数值分析论文

《数值分析与科学计算概述》研究第一章对象描述一、数值分析与科学计算的概念科学计算即数值计算，科学计算是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量复杂的数学计算问题，这些问题用一般的计算工具来解决非常困难，而用计算机来处理却非常容易。科学计算是一门工具性、性、边缘性的学科，发展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学发展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出精确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用。自然科学规律通常用各种类型的数学方程式表达，科学计算的目的就是寻找这些方程式的数值解。这种计算涉及庞大的运算量，简单的计算工具难以胜任。在计算机出现之前，科学研究和工程主要依靠实验或试验提供数据，计算仅处于辅助地位。计算机的迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能。利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化：传统的科学技术只包括理论和试验两个组成部分，使用计算机后，计算已成为同等重要的第三个组成部分。数值分析也称计算方法，它与计算工具发展密切相关。是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。在电子计算机出现以前，计算工具只有算盘，算图，算表和手摇及电动计算机。计算方法只能计算规模较小的问题。数值分析的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科。数值分析的过程为构造算法、使用算法、分析算法。数值分析是研究数值问题的算法，概括起来有四点：第一，面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的计算方法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些计算是计算机直接能处理的运算。第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论的基础上。第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省计算时间，空间复杂性好是指节省存储空间，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。二、数值计算的相关概念与理论误差来源与分类所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差，可以表示为：误差=测得值-真值误差来源：（一）测量装置误差（二）环境误差（三）方法误差（四）人员误差误差分类：将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为摄入方法，称为舍入误差。用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行描述、简化而得到的，因而是近似的。我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等，这些参量显然包含误差，这种由观测产生的误差称为观测误差，在数值分析中不讨论这种误差，数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差。当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。绝对误差与相对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差。通常简称为误差，即：绝对误差=测得值-真值设x*为准确值x的一个近似值，称e二x-x*为近似值x*的绝对误差(AbsoluteError),简称误差。当同时，则称e为x*的一个绝对误差限。设x*为准确值x的近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值x*的相对误差(RelativeError)，记为er，即ex-x*e==rxx若leJ-£r，则称er为X*的一个相对误差限。由于绝对误差可能为正值或负值，因此相对误差也可能为正值或负值。对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，但对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。例1已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。解利用有效数字与相对误差的关系。可知n=2且这里ai是1到9之间的数字。(x卜2aX10-n+1<12X1X10-2+1=5%有效数字含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位的半个单位，那么从这个近似数左方起第一个非零的数字，称为第一位有效数字。如果近似值x*的误差限是0.5X10-n,则称x*准确到小数点后第n位，并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字。22例2问3.142,3.141,7分别作为兀的近似值各具有几位有效数字?因为兀=3.14159265…22x1=3.142,x2=3.141,X3=7兀一x=3.14159…一3.142=—0.00040…矢口2x10-4<一x1<2X10-3因而xi具有4位有效数字。由兀—兀2=3.14159…—3.141=—0.00059…知因而12X10-3<1：兀一x21I配方

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