＝y02x02－4＝y024y02＝14．直线PA1方程为y＝k1(x＋2)，直线PA2方程为y＝14k1(x－2)，x＝1分别代入可得M(1，3k1)，N(1，－14k1)．设T(t，0)，则经过三点M，N，Q圆的圆心D(t＋32，3k12－18k1)．由|DQ|2＝|DM|2可得(t－32)2＋(3k12－18k1)2＝(t＋12)2＋(－3k12－18k1)2，解得t＝58．于是经过三点M，N，Q的圆经过x轴上的定点T(58，0)．…………（12分）21．解法1（1）由题设P(2)示3根光纤中至少2根能正常传输信号的概率，因此P(2)＝C23p2(1－p)＋C33p3＝3p2－2p3．…………（4分）（2）当p＝12时，CDABA1C1B1FE数学试题参考答案第4页（共8页）P(k)＝错误!Ci2k-1(12)i(12)2k-1-i＝(12)2k-1错误!Ci2k-1．因为错误!Ci2k-1＝12错误!Ci2k-1＝12·22k-1＝22k-2．所以P(k)＝(12)2k-122k-2＝12．…………（8分）（3）2k－1根光纤中至少k根能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作，故P(k)＝错误!Ci2k-1pi(1－p)2k-1-i．新增的两根光纤都能正常工作、仅有一个能正常工作、都不能正常工作时，2k＋1根光纤组成的5G传输设备可以正常工作的概率分别设为P1，P2，P3，则P1＝p2[Ck-12k-1pk-1(1－p)k＋P(k)]；P2＝2p(1－p)P(k)；P3＝(1－p)2[P(k)－Ck2k-1pk(1－p)k-1]．所以新增两根光纤这个5G传输设备正常工作的概率P(k＋1)＝P1＋P2＋P3＝P(k)＋(2p－1)Ck2k-1pk(1－p)k．因此P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)Ck2k-1pk(1－p)k．由0＜p＜1，(2p－1)Ck2k-1pk(1－p)k-1＞0，可得12＜p＜1．因此当p的取值范围为(12，1)时，新增两根光纤可以提高5G传输设备正常工作的概率．…………（12分）解法2（1）（2）同解法1．（3）2k－1根光纤中至少k根能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作，故P(k)＝错误!Ci2k-1pi(1－p)2k-1-i．设2k－1根光纤中恰有k－1根能正常传输信号、恰有k根能正常传输信号、至少k＋1根能正常传输信号的概率分别为P1，P2，P3，则P1＝Ck-12k-1pk-1(1－p)k＝1－ppCk2k-1pk(1－p)k-1，P2＝Ck2k-1pk(1－p)k-1，P3＝P(k)－Ck2k-1pk(1－p)k-1．所以新增两根光纤这个5G传输设备正常工作的概率P(k＋1)＝p2P1＋[1－(1－p)2]P2＋P3＝(2p－1)Ck2k-1pk(1－p)k-1＋P(k)．因此P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)Ck2k-1pk(1－p)k．由0＜p＜1，(2p－1)Ck2k-1pk(1－p)k-1＞0，可得12＜p＜1．数学试题参考答案第5页（共8页）因此当p的取值范围为(12，1)时，新增两根光纤可以提高5G传输设备正常工作的概率．…………（12分）22．解：（1）f(x)定义域为R，f′(x)＝(x＋1)(ex－2)．当x＜－1或x＞ln2时，f′(x)＞0，当－1＜x＜ln2时，f′(x)＜0，所以在(－∞，－1)单调递增，在(－1，ln2)单调递减，在(ln2，＋∞)单调递增．…………（4分）（2）因为f(x)＋f(－x)＝x(ex－e-x－2ax)是偶函数，所以f(x)＋f(－x)≥0等价于当x≥0时，ex－e-x－2ax≥0．①设g(x)＝ex－e-x－2ax，g′(x)＝ex＋e-x－2a．ex＋e-x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，于是g′(x)≥2(1－a)．若a≤1，g′(x)≥0，()gx在[0，＋∞)单调递增，g(x)≥g(0)＝0，①式成立．…………（8分）若a＞1，当x满足2＜ex＋e-x＜2a，即0＜x＜ln(a＋a2－1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＜g(0)＝0，①式不成立．综上，实数a的取值范围(－∞，1]．…………（12分）【或者】若a＞1，g′′(x)＝ex－e-x≥0，g′(x)在[0，＋∞)单调递增．因为g′(0)＝2(1－a)＜0，g′(ln2a)＝12a＞0，所以存在x0∈(0，ln2a)，使得当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，g(x)＜g(0)＝0，①式不成立．综上，实数a的取值范围(－∞，1]．…………（12分）数学试题参考答案第6页（共8页）小题详解1．解：因为M∩N＝M，N∪P＝P，所以M⊆N，N⊆P，故M⊆P，因此M∩P＝M，选B．2．解：因为z(1－2i)＝－3＋4i，所以|z||1－2i|＝|－3＋4i|，|z|＝5，因此z·－z＝|z|2＝5，选A．3．解：f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3，由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)可得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，c2＝±233∈[－2，2]，f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2，选B．4．解：在空间，若“三条直线两两相交”，三条直线相可以交于同一个点，此时这三条直线可能不在同一平面内；若“这三条直线在同一平面内”，他们之间有可能存在相互平行的直线，此时三条直线未必两两相交．于是“三条直线两两相交”是“这三条直线在同一平面内”的既不充分也不必要条件，选D．5．解：因为|a＋b|＝a2＋2ab＋b2＝2，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2，可得cos＝a·(a＋b)|a||a＋b|＝22，而0≤≤π，所以＝π4，选A．6．解：由题设可得0.1＝ma10，0.2＝ma20，可得a＝2110，m＝0.05．由0.5＝mat可得210t＝10，t＝10lg3≈33，选C．7．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋y122＝1，x22＋y22＝1，相减得y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2＝－2．因为l的斜率为2，所以·y1－y2x1－x2＝2，于是OM的斜率为y1＋y2x1＋x2＝－1，选C．8．解：f(x)＝log2(1x＋a＋1)定义域为{x|x＜－a－1或x＞－a}．因为f(x)是奇函数，所以－a－1＝a，a＝－12．此时f(x)＝log22x＋12x－1，因为f(－x)＝log22x－12x＋1＝－f(x)，因此a值为－12．因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y＝x对称，所以g(x)的值域为是f(x)的定义域(－∞，－12)∪(12，＋∞)，选A．数学试题参考答案第7页（共8页）9．解：五年来农村贫困发生率下降了5.1个百分点，选项A正确．2016~2017年间贫困人口数下降了1289万，贫困发生率下降1.4个百分点，2017~2018年间贫困人口数下降了1386万，贫困发生率也是下降1.4个百分点，因此2017~2018年间农村人口总数多于2016~2017年间农村人口总数，选项B错误．五年来农村贫困人口数逐年减少，选项C正确．五年来农村贫困人口减少超过九成人数为5024万，占2015年贫困人口数5575的90.12%，选项D正确．综上，选ACD．10．解：当x＝1时，[－x]＝－1，－[x]－1＝－2，选项A错误．若[x1]≤[x2]不成立，则[x1]＞[x2]，所以[x1]－[x2]≥1，[x1]≥[x2]＋1因为x1≥[x1]，[x2]＋1＞x2，因此x1≥x2，这与x1＜x2矛盾，所以选项B正确．若0≤x＜0.5，则0.5＜x＋0.5＜1，[x＋0.5]＝0，而1＜2x＋1＜2，所以0＜2x＜1，故[2x]＝0，从而[x＋0.5]＝[2x]．若0.5≤x＜1，则1≤x＋0.5＜1.5，[x＋0.5]＝1，而2≤2x＋1＜3，所以1≤2x＜2，故[2x]＝1，从而[x＋0.5]＝[2x]．综上，若0≤x＜1，则[x＋0.5]＝[2x]，选项C正确．．若x1＝0.5，x2＝1.5，则[x1＋x2]＝2，[x1]＋[x2]＝1，选项D错误．综上，选BC．11．解：由题设ai-1＝(i－1)2＋1＝i2－2i＋2，选项A错误．a10-3＝a10-1＋(3－1)×1＝85，选项B错误．叠加可得第i行中间数为i2－i＋1，从而第8行中间数为57，选项C正确．由(i－1)2＋1≤210≤i2，可得i＝15，a15-1＝197．由210＝a15-1＋(j－1)×1得j＝14，所以i＋j＝29，选项D正确．综上，选CD．12．解：因为f(x)是偶函数，当0≤x≤π2时，f(x)＝2sin(x－π6)，f(x＋π)＝f(x)，所以π为f(x)的一个周期，选项A正确．当0≤x≤π2时，2sin(x－π6)∈[－1，3]，选项B正确．当0≤x≤π2时，sin(x－π6)单调递增，因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(－π2，π2)上没有单调性，选项C错误．当0≤x≤π2时，sin(x－π6)＝0，可得x＝π6，因此f(－π6)＝0，f(5π6)＝f(－5π6)＝0，数学试题参考答案第8页（共8页）f(x)在[－π，π]上有四个零点，选项D正确．综上，选ABD．13．解：因为sinθ＝－2cosθ，所以tan(θ－45º)＝sin(θ－45º)cos(θ－45º)＝sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝3．14．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则πrl＝6π，2πr＝πl，得r＝3，l＝23，所以h＝3，该圆锥的体积V＝13πr2h＝3π．15．解：第一步，将4名学生分成两个组，有C14C33＋C24C22A22＝7种分法，第二步，将2组学生安排到2个社区，有A22＝2种安排方法，所以，不同的安排方法共有7×2＝14种．16．解：由题设知p＝4，F(2，0)，M是QF的中点．因为|PF|＝|PQ|，所以PM是线段QF的中垂线，因此△PFN≌△PQN，∠PFN＝90º．因为N(－2，3)，所以|QN|＝|NF|＝5．设P(x0，y0)，则y0＝3±|QN|＝8或－2，x0＝y028＝8或12，于是|PF|＝x0＋2＝10或52．